Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 8

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 8
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Sonnensegel
Ein Sonnensegel hat die Form eines rechtwinkeligen Dreiecks (siehe nachstehende Abbildung).
b
h
a
β
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie mithilfe von h und β eine Formel zur Berechnung von b auf.
b =
Leitfrage:
Es soll ein neues Sonnensegel montiert werden, bei dem alle Seitenlängen doppelt so groß wie
beim bisherigen Sonnensegel sind.
– Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Flächeninhalt des neuen Sonnensegels 4 mal so groß
wie jener des bisherigen Sonnensegels ist.
– Begründen Sie, warum der Winkel β gleich groß bleibt.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Sonnensegel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
b =
h
cos( β )
oder:
b =
h
sin(90° – β )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A
alt
=
a ∙ b
2
A
neu
=
2 ∙ a ∙ 2 ∙ b
2
= 4 ∙
a ∙ b
2
= 4 ∙ A
alt
Der Flächeninhalt ist also 4-mal so groß.
β = tan
–1
(
b
a
)
= tan
–1
(
2 ∙ b
2 ∙ a
)
oder:
In ähnlichen Dreiecken sind einander entsprechende Winkel gleich groß.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig nachgewiesen wird, dass der Flächeninhalt 4-mal so groß ist, und richtig begründet wird, warum der Winkel β gleich groß bleibt.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Zwei Flugzeuge
Zwei Flugzeuge fliegen mit jeweils konstanter Geschwindigkeit.
Ihre Flugstrecken können in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden.
Das erste Flugzeug bewegt sich zwischen 10:00 Uhr und 10:30 Uhr entlang der Geraden g
1
.
Um 10:00 Uhr befindet es sich im Punkt (–100 | 100 | 6).
Um 10:30 Uhr befindet es sich im Punkt (200 | –80 | 6).
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g
1
der Form g
1
: X = P + t ∙ g
1
, t ∈ ℝ auf.
Dabei gibt t ∈ [0; 30] die Anzahl der Minuten an, die seit 10:00 Uhr vergangen sind.
Leitfrage:
Das zweite Flugzeug bewegt sich zwischen 10:00 Uhr und 10:30 Uhr entlang der Geraden g
2
mit
g
2
: X =
(
0
0
5,5
)
+ s ∙
(
10
2
0,1
)
, s ∈ ℝ . Dabei gibt s ∈ [0; 30] die Anzahl der Minuten an, die seit
10:00 Uhr vergangen sind.
– Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Geraden und begründen Sie,
warum es zu keinem Zusammenstoß der beiden Flugzeuge kommt.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Zwei Flugzeuge
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
g
1
: X =
(
–100
100
6
)
+ t ∙
(
10
–6
0
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Parameterdarstellung richtig auf
gestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
(
–100
100
6
)
+ t ∙
(
10
–6
0
)
=
(
0
0
5,5
)
+ s ∙
(
10
2
0,1
)
s = 5, t = 15 ⇒ S = (50 | 10 | 6)
Das erste Flugzeug ist um 10:15 Uhr im Punkt S , das zweite Flugzeug um 10:05 Uhr.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinaten des Schnittpunkts S richtig
berechnet werden und eine richtige Begründung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Bakterien
Die Anzahl bestimmter Bakterien kann in Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitintervall [70; 140]
durch eine Exponentialfunktion B modellhaft beschrieben werden ( t in min).
In der nachstehenden Tabelle ist für zwei Zeitpunkte die jeweilige Anzahl dieser Bakterien ange
geben.
t 70 140
B ( t ) 80 320
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Bakterien im Zeitintervall [70; 140].
Geben Sie die zugehörige Einheit an.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt t
1
, zu dem die momentane Änderungsrate gleich hoch wie
die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall [70; 140] ist.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Bakterien
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
B (140) – B (70)
140 – 70
=
320 – 80
70
=
24
7
= 3,42...
Die mittlere Änderungsrate beträgt rund 3,4 Bakterien pro Minute.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die mittlere Änderungsrate richtig
berechnet und die richtige Einheit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
B ( t ) = 20... ∙ ℯ
0,01980... ∙ t
B ′ ( t
1
) = 0,396... ∙ ℯ
0,01980... ∙ t 1
=
24
7
⇒ t
1
= 108,9...
t
1
≈ 109 min
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn t
1
richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Wertetabelle
Für eine Polynomfunktion f gilt:
x f ( x ) f ′ ( x ) f ″ ( x )
0 –4 0 –10
1 –8 –6 2
Aufgabenstellung:
– Geben Sie den Wert des bestimmten Integrals
∫
1
0
f ′ ( x ) d x an.
Leitfrage:
Nachstehend sind drei Aussagen über die Funktion f angeführt.
• Aussage 1: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale Minimumstelle.
• Aussage 2: Die Funktion f ist an der Stelle x = 1 linksgekrümmt (positiv gekrümmt).
• Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall (0; 1) zumindest eine Wendestelle.
– Geben Sie für jede der angeführten Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen
Sie jeweils Ihre Entscheidung.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Wertetabelle
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
∫
1
0
f ′ ( x ) d x = f (1) – f (0) = –4
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert des bestimmten
Integrals angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Aussage 1 ist falsch, da f ″ (0) < 0 gilt.
Aussage 2 ist wahr, da die 2. Ableitung von f an der Stelle x = 1 positiv ist ( f ″ (1) = 2).
Aussage 3 ist wahr, da im Intervall (0;1) der Graph der Funktion f (mindestens einmal) sein Krüm
mungsverhalten ändert ( f ″ (0) < 0, f ″ (1) > 0).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn bei jeder der drei Aussagen die richtige Ent
scheidung getroffen und eine richtige Begründung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Highspeed-Internetzugang
In einer bestimmten Region haben 15 % aller Haushalte einen Highspeed Internetzugang.
Für eine Studie werden Haushalte dieser Region zufällig ausgewählt. Dabei wird die Anzahl der
untersuchten Haushalte, die einen Highspeed Internetzugang haben, als binomialverteilt ange
nommen.
Im Rahmen der Studie wurde folgende Wahrscheinlichkeit mithilfe der Formel für die Binomialver
teilung berechnet:
(
10
a
) ∙ 0,15
a
∙ b
6
+ (
10
c
) ∙ 0,15
c
∙ b
c
≈ 0,049 mit a , c ∈ ℕ , b ∈ ℝ
+
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie a , b und c .
– Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit 0,049 im gegebenen Sachzusammenhang.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie, wie viele Haushalte in dieser Region mindestens überprüft werden müssen, damit
sich da runter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens 1 Haushalt mit
Highspeed Internetzugang befindet.

Kompensationsprüfung 8 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Highspeed-Internetzugang
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a = 4
b = 0,85
c = 5
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 4,9 % befinden sich in einer Gruppe von 10 (zufällig ausge
wählten) Haushalten 4 oder 5 Haushalte mit Highspeed Internetzugang.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a , b und c richtig ermittelt werden
und die Wahrscheinlichkeit 0,049 richtig interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
X ... Anzahl der Haushalte mit Highspeed Internetzugang
P ( X ≥ 1) ≥ 0,99 ⇒ 1 – P ( X = 0) ≥ 0,99 ⇒ 1 – 0,85
n
≥ 0,99
⇒ n ≥ 28,3...
Es müssten mindestens 29 Haushalte überprüft werden, damit sich darunter mit einer Wahrschein
lichkeit von mindestens 99 % mindestens 1 Haushalt mit Highspeed Internetzugang befindet.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Anzahl der Haushalte richtig ermittelt wird.