Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 7

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 7
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A = ( x
A
| y
A
) und B = ( x
B
| y
B
) mit x
A
< x
B
und y
A
< y
B
( x
A
, y
A
, x
B
, y
B
∈ ℝ ). Sie schließt mit der x Achse den Winkel α ein.
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen α und den Koordinaten von
A und B beschreibt.
Leitfrage:
Die Gleichung der Geraden g lautet: 3 ∙ x – 4 ∙ y = 13.
– Berechnen Sie α .
– Stellen Sie mithilfe von x
A
eine Formel zur Berechnung von y
A
auf.
y
A
=

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan( α ) =
yB
– yA
xB – xA
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gleichung richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
tan( α ) =
3
4
⇒ α = 36,86...°
y
A
=
3 ∙ xA
– 13
4
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn α richtig berechnet und die Formel richtig
aufgestellt wird.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Polynomfunktion 3. Grades
Von der Polynomfunktion 3. Grades f ist Folgendes bekannt:
• –4 ist eine Nullstelle von f.
• 0 ist eine Wendestelle von f.
• 2 ist eine lokale Minimumstelle von f.
Aufgabenstellung:
– Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen einer solchen Polynomfunk
tion f und markieren Sie alle Extrem und Wendepunkte auf dem Graphen.
y
x
0 4 3 2 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
Leitfrage:
Von einer Polynomfunktion g ist Folgendes bekannt:
• 0 ist eine lokale Minimumstelle von g .
• 2 ist eine lokale Maximumstelle von g .
• 3 ist eine Wendestelle von g .
– Begründen Sie, warum es sich bei g nicht um eine Polynomfunktion 3. Grades handeln kann.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Polynomfunktion 3. Grades
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
y
x
f
W
E
1
E
2
0 4 3 2 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Graph richtig skizziert wird und
alle Extrem und Wendepunkte markiert werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat genau eine Wendestelle. Diese Wendestelle liegt zwischen
den beiden lokalen Extremstellen (falls vorhanden). Außerhalb des Intervalls [0; 2] kann daher
keine weitere Wendestelle liegen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig begründet wird.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Rechtecke und Umkreise
Betrachtet werden Rechtecke mit der Länge a und der Breite a – 4 mit a > 4.
Die Funktion A ordnet jeder Länge a den Flächeninhalt A ( a ) des Rechtecks zu ( a in cm,
A ( a ) in cm
2
).
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie A (7) – A (5) und interpretieren Sie diesen Wert im gegebenen Sachzusammen
hang.
Leitfrage:
Den Rechtecken wird jeweils ein Kreis, der sogenannte Umkreis, umschrieben (siehe nachstehen
de Abbildung).
Die Funktion K ordnet jeder Länge a eines solchen Rechtecks den Flächeninhalt K ( a ) des zugehö
rigen Umkreises zu ( a in cm, K ( a ) in cm
2
).
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung von K auf.
Für alle a > 4 gilt: K ( a ) > 1,5 ∙ A ( a ).
– Interpretieren Sie diese Ungleichung im gegebenen Sachzusammenhang.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Rechtecke und Umkreise
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
A (7) – A (5) = 21 – 5 = 16
Ein solches Rechteck mit einer Länge von 7 cm hat einen um 16 cm
2
größeren Flächeninhalt als
ein solches Rechteck mit einer Länge von 5 cm.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert richtig berechnet und inter
pretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Für den Durchmesser d des Umkreises gilt: d
2
= a
2
+ ( a – 4)
2
K ( a ) = (
a
2
2
– 2 ∙ a + 4 ) ∙ π
Der Flächeninhalt des Umkreises ist für a > 4 mehr als 1,5 mal so groß wie der Flächeninhalt des
Rechtecks.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Funktionsgleichung richtig aufgestellt und
die Ungleichung richtig interpretiert wird.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Autofahrt
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der ZeitGeschwindigkeitFunktion v für die ersten
20 s einer bestimmten Autofahrt dargestellt.
v ( t ) in m/s
v
t in s
20
30
O
t ... Fahrzeit des Autos in s
v ( t ) ... Geschwindigkeit des Autos zur Zeit t in m/s
Aufgabenstellung:
– Interpretieren Sie den Inhalt der grau markierten Fläche im gegebenen Sachzusammenhang.
Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
Leitfrage:
Für die Funktion v gilt:
v ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d mit 0 ≤ t ≤ 20
An den Stellen t = 0 und t = 20 hat der Graph der Funktion v jeweils eine waagrechte Tangente.
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b , c und d .

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Autofahrt
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Der Inhalt der grau markierten Fläche entspricht dem zurückgelegten Weg des Autos in Metern
während der ersten 20 s dieser Autofahrt.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Inhalt im gegebenen Sachzusam
menhang richtig interpretiert und die richtige Einheit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
v ′ ( t ) = 3 ∙ a ∙ t
2
+ 2 ∙ b ∙ t + c
I : v (0) = 0
II : v (20) = 30
III : v ′ (0) = 0
IV : v ′ (20) = 0
oder:
I : a ∙ 0
3
+ b ∙ 0
2
+ c ∙ 0 + d = 0
II : a ∙ 20
3
+ b ∙ 20
2
+ c ∙ 20 + d = 30
III : 3 ∙ a ∙ 0
2
+ 2 ∙ b ∙ 0 + c = 0
IV : 3 ∙ a ∙ 20
2
+ 2 ∙ b ∙ 20 + c = 0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Gleichungssystem richtig erstellt wird.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
TAN-Codes
Beim Onlinebanking wird für die Freigabe von Transaktionen häufig durch einen Zufallsgenerator
ein 5 Zeichen langer TAN Code erzeugt. An jeder der 5 Stellen kann dabei eine der 10 Ziffern
(0 bis 9) oder einer von 25 Großbuchstaben (A bis Z mit Ausnahme von O) stehen. Für jede Stelle
wird jedes der 35 möglichen Zeichen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt (unabhängig
von den anderen Stellen). Es kann daher ein Zeichen auch öfter als einmal im TAN Code vorkom
men.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein so erzeugter TAN Code aus 2 Ziffern und
3 Buchstaben (in beliebiger Reihenfolge) besteht.
Leitfrage:
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p , dass ein TAN Code mindestens ein Zeichen mehrfach
enthält.
Es werden unabhängig voneinander 6 000 TAN Codes erzeugt.
– Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl an TAN Codes, die mindestens ein Zeichen
mehrfach enthalten.

Kompensationsprüfung 7 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
TAN-Codes
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
(
5
2
) ∙
(
10
35
)
2
∙
(
25
35
)
3
= 0,2974...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 29,7 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p = 1 – P („kein Zeichen mehrfach“)
p = 1 –
35
35
∙
34
35
∙
33
35
∙
32
35
∙
31
35
= 0,2582...
Die Wahrscheinlichkeit p beträgt rund 25,8 %.
Erwartungswert: 6 000 ∙ p = 1 549,7...
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit p und der Erwartungs
wert richtig berechnet werden.