Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 3

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Lagebeziehung von Geraden
Gegeben sind die drei Geraden
f : X =
(
–1
2
2
)
+ r ∙
(
2
–1
1
)
, r ∈ ℝ
g : X =
(
1
1
b
)
+ s ∙
(
–4
a
–2
)
, s ∈ ℝ
h : X =
(
1
c
2
)
+ t ∙
(
1
2
1
)
, t ∈ ℝ .
Es gilt: a , b , c ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie a und b so, dass die Geraden f und g identisch sind.
Leitfrage:
Der Punkt F = (–1 | 2 | 2) liegt auf der Geraden f . Der Punkt H = (1 | c | 2) liegt auf der Geraden h .
Die Geraden f und h schneiden einander, wenn FH = u ∙
(
2
–1
1
)
+ v ∙
(
1
2
1
)
mit u , v ∈ ℝ \{0} gilt.
– Ermitteln Sie c so, dass die Geraden f und h einander schneiden.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Lagebeziehung von Geraden
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
(
2
–1
1
)
||
(
–4
a
–2
)
⇒ a = 2
(
1
1
b
)
=
(
–1
2
2
)
+ r ∙
(
2
–1
1
)
⇒ b = 3
oder:
Damit f und g identisch sind, müssen die Vektoren
(
2
–1
1
)
,
(
–4
a
–2
)
und
(
1
1
b
)
–
(
–1
2
2
)
=
(
2
–1
b – 2
)
parallel sein.
⇒ a = 2, b = 3
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
(
2
c – 2
0
)
= u ∙
(
2
–1
1
)
+ v ∙
(
1
2
1
)
2 = 2 ∙ u + v
c – 2 = – u + 2 ∙ v
0 = u + v
⇒ u = 2, v = –2
⇒ c = –4
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn c richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Quadrate
Gegeben ist das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 10 cm. Auf der Diagonalen AC wird ein
Punkt P gewählt. Durch P werden Parallele zu den Quadratseiten gelegt, wodurch zwei kleinere
Quadrate mit den Flächeninhalten A
1
und A
2
entstehen. (Siehe nachstehende Abbildung.)
Eines dieser beiden kleineren Quadrate hat die Seitenlänge x (in cm).
A
2
A
1
P
A B
x
x
D C
10 cm
10 cm
Die Funktion A : (0; 10) → ℝ ordnet jeder Seitenlänge x die Summe A
1
+ A
2
zu ( x in cm,
A ( x ) in cm
2
).
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie eine Funktionsgleichung von A auf.
Leitfrage:
Die Funktion A hat die Minimumstelle x
min
.
– Berechnen Sie x
min
und bestimmen Sie k ∈ ℝ
+
so, dass A
2
= k ∙ A
1
gilt.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Quadrate
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
A ( x ) = x
2
+ (10 – x )
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Funktionsgleichung von A richtig
aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A ′ ( x ) = 4 ∙ x – 20
A ′ ( x
min
) = 0 ⇒ x
min
= 5
A
1
= 25, A
2
= 25 ⇒ k = 1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn x
min
richtig berechnet und k richtig bestimmt
wird.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Brücke
Zur Modellierung von Brückenbögen werden oft quadratische Funktionen verwendet.
Aufgabenstellung:
– Beschreiben Sie, was allgemein über die Anzahl der Null , Extrem und Wendestellen von
quadratischen Funktionen ausgesagt werden kann.
Leitfrage:
Der Brückenbogen einer bestimmten Autobahn Brücke kann durch die Funktion h mit
h ( x ) = –
1
800
∙ x
2
–
1
2
∙ x ( x , h ( x ) in m) modelliert werden. Dazu wird ein Koordinatensystem so fest
gelegt, dass die Fahrbahn durch die x Achse dargestellt wird. (Siehe nachstehende Abbildung.)
h
x in m
– Berechnen Sie die Nullstellen von h .
– Zeichnen Sie die senkrechte Koordinatenachse in die obige Abbildung ein.
Für ein x
1
∈ ℝ gilt: h ′ ( x
1
) = 0.
– Interpretieren Sie h ( x
1
) im gegebenen Sachzusammenhang.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Brücke
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Quadratische Funktionen haben immer genau 1 Extremstelle und keine Wendestelle.
Die Anzahl der Nullstellen ist höchstens 2.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Anzahl der Null , Extrem und
Wendestellen richtig beschrieben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Lösungen der Gleichung h ( x ) = 0 sind: 0 und –400.
h
x in m
h ( x
1
) beschreibt die größte Höhe des Brückenbogens (über dem Fahrbahnniveau).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Nullstellen von h richtig berechnet wer
den, die senkrechte Koordinatenachse richtig eingezeichnet wird und h ( x
1
) im gegebenen Sach
zusammenhang richtig interpretiert wird.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Bewegung eines Fahrzeugs
Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt ein Fahrzeug aus dem Stillstand zu beschleunigen und bewegt sich
anschließend auf einer geradlinigen Straße.
Die Beschleunigung dieses Fahrzeugs in Abhängigkeit von der Zeit t wird im Zeitintervall [0; 8]
durch die linearen Funktionen a
1
: [0; 3] → ℝ , a
2
: [3; 5] → ℝ und a
3
: [5; 8] → ℝ modelliert
( t in s; a
1
( t ), a
2
( t ), a
3
( t ) in m/s
2
).
In der nebenstehenden Abbildung sind die
Graphen von a
1
, a
2
und a
3
dargestellt.
a
1
( t ), a
2
( t ), a
3
( t ) in m/s
2
t in s
a
1
a
2
a
3
7 6 5 4 3 2 1 0 8
5
4
3
2
1
0
6
7
Aufgabenstellung:
Die Graphen der Funktionen a
1
, a
2
, a
3
und die t Achse schließen ein Flächenstück ein.
– Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.
– Interpretieren Sie den Inhalt dieses Flächenstücks im gegebenen Sachzusammenhang.
Leitfrage:
Die Geschwindigkeit dieses Fahrzeugs in Abhängigkeit von der Zeit t wird im Zeitintervall [0; 8]
durch die Funktionen v
1
: [0; 3] → ℝ , v
2
: [3; 5] → ℝ und v
3
: [5; 8] → ℝ beschrieben
( t in s; v
1
( t ), v
2
( t ), v
3
( t ) in m/s).
– Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem die Graphen von v
1
, v
2
und v
3
unter Ver
wendung der Werte an den Intervallgrenzen.
v
1
( t ), v
2
( t ), v
3
( t ) in m/s
t in s
7 6 5 4 3 2 1 0 8
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Bewegung eines Fahrzeugs
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Inhalt des Flächenstücks:
3 ∙ 6
2
+ 2 ∙ 6 +
3 ∙ 6
2
= 30
oder:
Inhalt des Flächenstücks:
2 + 8
2
∙ 6 = 30
Nach 8 s beträgt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs 30 m/s.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Inhalt des Flächenstücks richtig
berechnet und interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
v
1
v
2
v
3
7 6 5 4 3 2 1 0 8
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
v
1
( t ), v
2
( t ), v
3
( t ) in m/s
t in s
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Graphen richtig skizziert werden. Dabei
muss klar erkennbar sein, dass
– v
1
vom Punkt (0 | 0) zum Punkt (3 | 9) verläuft und positiv gekrümmt ist,
– v
2
vom Punkt (3 | 9) zum Punkt (5 | 21) verläuft und linear ist,
– v
3
vom Punkt (5 | 21) zum Punkt (8 | 30) verläuft und negativ gekrümmt ist.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Münzwurf
Bei einem Münzwurf zeigt eine Münze mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder „Kopf“ oder
„Zahl“, unabhängig von anderen Würfen.
Aufgabenstellung:
Die Münze wird 2 mal hintereinander geworfen und es wird jeweils das Ergebnis („Kopf“ oder
„Zahl“) notiert.
– Geben Sie alle möglichen Versuchsausgänge und deren jeweilige Wahrscheinlichkeit an.
Leitfrage:
Die Münze wird 5 mal hintereinander geworfen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der jenigen
Würfe an, bei denen die Münze „Zahl“ zeigt.
– Begründen Sie, warum die Zufallsvariable X binomialverteilt ist.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Münze bei mehr als 3 Würfen „Zahl“ zeigt.

Kompensationsprüfung 3 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Münzwurf
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Versuchsausgänge: („Kopf“, „Kopf“), („Kopf“, „Zahl“), („Zahl“, „Kopf“) und („Zahl“, „Zahl“)
Jeder dieser Versuchsausgänge hat eine Wahrscheinlichkeit von 25 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle möglichen Versuchsausgänge
und deren jeweilige Wahrscheinlichkeit angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt, da gilt:
• Es gibt bei jedem Wurf genau zwei mögliche Versuchsausgänge.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze bei einem Wurf „Kopf“ bzw. „Zahl“ zeigt, ist kons
tant.
• Die 5 Würfe erfolgen unabhängig voneinander.
P ( X > 3) = P ( X = 4) + P ( X = 5) = 0,1875 = 18,75 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn mindestens 2 der 3 Gründe genannt werden
und die Wahrscheinlichkeit richtig ermittelt wird.