Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2021 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Februar 2022
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur standardisierten Durchführung
der Kompensationsprüfung
Die vorliegende Angabe zur Kompensationsprüfung umfasst fünf Aufgaben, die unabhängig von
einander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: „Aufgabenstellung“
und „Leitfrage“.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Die Verwendung der vom zuständigen Regierungsmitglied für die Klausurarbeit freigegebenen For
melsammlung für die SRP in Mathematik ist erlaubt. Weiters ist die Verwendung von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) erlaubt,
sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetz
werke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendateien im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich
ist.
Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen
und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben, Arbeitsblätter, produ
zierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen erst nach dem für die Kompensationsprüfung vorgesehe
nen Zeitfenster öffentlich werden.
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Der nachstehende Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfe stellung
bei der Beurteilung.
Kandidat/in 1 Kandidat/in 2 Kandidat/in 3 Kandidat/in 4 Kandidat/in 5
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
gesamt

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Erläuterungen zur Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist bei jeder Aufgabenstel
lung ein Grundkompetenzpunkt und bei jeder Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt
können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Beurteilungsschlüssel für die Kompensationsprüfung
Note
erreichte Punkte
(Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte)
Sehr gut 7 – 10
Gut 6
Befriedigend 5
Genügend 4

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Pendel
In der nachstehenden Abbildung ist ein Pendel modellhaft dargestellt.
l
a
α
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie mithilfe von a und l eine Formel zur Berechnung des Winkels α auf.
Leitfrage:
– Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung die Größe x , die mit dem nachstehenden Ausdruck
berechnet werden kann.
x = l – a ∙ tan(90° – α )

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Pendel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
sin( α ) =
(
a
l
)
oder α = arcsin
(
a
l
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Formel richtig aufgestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
l
a
α
x
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn x richtig gekennzeichnet wird.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Bierschaum
Die Schaumhöhe von Bieren in zylinderförmigen Gläsern nimmt nach dem Einschenken ab.
Schaum
Bier
Schaumhöhe
Aufgabenstellung:
Die Schaumhöhe soll in Abhängigkeit von der Zeit t für die Biersorte A modellhaft durch die
Exponentialfunktion f beschrieben werden.
f ( t ) = a ∙ b
t
t ... Zeit nach dem Einschenken in min
f ( t ) ... Schaumhöhe zum Zeitpunkt t in cm
a , b ... Parameter
Die Halbwertszeit der Schaumhöhe beträgt 3 min.
Die Schaumhöhe beträgt 3 min nach dem Einschenken 4 cm.
– Ermitteln Sie die Parameter a und b .
Leitfrage:
Die Schaumhöhe lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t für die Biersorte B modellhaft durch die
Funktion h beschreiben.
h ( t ) = 6 ∙ 0,81
t
t ... Zeit nach dem Einschenken in min
h ( t ) ... Schaumhöhe zum Zeitpunkt t in cm
– Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Schaumhöhe mit einer Geschwindigkeit von
1 cm/min abnimmt.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Bierschaum
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
1
2
= b
3
⇒ b = 0,793...
f (3) = 4 oder 4 = a ∙ b
3
⇒ a = 8
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
h ′ ( t ) = –1 oder 6 ∙ 0,81
t
∙ ln(0,81) = –1
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
t = 1,11...
Zum Zeitpunkt t = 1,1... min beträgt die Geschwindigkeit der Abnahme 1 cm/min.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zeitpunkt richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Trinkwassergewinnung
In trockenen, nebelreichen Gegenden werden große Netze zur Trinkwassergewinnung aufge
spannt.
In der nachstehenden Abbildung ist ein solches Netz modellhaft in einem Koordinatensystem
dargestellt.
y in m
x in m
g
m
f
O
10 m
0,5 m
0,5 m
4 m
Aufgabenstellung:
Die obere Begrenzungslinie des Netzes kann durch den Graphen der Funktion f mit
f ( x ) = a ∙ x
2
+ b beschrieben werden.
– Ermitteln Sie a und b mithilfe der obigen Abbildung.
Leitfrage:
Der Graph der Funktion g ist bezüglich der in der obigen Abbildung eingezeichneten Mittel
linie m symmetrisch zum Graphen der Funktion f .
– Berechnen Sie den Inhalt A der grau markierten Fläche.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Trinkwassergewinnung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
I : f (5) = 4
II : f (0) = 3,5
oder:
I : 25 ∙ a + b = 4
II : 0 ∙ a + b = 3,5
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
a = 0,02
b = 3,5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ) = 0,02 ∙ x
2
+ 3,5
g ( x ) = –0,02 ∙ x
2
+ 0,5
A =
∫
5
–5
( f ( x ) – g ( x )) d x = 33,3...
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn A richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Quadratische Funktionen
Aufgabenstellung:
Gegeben ist die quadratische Funktion h mit h ( x ) = x
2
– p ∙ x + 4 mit p ∈ ℝ .
– Ermitteln Sie die Koordinaten des Tiefpunkts von h in Abhängigkeit von p .
Leitfrage:
Gegeben ist die quadratische Funktion f mit f ( x ) = x
2
– 2 ∙ b ∙ x –
6
35
mit b ∈ ℝ .
Der Graph von f hat die Nullstelle x
1
=
3
7
.
– Ermitteln Sie b .
– Ermitteln Sie die zweite Nullstelle x
2
von f .

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Quadratische Funktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
h ′ ( x ) = 2 ∙ x – p = 0 ⇒ x =
p
2
Tiefpunkt: T =
(
p
2
| –
p
2
4
+ 4
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinaten des Tiefpunkts richtig
ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
(
3
7
)
2
– 2 ∙ b ∙
3
7
–
6
35
= 0 ⇒ b =
1
70
f ( x ) = 0 ⇒ x
1
=
3
7
, x
2
= –
2
5
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn b und x
2
richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Kleeblatt und Regenschirm
Aufgabenstellung:
Bei einem bestimmten Spiel gibt es 9 Spielkarten. Von diesen Spielkarten zeigen 3 ein Kleeblatt,
die anderen 6 zeigen einen Regenschirm. Es werden 2 dieser 9 Spielkarten ohne Zurücklegen
zufällig gezogen.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 dieser 2 Spielkarten ein Kleeblatt zeigt.
Leitfrage:
Franz hat einen 6 flächigen Würfel, der auf genau 1 Seitenfläche ein Kleeblatt zeigt. Alle anderen
Seitenflächen zeigen einen Regenschirm. Franz würfelt mit diesem Würfel n mal.
– Beschreiben Sie ein im gegebenen Sachzusammenhang mögliches Ereignis E , dessen Wahr
scheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
P ( E ) = 1 –
(
1
6
)
n

Kompensationsprüfung 1 / Februar 2022 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Kleeblatt und Regenschirm
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
6
9
∙
3
8
∙ 2 =
1
2
Die Wahrscheinlichkeit beträgt
1
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ... „bei n Würfen tritt mindestens 1 mal ein Regenschirm als Wurfergebnis auf“
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Ereignis im gegebenen Sachzusammen
hang richtig beschrieben wird.