Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2021 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Februar 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Pyramidenkogel
Der Pyramidenkogel ist ein Berg in der Nähe des Wörthersees. Auf dessen Gipfel steht der höchste
aus Holz erbaute Aussichtsturm der Welt.
Aufgabenstellung:
Bettina sieht vom Punkt B am Ufer des Wörthersees die Spitze S des Aussichtsturms unter dem
Winkel α (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Skizze).
S
A
a
B
α
– Stellen Sie mithilfe von α und a eine Formel zur Berechnung von AS auf.
AS =
Leitfrage:
Der Aussichtsturm kann über eine Rutsche verlassen werden. Diese Rutsche ist 120 m lang
und überwindet einen Höhenunterschied von 52 m. Es wird vereinfacht angenommen, dass die
Steigung der Rutsche konstant ist.
– Berechnen Sie die Steigung in Prozent.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Pyramidenkogel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
AS = a ∙ sin( α )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:

120
2
– 52
2
52
= 0,480... = 48,0... %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Steigung richtig berechnet wird.
Auch die Berechnung der Steigung als –48 % ist als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Wassertemperatur
Wasser wird in einem Topf zum Sieden gebracht.
Aufgabenstellung:
Die Temperatur des Wassers beträgt zu Beginn 22 °C.
Modellhaft wird angenommen, dass die Temperatur des Wassers pro Minute um 8 °C zunimmt.
– Berechnen Sie, nach wie vielen Minuten das Wasser eine Temperatur von 100 °C hat.
Leitfrage:
Bei einem Versuch wird die Temperatur von Wasser beim Abkühlen gemessen. Die Temperatur
kann dabei durch die Exponentialfunktion f modelliert werden. Der Graph von f ist in der nachste
henden Abbildung dargestellt.
0 7
0
100
50
f ( t ) in °C
f
t in min
f ( t ) = a ∙ b
t
t ... Zeit in min
f ( t ) ... Temperatur des Wassers zum Zeitpunkt t in °C
a , b ... Parameter
– Ermitteln Sie die Parameter a und b .

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Wassertemperatur
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
100 – 22
8
= 9,75
Nach einer Zeit von 9,75 min hat das Wasser eine Temperatur von 100 °C.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Zeitdauer richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f (0) = 100 ⇒ a = 100
f (7) = 50 ⇒ b =

7 50
100
= 0,9057...
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Informationsschilder
In der Stadt Steyr sind an denkmalgeschützten Gebäuden Informations
schilder angebracht. Die nebenstehende Abbildung zeigt ein solches Schild.
Bildquelle: BMBWF
Aufgabenstellung:
Diese Schilder sollen durch neue Schilder ersetzt
werden. Die nebenstehende Abbildung zeigt den
Entwurf für ein solches neues Schild.
y in cm
x in cm
O
f
W
P
Für die Funktion f gilt:
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit x ∈ [0; 25]
Der Punkt P hat die Koordinaten (25 | 0). Der Wendepunkt W hat die Koordinaten (12,5 | –7,5).
Die Steigung der Tangente im Wendepunkt W beträgt 0,8625.
– Erstellen Sie auf Basis der Informationen zu den Punkten P und W ein Gleichungssystem zur
Berechnung der Koeffizienten a , b , c und d .
Leitfrage:
Ein neues Schild wird aus einem rechteckigen Blechstück ausgeschnitten. Dieses Schild ist
symmetrisch zur y Achse (siehe nachstehende Abbildung).
y in cm
x in cm
50 cm
O
g
15 cm
– Stellen Sie mithilfe von g eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten Fläche
auf.
A =

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Informationsschilder
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
+ 2 ∙ b ∙ x + c
f ″ ( x ) = 6 ∙ a ∙ x + 2 ∙ b
I : f (25) = 0
II : f (12,5) = –7,5
III : f ′ (12,5) = 0,8625
IV : f ″ (12,5) = 0
oder:
I : a ∙ 25
3
+ b ∙ 25
2
+ c ∙ 25 + d = 0
II : a ∙ 12,5
3
+ b ∙ 12,5
2
+ c ∙ 12,5 + d = –7,5
III : 3 ∙ a ∙ 12,5
2
+ 2 ∙ b ∙ 12,5 + c = 0,8625
IV : 6 ∙ a ∙ 12,5 + 2 ∙ b = 0
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Gleichungssystem richtig erstellt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A = 2 ∙
∫
25
0
( g ( x ) + 15) d x oder A = 50 ∙ 15 + 2 ∙
∫
25
0
g ( x ) d x oder A = 50 ∙ 15 +
∫
25
–25
g ( x ) d x
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Körpertemperatur
Marie hat Fieber und nimmt deswegen ein fiebersenkendes Medikament ein.
Maries Körpertemperatur nach Einnahme des Medikaments kann modellhaft durch die Funktion T
beschrieben werden.
t ... Zeit nach Einnahme des Medikaments in h mit 0 ≤ t ≤ 6
T ( t ) ... Maries Körpertemperatur zum Zeitpunkt t in °C
Aufgabenstellung:
– Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammen
hang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
T (5) – T (0)
5 – 0
= –0,4
Leitfrage:
Theo ist krank und nimmt um 9:00 Uhr ein Medikament ein.
t ... Zeit nach Einnahme des Medikaments in h mit t = 0 für 9:00 Uhr
K ( t ) ... Theos Körpertemperatur zum Zeitpunkt t in °C
Nach der Einnahme des Medikaments wird stündlich Theos Körpertemperatur gemessen, also
um 10:00 Uhr, 11:00 Uhr usw.
In einem einfachen Modell gilt:
K ( t + 1) = K ( t ) – 0,5 ∙ ( K ( t ) – 36,5)
K (0) = 39
– Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Messung von Theos Körpertemperatur erstmals
weniger als 37,5 °C ergibt.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Körpertemperatur
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Maries Körpertemperatur sinkt in den ersten 5 Stunden nach Einnahme des Medikaments um
durchschnittlich 0,4 °C pro Stunde.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Ergebnis unter Angabe der zuge
hörigen Einheit im gegebenen Sachzusammenhang richtig interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
K (1) = 37,75 °C
K (2) = 37,125 °C
Zum Zeitpunkt t = 2 (11:00 Uhr) ergibt die Messung von Theos Körpertemperatur erstmals
weniger als 37,5 °C.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zeitpunkt richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Weitsprung
Aufgabenstellung:
Katja nimmt an einem Weitsprungwettbewerb teil.
Dabei werden 5 Sprünge von Katja gewertet. Die größte Sprungweite beträgt 4,3 m, die kleinste
Sprungweite 3,7 m. Bei den restlichen 3 Sprüngen erzielt sie die gleiche Sprungweite w .
Das arithmetische Mittel der 5 Sprungweiten beträgt 4,06 m.
– Ermitteln Sie die Sprungweite w .
Leitfrage:
Chiara trainiert für einen Weitsprungwettbewerb. Die Zufallsvariable X gibt Chiaras Sprungweite
in m an. Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
P ( X ≤ 4,5) = 0,5
P (4,5 < X ≤ 4,6) = 0,3
Chiara springt 2 mal. Die dabei erzielten Sprungweiten werden modellhaft als unabhängig vonein
ander angenommen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine der beiden Sprungweiten mehr als 4,6 m
beträgt.

Kompensationsprüfung 2 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Weitsprung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
4,3 + 3,7 + 3 ∙ w
5
= 4,06 ⇒ w = 4,1 m
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Sprungweite w richtig ermittelt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
0,3
2
+ 2 ∙ 0,3 ∙ 0,5 + 0,5
2
= 0,64
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 64 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.