Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 5

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Normale Geraden
Gegeben sind die Geraden g : X =
(
–1
4
5
)
+ s ∙
(
–2
1
3
)
, s ∈ ℝ und h : X =
(
a
5
–2
)
+ t ∙
(
5
–2
b
)
, t ∈ ℝ
und a , b ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie b so, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden normal aufeinander stehen.
Leitfrage:
Die beiden aufeinander normal stehenden Geraden g und h schneiden einander im Punkt S .
– Ermitteln Sie a .
– Ermitteln Sie die Koordinaten von S .

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Normale Geraden
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
(
–2
1
3
)
∙
(
5
–2
b
)
= 0 ⇒ –10 – 2 + 3 ∙ b = 0 ⇒ b = 4
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn b richtig ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
–1 – 2 ∙ s = a + 5 ∙ t
4 + s = 5 – 2 ∙ t
5 + 3 ∙ s = –2 + 4 ∙ t
⇒ s = –1; t = 1; a = –4
Durch Einsetzen von s = –1 in g (bzw. t = 1 in h ) erhält man S = (1 | 3 | 2).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und S richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Baldwin Street
Die steilste Straße der Welt ist laut dem Guinness-Buch der Rekorde die Baldwin Street in Neuseeland. In einem bestimmten geradlinig verlaufenden Straßenabschnitt beträgt die Steigung 35 %.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie den Steigungswinkel α dieses Straßenabschnitts.
Leitfrage:
Der Höhenunterschied dieses Straßenabschnitts beträgt h Meter.
– Interpretieren Sie h ∙ tan(90° – α ) im gegebenen Sachzusammenhang und erläutern Sie Ihre
Interpretation anhand einer Skizze.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Baldwin Street
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan( α ) =
35
100
⇒ α = 19,29...° ≈ 19,3°
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn α richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Durch h ∙ tan(90° – α ) wird die horizontale Entfernung für den Straßenabschnitt mit der maxima
len Steigung angegeben.
h
α
h ∙ tan(90° – ) α
90° – α
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn h ∙ tan(90° – α ) im gegebenen Sachzusam
menhang richtig interpretiert und diese Interpretation anhand einer Skizze richtig erläutert wird.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion f mit f ( t ) = a ∙ b
t
mit t ∈ ℝ und a , b ∈ ℝ
+
verläuft durch den
Punkt P = (1 | 1,125).
Es gilt: f (3) = 0,5625 ∙ f (1).
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie a und b .
Leitfrage:
Die Funktion mit den in der Aufgabenstellung ermittelten Parametern a und b beschreibt die
Masse f ( t ) einer radioaktiven Substanz in Abhängigkeit von der Zeit t .
Es gilt: t in h, f ( t ) in mg.
– Geben Sie an, wie viel Prozent der Masse a nach 15 min noch vorhanden sind.
– Berechnen Sie die Halbwertszeit dieser radioaktiven Substanz.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Exponentialfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (3) = b
2
∙ f (1) ⇒ b = 0,75
f (1) = a ∙ 0,75 = 1,125 ⇒ a = 1,5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig berechnet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( t ) = 1,5 ∙ 0,75
t
0,75
15
60
= 0,930...
Nach 15 Minuten sind noch rund 93 % der Masse a vorhanden.
0,5 = 0,75
τ
⇒ τ = 2,40...
Die Halbwertszeit beträgt rund 2,4 Stunden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Prozentsatz angegeben und die
Halbwertszeit richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Regenwasser
Die Funktion f gibt die momentane Änderungsrate der Regenwassermenge in einem bestimmten
Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit t im Verlauf von 60 Minuten an.
Der Graph dieser Funktion f ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
f ( t ) in cm
3
/min
t in min
0 50 40 30 20 10 60
2
4
–2
0
f
Aufgabenstellung:
Zum Zeitpunkt t = 0 befinden sich in diesem Gefäß R
0
cm
3
Regenwasser.
– Stellen Sie einen Term zur Berechnung der Regenwassermenge (in cm
3
) in diesem Gefäß zum
Zeitpunkt t = 60 auf.
Leitfrage:
Jemand behauptet, dass sich zum Zeitpunkt t = 0 höchstens 10 cm
3
Regenwasser in dem Ge
fäß befunden haben können.
– Erklären Sie anhand der Abbildung, warum diese Behauptung falsch sein muss.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Regenwasser
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
R
0
+
∫
60
0
f ( t ) d t
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Term richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Diese Behauptung ist falsch, da der Inhalt des vom Graphen der Funktion f und der waagrechten
Achse eingeschlossenen Flächenstücks größer als 10 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn anhand der Abbildung richtig erklärt wird.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Zufallsversuch
Ein bestimmter Zufallsversuch wird n mal durchgeführt ( n ∈ ℕ , n ≥ 2). Bei jeder Durchführung tritt
„Erfolg“ (unabhängig von den anderen Durchführungen) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 auf.
Aufgabenstellung:
Die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass „Erfolg“ höchstens 1 mal auftritt, soll berechnet werden.
– Geben Sie diese Wahrscheinlichkeit P in Abhängigkeit von n an.
P =
Leitfrage:
Es gilt: n = 10.
Bei der zehnten Durchführung (und nur bei dieser) erhöht sich aufgrund geänderter Bedingungen
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Erfolg“ auftritt, auf 0,3.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Erfolg“ genau 1 mal auftritt.

Kompensationsprüfung 5 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Zufallsversuch
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P = 0,8
n
+ n ∙ 0,2 ∙ 0,8
n – 1
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn P richtig angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
0,8
9
∙ 0,3 + 9 ∙ 0,2 ∙ 0,8
8
∙ 0,7 = 0,2516...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 25,2 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.