Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2020 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Flugbahnen
Die drei Flugzeuge F
1
, F
2
und F
3
fliegen in einem bestimmten Zeitraum in der gleichen Höhe.
Ihre Flugbahnen können in diesem Zeitraum mithilfe der drei Geraden f
1
, f
2
bzw. f
3
modelliert
werden.
Dabei gilt: f
1
: X = A + r ∙ v
1
mit r ∈ ℝ
+
f
2
: X = B + s ∙ v
2
mit s ∈ ℝ
+
f
3
: X = C + u ∙ v
3
mit u ∈ ℝ
+
Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich das Flugzeug F
1
im Punkt A = ( a | 40) mit a ∈ ℝ und das
Flugzeug F
2
im Punkt B = (–30 | 20). Die Geschwindigkeitsvektoren der Flugzeuge sind gegeben
durch v
1
= v
3
=
( )
10
–10
bzw. v
2
=
( )
5
b
mit b ∈ ℝ .
Die Parameter r , s und u geben jeweils die Flugdauer in Minuten ab dem Zeitpunkt t = 0 an. Die
Geschwindigkeit der Flugzeuge wird in km/min angegeben.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie, für welche Werte von a und b die Flugbahnen von F
1
und F
2
identisch sind.
Leitfrage:
Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich das Flugzeug F
3
im Punkt C = (–20 | 40).
– Ermitteln Sie in diesem Fall den Wert von b so, dass die Flugbahnen von F
2
und F
3
einander
rechtwinkelig schneiden.
– Ermitteln Sie den Schnittpunkt S dieser Flugbahnen und begründen Sie, warum es zwischen
den beiden Flugzeugen keine Kollision gibt.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Flugbahnen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
möglicher Lösungsweg:
f
1
: X =
( )
a
40
+ r ∙
( )
10
–10
f
2
: X =
( )
–30
20
+ s ∙
( )
5
b
v
1
=
( )
10
–10
ist parallel zu v
2
=
( )
5
b
⇒ b = –5
( )
–30
20
=
( )
a
40
+ r ∙
( )
10
–10
⇒ r = 2, a = –50
a = –50
b = –5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Werte von a und b richtig ermittelt
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Lösungsweg:
v
2
∙ v
3
= 0 ⇒
( )
5
b
∙
( )
10
–10
= 0 ⇒ b = 5
( )
–20
40
+ u ∙
( )
10
–10
=
( )
–30
20
+ s ∙
( )
5
5
⇒ u = 0,5; s = 3 ⇒ S = (–15 | 35)
Es gibt keine Kollision, da die jeweilige Flugdauer bis zum Punkt S (mit u = 0,5 min bzw.
s = 3 min) unterschiedlich lang ist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des Parameters b und der Schnitt
punkt S richtig ermittelt werden und eine richtige Begründung erfolgt.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Dreieck
Für ein a ∈ ℝ
+
ist die lineare Funktion g mit g ( x ) = –2 ∙ a ∙ x + 2 gegeben. Der Graph von g und
die beiden Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie den Flächeninhalt A dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a an.
A ( a ) =
Leitfrage:
Eine Veränderung von a bewirkt eine Veränderung des Flächeninhalts A des Dreiecks.
– Geben Sie an, wie sich A ändert, wenn a verdoppelt wird.
– Geben Sie an, um wie viel % sich A verändert, wenn a um 20 % verkleinert wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Dreieck
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
möglicher Lösungsweg:
Schnittpunkte mit den Achsen: (
1
a
|
0 ) und (0 | 2)
A ( a ) =
1
a
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktion angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Lösungsweg:
A (2 ∙ a ) =
1
2 ∙ a
=
1
2
∙
1
a
Wird a verdoppelt, so wird A halbiert.
A (0,8 ∙ a ) =
1
0,8 ∙ a
= 1,25 ∙
1
a
Wird a um 20 % verkleinert, dann wird A um 25 % größer.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Veränderungen des
Flächeninhalts angegeben werden.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Schularbeit
Die Klasse 8a einer Schule besteht aus 27 Schülerinnen und Schülern, die Klasse 8b aus
24 Schülerinnen und Schülern.
Bei der letzten Schularbeit, die in allen 8. Klassen zeitgleich durchgeführt wurde, waren die Schü
lerinnen und Schüler in der 8a und der 8b vollzählig anwesend. In der 8a wurde ein „Sehr gut“
mehr erreicht als in der 8b. Der relative Anteil der „Sehr gut“ war in beiden Klassen gleich hoch.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die Anzahl der mit „Sehr gut“ beurteilten Schularbeiten der 8a.
Leitfrage:
Eine Gruppe von 9 Schülerinnen und Schülern der 8c nahm ebenfalls an dieser Schularbeit teil.
Insgesamt erreichten 35 % aller Schülerinnen und Schüler, die an dieser Schularbeit teilgenom
men haben, ein „Sehr gut“.
– Geben Sie an, wie viele Schülerinnen und Schüler der 8c auf diese Schularbeit ein „Sehr gut“
erreichten.
Im nachstehenden Säulendiagramm soll das Ergebnis dieser Schularbeit grafisch dargestellt
werden.
Anzahl der „Sehr gut“
8a 8c 8b
– Skalieren Sie die senkrechte Achse im obigen Diagramm so, dass der Sachverhalt richtig dar
gestellt wird, und ergänzen Sie das Diagramm durch Einzeichnen der Säule für das Ergebnis
der 8b.
– Nennen Sie einen Grund dafür, warum dieses Diagramm als manipulativ aufgefasst werden
kann.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Schularbeit
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
möglicher Lösungsweg:
n ... Anzahl der „Sehr gut“ in der Klasse 8a
n – 1 ... Anzahl der „Sehr gut“ in der Klasse 8b
n
27
=
n – 1
24
⇒ n = 9
Neun Schularbeiten der 8a wurden mit „Sehr gut“ beurteilt.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Anzahl an „Sehr gut“ richtig ermit
telt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Lösungsweg:
0,35 ∙ (27 + 24 + 9) = 21
21 – 9 – 8 = 4
Vier Schülerinnen und Schüler der 8c
erreichten ein „Sehr gut“.
Anzahl der „Sehr gut“
8a 8c 8b
8
7
6
5
4
0
9
mögliche Gründe:
Da von der Klasse 8c nur 9 Schülerinnen und Schüler teilnahmen, wären die relativen Anteile aus
sagekräftiger als die absoluten Anteile.
oder:
Die Verkürzung der senkrechten Achse erweckt den Eindruck, dass die 8c im Vergleich zur 8a viel
weniger „Sehr gut“ erreicht hat.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Anzahl an Schülerinnen und
Schülern angegeben wird, das Diagramm richtig ergänzt wird und ein richtiger Grund genannt
wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Integral
Aufgabenstellung:
Betrachtet wird eine lineare (nicht konstante) Funktion f , für die
∫
3
0
f ( x ) d x = 0 gilt.
– Geben Sie die Nullstelle von f an und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Leitfrage:
Betrachtet wird eine quadratische Funktion g mit g ( x ) = a ∙ x
2
+ b ( a , b ∈ ℝ , a ≠ 0), für die
∫
3
0
g ( x ) d x = 0 gilt.
– Begründen Sie anhand des Verlaufs des Graphen von g , warum a und b verschiedene Vor
zeichen haben müssen.
– Geben Sie den Zusammenhang zwischen a und b mithilfe einer Gleichung an.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Integral
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Nullstelle von f ist 1,5.
Der Graph von f muss mit der x Achse zwei gleich große Flächenstücke einschließen (eines ober
halb, das andere unterhalb der x Achse). Daher muss die Nullstelle genau in der Mitte des Inter
valls [0; 3] liegen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Nullstelle und eine richtige
Begründung angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Parabel muss die x Achse (zwischen 0 und 3) schneiden. Entweder ist die Parabel nach oben
geöffnet und ihr Scheitel ist unterhalb der x Achse ( a > 0, b < 0) oder sie ist nach unten geöffnet
und ihr Scheitel ist oberhalb der x Achse ( a < 0, b > 0).
∫
3
0
g ( x ) d x = 0
∫
3
0
( a ∙ x
2
+ b ) d x =
a ∙ x
3
3
+ b ∙ x |
3
0
⇒ 3 ∙ a + b = 0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Begründung und eine richtige
Gleichung angegeben werden.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Führerscheinprüfung
Der theoretische Teil der Führerscheinprüfung besteht ausschließlich aus Multiple Choice Fragen.
Bei jeder Frage gibt es vier Antwortmöglichkeiten, wobei mindestens eine Antwortmöglichkeit
richtig ist. Eine Frage gilt als bearbeitet, wenn mindestens eine Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.
Eine Frage gilt als richtig beantwortet, wenn die richtige(n) Antwortmöglichkeit(en) angekreuzt ist
(sind).
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, eine derartige Multiple Choice Frage zu bearbeiten.
Leitfrage:
Angenommen, Elias muss in jedem Bereich des theoretischen Teils der Führerscheinprüfung raten
und wählt jeweils unter allen Möglichkeiten, eine Frage zu bearbeiten, eine Bearbeitungsmöglich
keit zufällig aus. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine bestimmte Bearbeitungsmög
lichkeit wählt, für jede Bearbeitungsmöglichkeit gleich groß.
– Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Elias eine Multiple Choice Frage richtig beant
wortet.
Beim theoretischen Teil werden zunächst 20 Multiple Choice Fragen aus dem Bereich Grund
wissen gestellt.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Elias weniger als 20 % der Multiple Choice
Fragen aus dem Bereich Grundwissen richtig beantwortet und damit den Theoriekurs jedenfalls
wiederholen muss.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Führerscheinprüfung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
( )
4
1
+
( )
4
2
+
( )
4
3
+
( )
4
4
= 4 + 6 + 4 + 1 = 15
Es gibt 15 Möglichkeiten, eine derartige Multiple Choice Frage zu bearbeiten.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Anzahl richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p =
1
15
Die Anzahl X der richtig angekreuzten Multiple Choice Fragen ist binomialverteilt mit den Para
metern n = 20 und p =
1
15
.
P ( X < 4) = P ( X ≤ 3) = 0,959... ≈ 96 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeiten richtig ermittelt
werden.