Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2020 · AHS · Kompi 3

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Weltbevölkerung
Zu Beginn des Jahres 2018 lebten auf der Erde ca. 7,592 Milliarden Menschen. Im Jahr 2018
wurden im weltweiten Durchschnitt auf 1 000 Menschen, die zu Jahresbeginn lebten, ca. 19 Ge
burten und 7 Todesfälle gezählt.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie an, wie viele Kinder im Jahr 2018 durchschnittlich pro Minute geboren wurden.
– Geben Sie an, wie viele Menschen zu Beginn des Jahres 2019 auf der Erde lebten.
Leitfrage:
Die Anzahl der Menschen, die auf der Erde leben, soll ausgehend vom Beginn des Jahres 2018
mithilfe einer Exponentialfunktion N der Form N ( t ) = N (2018) ∙ a
t – 2018
modelliert werden.
t ... entsprechendes Kalenderjahr ( t ≥ 2018)
N ( t ) ... Anzahl der Menschen, die zu Beginn dieses Kalenderjahres auf der Erde leben ( t ≥ 2018)
– Ermitteln Sie a unter Zuhilfenahme der Anzahl der Menschen, die jeweils zu Beginn der Jahre
2018 und 2019 auf der Erde lebten.
Nehmen Sie an, dass die prozentuelle Bevölkerungszunahme im Jahr 2018 für die nachfolgenden
Jahre konstant bleibt.
– Ermitteln Sie dasjenige Kalenderjahr, in dem entsprechend diesem Modell erstmals über 9 Milli
arden Menschen auf der Erde leben werden.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Weltbevölkerung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
7 592 000 ∙ 19
365 ∙ 24 ∙ 60
= 274,44...
Im Jahr 2018 wurden durchschnittlich 274 Kinder pro Minute geboren.
7 592 000 ∙ (19 – 7) = 91 104 000
7,592 ∙ 10
9
+ 91 104 000 = 7,683104 ∙ 10
9
Zu Beginn des Jahres 2019 lebten auf der Erde ca. 7,683 Milliarden Menschen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Anzahl der Geburten pro
Minute und die richtige Bevölkerungszahl zu Beginn des Jahres 2019 angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
7,683104 = 7,592 ∙ a ⇒ a = 1,012
9 = 7,592 ∙ 1,012
t – 2018
⇒ t ≈ 2032,26...
Im Kalenderjahr 2032 werden entsprechend diesem Modell erstmals über 9 Milliarden Menschen
auf der Erde leben.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des Parameters a und das ge
suchte Kalenderjahr richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Schulweg
Ein Schüler fährt mit dem Motorrad zur Schule. Er fährt mit einer als konstant angenommenen
Geschwindigkeit von 72 km/h (= 20 m/s) und startet zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabenstellung:
Die Funktion s gibt in Abhängigkeit von der Zeit t den ab t = 0 zurückgelegten Weg s ( t ) an
( t in s, s ( t ) in m).
– Geben Sie s ( t ) an.
– Geben Sie an, ob zwischen den beiden Größen t und s ( t ) eine direkte Proportionalität besteht.
Leitfrage:
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Schüler 18 km von der Schule entfernt und hat bis zum Unterrichts
beginn 15 Minuten Zeit.
Aufgrund einer Verkehrsbehinderung muss der Schüler seine Geschwindigkeit auf den letzten
6 km reduzieren. Er fährt auf den letzten 6 km mit einer als konstant angenommenen Geschwin
digkeit von 50 km/h.
– Geben Sie an, um wie viele Minuten der Schüler zu spät bei der Schule ankommt, und erläutern
Sie Ihre Vorgehensweise.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Schulweg
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
s ( t ) = 20 ∙ t
Es handelt sich um eine direkte Proportionalität.
(Der Schüler legt beispielsweise in der doppelten Zeit den doppelten Weg zurück.)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung an
gegeben wird und wenn richtig angegeben wird, dass eine direkte Proportionalität vorliegt.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
Der Schüler fährt 12 km mit 72 km/h, dafür benötigt er 10 Minuten.
Für die restlichen 6 km benötigt er
6
50
= 0,12 Stunden, das sind 7,2 Minuten bzw. 7 Minuten und
12 Sekunden.
Er kommt also 2,2 Minuten bzw. 2 Minuten und 12 Sekunden zu spät zur Schule.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Zeit angegeben wird und eine
mögliche Vorgehensweise richtig erläutert wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Gleichseitiges Dreieck
Die Funktion f : ℝ
+
→ ℝ
+
mit f ( x ) =
x
2
4
∙

3 beschreibt den Flächeninhalt f ( x ) eines gleichseitigen
Dreiecks in Abhängigkeit von der Seitenlänge x . Dabei wird x in cm und f ( x ) in cm
2
angegeben.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die relative (prozentuelle) Änderung der Funktion f im Intervall [ x
1
; 2 ∙ x
1
] und deuten
Sie das Ergebnis im gegebenen Kontext.
Leitfrage:
In der nachstehenden Abbildung ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit einer Seitenlänge von
x
1
cm dargestellt. Der Eckpunkt A befindet sich im Koordinatenursprung. Der Vektor AB wird mit
c bezeichnet, der Vektor AC mit b .
x
y
A B
C
b
c
– Geben Sie b in Abhängigkeit von der Seitenlänge x
1
an.
– Geben Sie einen Term zur Berechnung von b ∙ c in Abhängigkeit von x
1
an.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Gleichseitiges Dreieck
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (2 ∙ x
1
) – f ( x
1
)
f ( x
1
)
=
4 ∙ x
1
2
4
∙

3 –
x
1
2
4
∙

3
x
1
2
4
∙

3
=
3 ∙
x
1
2
4
∙

3
x
1
2
4
∙

3
= 3
mögliche Deutung:
Wenn die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks verdoppelt wird, so nimmt der Flächeninhalt
um 300 % zu.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die relative (prozentuelle) Änderung
richtig ermittelt und richtig gedeutet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
b =
( )
0,5 ∙ x
1 
( x
1
2
– (0,5 ∙ x
1
)
2
=
(
1
2
∙ x
1

3
2
∙ x
1
)
mögliche Vorgehensweise:
b ∙ c =
( )
0,5 ∙ x
1 
( x
1
2
– (0,5 ∙ x
1
)
2
∙ ( )
x
1
0
= 0,5 ∙ x
1
2
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Komponenten und ein richtiger
Term angegeben werden. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Extremstellen
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f ( x ) =
1
a
∙ x
3
– x mit a ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die Extremstellen von f in Abhängigkeit von a .
Leitfrage:
Der Graph von f hat die Extremstellen x
1
und x
2
. Er begrenzt mit der x Achse und den
Geraden x = x
1
und x = x
2
ein Flächenstück.
– Ermitteln Sie a so, dass der Inhalt dieses Flächenstücks den Wert 10 hat.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Extremstellen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ′ ( x ) =
3 ∙ x
2
a
– 1
f ′ ( x ) = 0 ⇒ x
1, 2
= ±

a
3
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Extremstellen richtig ermittelt
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
| ∫
0
a
3

f ( x ) d x | = 5 ⇒
5 ∙ a
36
= 5 ⇒ a = 36
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von a richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Schrauben
In einem Betrieb werden Schrauben von den zwei Maschinen M
1
und M
2
hergestellt.
Die Maschine M
1
erzeugt 80 % der Schrauben, wovon 1 % fehlerhaft ist.
Die restlichen Schrauben werden von M
2
erzeugt, wovon 6 % fehlerhaft sind.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie an, wie viel Prozent aller in diesem Betrieb hergestellten Schrauben fehlerhaft sind.
Leitfrage:
Alle in diesem Betrieb hergestellten Schrauben kommen in einen großen Behälter, werden danach
daraus entnommen und in Schachteln zu je 50 Stück verpackt. Die binomialverteilte Zufalls
variable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Schrauben in einer Schachtel.
Der Hersteller verpflichtet sich zur Ausstellung eines Gutscheins im Wert von € 5, wenn sich in
einer dieser Schachteln mindestens 3 und höchstens 5 fehlerhafte Schrauben befinden.
Bei mehr als 5 fehlerhaften Schrauben soll ein Gutschein im Wert von € 25 ausgestellt werden.
– Berechnen Sie die Höhe desjenigen Betrags, den der Hersteller pro Schachtel zur Ausstellung
von Gutscheinen zu erwarten hat.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Schrauben
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
0,8 ∙ 0,01 + 0,2 ∙ 0,06 = 0,02
Es sind 2 % aller in diesem Betrieb hergestellten Schrauben fehlerhaft.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Prozentwert angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
n = 50; p = 0,02
P (3 ≤ X ≤ 5) = 0,0779...
P ( X > 5) = 0,0004...
E ( X ) = 0,0779... ∙ 5 + 0,0004... ∙ 25 = 0,402... ≈ 0,40
Der Hersteller hat pro Schachtel ca. 40 Cent zur Ausstellung von Gutscheinen zu erwarten.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Höhe des Betrags richtig berechnet wird.