Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2021 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Haupttermin 2021
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Dreiecke
Von einem gleichschenkeligen Dreieck ABC sind die Seite a = 3,8 cm und der Winkel α = 30°
gegeben (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze).
B
a
α
c
C
A
b = a
h
c
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Leitfrage:
Der Flächeninhalt des Dreiecks wird um 25 % verkleinert. Dazu wird der Eckpunkt B entlang der
Seite c verschoben. Der neue Eckpunkt wird mit B
1
bezeichnet.
Die Eckpunkte A und C bleiben unverändert.
– Berechnen Sie die Seitenlängen c
1
und a
1
des verkleinerten Dreiecks AB
1
C .

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Dreiecke
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
sin( α ) =
hc
b
⇒ h
c
= 1,9
cos( α ) =
c
2 ∙ b
⇒
c
2
= 3,290...
h
c
∙
c
2
= 6,252...
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt rund 6,25 cm
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Flächeninhalt richtig berechnet
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
C
B A B
1
b = a a
h
c a
1
c
x α
c
1
A
neu
=
c ∙ hc
2
∙ 0,75
Da die Höhe h
c
unverändert bleibt, gilt:
c
1
= 0,75 ∙ c = 4,936... ⇒ c
1
≈ 4,94 cm
x = 0,25 ∙ c = 1,645...
a
1
=

x
2
+ h
c
2
= 2,513... ⇒ a
1
≈ 2,51 cm
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Seitenlängen c
1
und a
1
richtig berechnet
werden.

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Tunnel
Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 25 m/s durch einen Tunnel (der in Nord
Süd Richtung verläuft). Die Fahrt durch den gesamten Tunnel dauert 220 s.
Die Entfernung des Autos von der Einfahrt Süd des Tunnels nach t Sekunden wird durch die Zeit
Weg Funktion s modelliert.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion s dargestellt und die Entfernung c
von der Einfahrt Süd auf der senkrechten Achse markiert.
s ( t ) in m
t in s
Einfahrt Süd
Einfahrt Nord
220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
s
c
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die Länge des Tunnels.
– Ermitteln Sie c .
Leitfrage:
Ein zweites Auto fährt x Sekunden nach dem ersten in den Tunnel ein und durchfährt diesen in
entgegengesetzter Richtung (von Einfahrt Nord nach Einfahrt Süd) mit der konstanten Geschwin
digkeit v (in m/s). Die beiden Autos begegnen einander in einer Entfernung von 3 000 m von der
Einfahrt Süd. Beide Autos verlassen den Tunnel zum selben Zeitpunkt.
– Ermitteln Sie v und x .

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Tunnel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
s (220) = 25 ∙ 220 = 5 500
Länge des Tunnels: 5 500 m
c = 1 000
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge des Tunnels richtig berech
net und c richtig ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Beide Autos benötigen nach der Begegnung noch 100 s bis zur jeweiligen Ausfahrt.
v =
3 000
100
= 30
Die Geschwindigkeit v des zweiten Autos beträgt 30 m/s.
Bis zur Begegnung benötigt das erste Auto 120 s.
Das zweite Auto hat bis zur Begegnung 2 500 m zurückgelegt und
2 500
30
= 83,3..., also rund 83 s
benötigt.
⇒ x ≈ 37
Das zweite Auto fährt rund 37 s nach dem ersten Auto in den Tunnel hinein.
oder:
s ( t ) in m
t in s
Einfahrt Süd
Einfahrt Nord
220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
s
c
Ablesen aus der Abbildung
⇒ v = 30 m/s
x ≈ 37 s
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn v und x richtig ermittelt werden.
Toleranzintervall für x bei grafischer Lösung: [33; 40]

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Freier Fall
Der Weg, den ein bestimmter Körper beim freien Fall zurücklegt, kann in Abhängigkeit von der
Zeit t durch die Funktion s modelliert werden.
s ( t ) = 5 ∙ t
2
mit t in s, s ( t ) in m
Der freie Fall beginnt zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabenstellung:
Der Körper fällt aus einer Höhe von 320 m und trifft zum Zeitpunkt t
1
auf dem Boden auf.
– Ermitteln Sie den Zeitpunkt t
1
sowie die Aufprallgeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t
1
.
Leitfrage:
– Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt t
2
, zu dem die Momentangeschwindigkeit gleich hoch wie
die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [0; 5] ist.

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Freier Fall
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
320 = 5 ∙ t
1
2
⇒ t
1
= 8
s ′ ( t ) = 10 ∙ t
s ′ (8) = 80
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zeitpunkt t
1
und die Aufprallge
schwindigkeit zum Zeitpunkt t
1
richtig ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
s (5) – s (0)
5 – 0
= 25 ⇒ s ′ ( t
2
) = 25 ⇒ 10 ∙ t
2
= 25 ⇒ t
2
= 2,5
Zum Zeitpunkt t
2
= 2,5 ist die Momentangeschwindigkeit gleich der mittleren Geschwindigkeit im
Zeitintervall [0; 5].
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn t
2
richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Kaminabdeckung
Die nebenstehende Abbildung zeigt eine Kaminabdeckung.
Aufgabenstellung:
In der nachstehenden Abbildung ist die Seitenansicht einer solchen Kaminabdeckung modellhaft
dargestellt.
h ( x ) in cm
x in cm
h
0 25 –25
0
Die obere Begrenzungslinie wird durch den Graphen der Funktion h beschrieben.
h ( x ) =
4
78 175
∙ x
4
–
8
125
∙ x
2
+ 20
– Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten Fläche.
Leitfrage:
Bei einer anderen Kaminabdeckung wird die obere
Begrenzungslinie im Intervall [0; 30] durch den Graphen
der Polynomfunktion f beschrieben (siehe nebenstehende
Abbildung).
f ( x ) in cm
x in cm
f
0 30
W
T
0
Es gilt:
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit a , b , c , d ∈ ℝ
Der Punkt T = (25 | 0) ist ein Tiefpunkt des Graphen von f .
Der Punkt W = (12,5 | 10) ist ein Wendepunkt des Graphen von f .
– Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a , b , c und d .

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Kaminabdeckung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
∫
25
–25
h ( x ) d x = 533,2...
Der Inhalt der grau markierten Fläche beträgt rund 533 cm
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Inhalt richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b ∙ x + c
f ″ ( x ) = 6 ∙ a ∙ x + 2 ∙ b
I : f (12,5) = 10
II : f (25) = 0
III : f ′ (25) = 0
IV : f ″ (12,5) = 0
oder:
I : a ∙ 12,5
3
+ b ∙ 12,5
2
+ c ∙ 12,5 + d = 10
II : a ∙ 25
3
+ b ∙ 25
2
+ c ∙ 25 + d = 0
III : 3 ∙ a ∙ 25
2
+ 2 ∙ b ∙ 25 + c = 0
IV : 6 ∙ a ∙ 12,5 + 2 ∙ b = 0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Gleichungssystem richtig erstellt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Rubbellose
Auf einem Rubbellos gibt es 3 Felder. Jedes dieser Felder zeigt beim Aufrubbeln mit der Wahr
scheinlichkeit
1
2
ein Pinguin Symbol und mit der Wahrscheinlichkeit
1
2
ein Fisch Symbol.
Bei 3 Pinguin Symbolen gewinnt man 9 Euro, bei 3 Fisch Symbolen gewinnt man 3 Euro, in allen
anderen Fällen gewinnt man nichts.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man mit 2 Rubbellosen 18 Euro gewinnt.
Leitfrage:
Die Zufallsvariable X gibt den Geldbetrag (in Euro) an, den man mit 2 Rubbellosen gewinnen kann.
– Geben Sie alle Werte an, die die Zufallsvariable X annehmen kann.
Werte der Zufallsvariablen X :
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( X = 0).

Kompensationsprüfung 2 / Haupttermin 2021 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Rubbellose
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
(
1
2
)
3
∙
(
1
2
)
3
=
1
64
= 0,015625
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1,6 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Werte der Zufallsvariablen X : 0, 3, 6, 9, 12, 18
Für 1 Rubbellos gilt: P („drei Pinguine“) = P („drei Fische“) =
1
8
P („anderes Ergebnis“) =
6
8
P ( X = 0) =
6
8
∙
6
8
=
36
64
= 0,5625
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 56,25 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte der Zufallsvariablen X
angegeben werden und die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.