Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 4

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Vektoren
Gegeben sind die Vektoren w = (
3
0
) und s = (
0
2
) .
Aufgabenstellung:
– Zeichnen Sie in der unten stehenden Abbildung w , s sowie v = w + s ausgehend vom Koordi
natenursprung ein und geben Sie die Koordinaten von v an.
y
x
4 3 2 1 0 5
4
3
2
1
0
5
Leitfrage:
– Ermitteln Sie die Länge v des Vektors v .
– Ermitteln Sie denjenigen Winkel α , den der Vektor v mit der x Achse einschließt.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Vektoren
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
4 3 2 1 0 5
4
3
2
1
0
5
w
v
s
y
x
v = (
3
2
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Vektoren richtig eingezeichnet
werden und die richtigen Koordinaten von v angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
v =

3
2
+ 2
2
= 3,605... ≈ 3,61
tan( α ) =
2
3
⇒ α = 33,69...°
Der Vektor v schließt mit der x Achse einen Winkel α von rund 33,7° ein.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge des Vektors v und der Winkel α
richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Eigenschaften eines Funktionsgraphen
Die Funktion f ist eine Polynomfunktion 3. Grades. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen
der Ableitungsfunktion f ′ .
f ′
f ′ ( x )
x 0
1
–1
2
3
0 6 5 4 3 2 1 –1 –2 7
Aufgabenstellung:
Das Intervall ( m ; n ) ist das größtmögliche Intervall, in dem für alle x ∈ ( m ; n ) gilt:
f ′ ( x ) > 0
f ″ ( x ) < 0
– Geben Sie die Intervallgrenzen m und n an.
Leitfrage:
Es gilt:
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c mit a , b , c ∈ ℝ
– Ermitteln Sie a und b .

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Eigenschaften eines Funktionsgraphen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
m = 3; n = 6
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Werte angegeben
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b ∙ x
f ′ (3) = 2
⇒ a = –
2
27
, b =
2
3
f ′ (6) = 0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Tiny House
Ein Tiny House ist ein besonders kleines Haus.
Aufgabenstellung:
In der nachstehenden Abbildung ist das Modell Eiche in der Ansicht von vorne dargestellt. Die
obere Begrenzungslinie kann durch die Funktion g beschrieben werden.
g ( x ) in m
x in m
g
O
An einer bestimmten Stelle x
0
gilt: g ( x
0
) = 0 und g ′ ( x
0
) < 0.
– Markieren Sie die Stelle x
0
in der obigen Abbildung.
Leitfrage:
In der nebenstehenden nicht maßstabgetreuen
Abbildung ist das Modell Buche in der Ansicht
von vorne dargestellt. Die obere Begrenzungslinie
kann durch die Funktion f beschrieben werden.
f ( x ) in m
x in m
f
O
2,5
2,5
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x
2
+ 3,5
x , f ( x ) ... Koordinaten in m
– Berechnen Sie den Inhalt A der grau markierten Fläche ( A in m
2
).

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Tiny House
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
g ( x ) in m
x in m
g
O x
0
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Stelle markiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f (1,25) = 2,5 ⇒ a = –0,64
f ( x ) = –0,64 ∙ x
2
+ 3,5
A =
∫
1,25
–1,25
( f ( x ) – 2,5) d x =
5
3
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Inhalt der Fläche richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Parameterbestimmung
Im Folgenden werden quadratische Funktionen mit jeweils einem Parameter betrachtet.
Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a ∙ x
2
+ 2 ∙ x + a
2
mit a ∈ ℝ \{0}.
– Ermitteln Sie a so, dass die absolute Änderung von f im Intervall [1; 7] den Wert 30 hat.
Leitfrage:
Gegeben ist die Funktion h : ℝ → ℝ mit h ( x ) = c ∙ x
2
+ 2 ∙ x + c
2
mit c ∈ ℝ \{0}.
– Ermitteln Sie c so, dass das bestimmte Integral
∫
2
0
h ( x ) d x den kleinst möglichen Wert liefert.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Parameterbestimmung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (7) – f (1) = 30 ⇒ 49 ∙ a + 14 + a
2
– a – 2 – a
2
= 30 ⇒ a =
3
8
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a richtig ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
∫
2
0
h ( x ) d x = ( c ∙
x
3
3
+ x
2
+ c
2
∙ x ) |
2
0
=
8
3
∙ c + 4 + 2 ∙ c
2
= W ( c )
W ′ ( c ) =
8
3
+ 4 ∙ c = 0 ⇒ c = –
2
3
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn c richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Schweizer Zahlenlotto
Beim Schweizer Zahlenlotto werden aus den Zahlen von 1 bis 42 sechs verschiedene Zahlen zu
fällig und ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, spielt
dabei keine Rolle.
Lara wählt die Zahlen 2, 4, 6, 8, 10 und 12 aus.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie an, wie viele verschiedene Möglichkeiten es dafür gibt, dass keine einzige der ge
zogenen Zahlen mit den von Lara ausgewählten Zahlen übereinstimmt.
Leitfrage:
Zu Beginn werden die Zahlen 2 und 4 gezogen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine weitere der gezogenen Zahlen
mit den von Lara ausgewählten Zahlen übereinstimmt.

Kompensationsprüfung 4 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Schweizer Zahlenlotto
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
( )
36
6
= 1 947 792
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Anzahl der Möglichkeiten
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1 –
36
40
∙
35
39
∙
34
38
∙
33
37
= 0,3554...
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 35,5 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.