Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 6

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 6
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Pfeil
Aufgabenstellung:
In der nachstehenden Abbildung ist ein Pfeil in der Ebene modellhaft dargestellt. Die strichpunk
tiert dargestellte Linie ist die Symmetrieachse dieses Pfeiles.
f
d
c
– Stellen Sie mithilfe von c , d und f eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markier ten
Fläche auf.
A =
Leitfrage:
In der nachstehenden Abbildung ist die Spitze eines Pfeiles in der Ebene modellhaft dargestellt.
Die strichpunktiert dargestellte Linie ist die Symmetrieachse der Spitze des Pfeiles.
h
a
a
b
Das in der obigen Abbildung dargestellte gleichschenkelige Dreieck hat die Basis b = 6 cm, die
Schenkellänge a cm und die Höhe h = 7 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks soll bei gleich langer
Basis um 20 % vergrößert werden.
– Berechnen Sie, wie lang die beiden Schenkel dieses Dreiecks nach der Vergrößerung sind.

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Pfeil
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
A =
1
2
∙ ( c ∙ f – c ∙ d )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A
vorher
=
6 ∙ 7
2
= 21
A
nachher
= 21 ∙ 1,2 = 25,2
A
nachher
=
h nachher ∙ 6
2
⇒ h
nachher
= 8,4 cm
a
nachher
=

8,4
2
+ 3
2
= 8,91...
Die Schenkel des Dreiecks haben nach der Vergrößerung eine Länge von rund 8,9 cm.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Bergbahn
Die Talstation einer Bergbahn befindet sich in 1 000 m Seehöhe. Die horizontale Entfernung
zwischen der Talstation und der Bergstation beträgt 2 500 m. Der Verlauf der Bahntrasse wird im
Folgenden geradlinig modelliert und hat eine konstante Steigung von 41 %.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie den Steigungswinkel der Bahntrasse.
– Berechnen Sie die Seehöhe der Bergstation.
Leitfrage:
Die Fahrzeit dieser Bergbahn von der Talstation zur Bergstation beträgt 5 min.
Die Funktion p mit p ( h ) = 1 000 ∙ ℯ
–0,000126 ∙ h
gibt näherungsweise den Luftdruck in der Seehöhe h
an ( h in m, p ( h ) in mbar).
– Berechnen Sie die durchschnittliche absolute Abnahme des Luftdrucks pro Minute während
einer Fahrt mit dieser Bergbahn von der Talstation zur Bergstation.

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Bergbahn
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
α ... Steigungswinkel der Bahntrasse
x ... Differenz zwischen der Seehöhe der Bergstation und der Seehöhe der Talstation
tan( α ) = 0,41 ⇒ α = 22,29...°
0,41 =
x
2 500
⇒ x = 1 025
Die Bergstation befindet sich in 2 025 m Seehöhe.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Steigungswinkel und die See
höhe der Bergstation richtig berechnet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p (2 025) – p (1 000)
5
= –21,3...
Die durchschnittliche absolute Abnahme des Luftdrucks beträgt rund 21 mbar/min.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die durchschnittliche absolute Abnahme des
Luftdrucks richtig berechnet wird, wobei die Einheit „mbar/min“ nicht angegeben werden muss.

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Winkelfunktionen
In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Funktionen f und g mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x )
und g ( x ) = c ∙ sin( d ∙ x ) mit a , b , c , d ∈ ℝ
+
dargestellt.
f ( x ), g ( x )
f
g
H
x
0
0
Aufgabenstellung:
– Setzen Sie jeweils das passende Zeichen „<“, „>“ oder „=“ ein und begründen Sie jeweils Ihre
Entscheidung.
a c
b d
Leitfrage:
Der in der obigen Abbildung mit H gekennzeichnete Hochpunkt des Graphen von f hat die
Koordinaten H = (
π
4
| 3 ) .
– Ermitteln Sie a und b .

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Winkelfunktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a > c
Die Funktion f hat einen größeren Maximalwert als die Funktion g .
b < d
Die Funktion f hat eine größere Periodenlänge als die Funktion g .
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Zeichen eingesetzt werden
und richtige Begründungen (auch unter Verwendung der Ausdrücke „Amplitude“ und „Frequenz“)
angeführt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
a = 3
b =
2 ∙ π
π
4
∙ 4
= 2
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Beschleunigungsrennen
Jan und Tom nehmen an einem Beschleunigungsrennen teil. Sie starten gleichzeitig zur Zeit t = 0.
Die Geschwindigkeiten ihrer Fahrzeuge in den ersten Sekunden können durch die beiden
Funktionen v
J
und v
T
beschrieben werden.
t ... Zeit in s
v
J
( t ) ... Geschwindigkeit von Jans Fahrzeug zum Zeitpunkt t in m/s
v
T
( t ) ... Geschwindigkeit von Toms Fahrzeug zum Zeitpunkt t in m/s
Aufgabenstellung:
Für die Zeit Geschwindigkeit Funktion v
J
gilt:
v
J
( t ) = 0,6 ∙ t
2
∙ ℯ
–0,09 ∙ t
– Ermitteln Sie die Beschleunigung von Jans Fahrzeug zur Zeit t = 10.
Leitfrage:
Zur Zeit t
1
befindet sich Toms Fahrzeug vor Jans Fahrzeug. Die Entfernung der beiden Fahrzeuge
zur Zeit t
1
beträgt d Meter.
– Stellen Sie mithilfe von v
J
und v
T
eine Formel zur Berechnung von d auf.
d =

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Beschleunigungsrennen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v
J
′ (10) = 2,68...
Die Beschleunigung beträgt rund 2,7 m/s
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Beschleunigung richtig ermittelt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
d =
∫
t 1
0
v
T
( t ) d t –
∫
t 1
0
v
J
( t ) d t
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Bälle
Aufgabenstellung:
In einer Kiste mit 30 Bällen befinden sich 14 rote und 16 gelbe Bälle.
Marie zieht zufällig und ohne Zurücklegen nacheinander 2 Bälle aus der Kiste.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Marie dabei 2 Bälle gleicher Farbe zieht.
Leitfrage:
In einer anderen Kiste mit 4 Bällen befinden sich 3 weiße Bälle und 1 grüner Ball.
Eva zieht zufällig und ohne Zurücklegen, bis sie den grünen Ball zieht.
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen Bälle an. Nimmt X den Wert 2 an, so bedeutet
das, dass der erste Ball weiß und der zweite Ball grün ist.
– Berechnen Sie den Erwartungswert von X .

Kompensationsprüfung 6 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Bälle
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
14
30
∙
13
29
+
16
30
∙
15
29
=
211
435
= 0,4850... ≈ 48,5 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig ermittelt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Erwartungswert: 1 ∙ P ( X = 1) + 2 ∙ P ( X = 2) + 3 ∙ P ( X = 3) + 4 ∙ P ( X = 4)
= 1 ∙
1
4
+ 2 ∙
3
4
∙
1
3
+ 3 ∙
3
4
∙
2
3
∙
1
2
+ 4 ∙
3
4
∙
2
3
∙
1
2
= 2,5
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Erwartungswert richtig berechnet wird.