Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2020 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Pyramide
Das Quadrat ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt M bildet die Grundfläche einer geraden
Pyramide mit der Spitze S (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).
A B
C
D
S
M
Es gilt: A = (0 | 0 | 0), C = (8 | 4 | 1), MS =
( )
3
–12
24
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die Koordinaten der Spitze S .
Leitfrage:
Es gilt: BD =
( )
–4
y
1
4
mit y
1
∈ ℤ
– Ermitteln Sie y
1
.
– Geben Sie eine Gleichung der Geraden g durch die Punkte B und D an.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Pyramide
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
M = A +
1
2
∙ AC = (4 | 2 | 0,5)
S = M + MS = (7 | –10 | 24,5)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinaten von S richtig ermittelt
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
BD ∙ AC = 0
–4 ∙ 8 + 4 ∙ y
1
+ 4 = 0
y
1
= 7
g : X = M + t ∙ BD
g : X =
( )
4
2
0,5
+ t ∙
( )
–4
7
4
; t ∈ ℝ
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Komponente y
1
richtig ermittelt und eine
richtige Gleichung der Geraden g angegeben wird, wobei „ t ∈ ℝ “ nicht angegeben sein muss.
Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Gravitationskraft
Zwei kugelförmige Körper mit den Massen m
1
und m
2
, deren Schwerpunkte den Abstand r haben,
üben aufeinander eine Kraft F aus ( m
1
und m
2
in kg, r in m, F in Newton).
Es gilt: F =
G ∙ m 1 ∙ m 2
r
2
Dabei ist G die Gravitationskonstante.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie jeweils an, um welchen Funktionstyp es sich bei der Funktion F
1
: m
1
↦ F
1
( m
1
) sowie
bei der Funktion F
2
: r ↦ F
2
( r ) handelt, wenn die jeweils anderen Größen als konstant angenommen werden, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.
Leitfrage:
– Überprüfen Sie, ob die Größen F und r bei konstantem m
1
, m
2
indirekt proportional zueinander
sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
– Geben Sie an, bei welchem Zusammenhang zwischen den beiden Größen m
1
und m
2
(mit m
1
, m
2
> 0) die Kraft F bei konstantem r unabhängig von m
1
und m
2
konstant ist.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Gravitationskraft
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wenn m
2
und r als konstant angenommen werden, ist F
1
eine lineare Funktion, da sie sich in der
Form F
1
( m
1
) =
G ∙ m 2
r
2
∙ m
1
mit
G ∙ m 2
r
2
= konst. anschreiben lässt.
Wenn m
1
und m
2
als konstant angenommen werden, ist F
2
eine Potenzfunktion (bzw. gebrochen
rationale Funktion), da sie sich in der Form F
2
( r ) = ( G ∙ m
1
∙ m
2
) ∙ r
–2
mit G ∙ m
1
∙ m
2
= konst. anschreiben lässt.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Funktionstypen
sowie dafür richtige Begründungen angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
F ( r ) = ( G ∙ m
1
∙ m
2
) ∙ r
–2
Die Größen F und r sind nicht indirekt proportional zueinander, da der im Term enthaltene
Exponent –2 ist und die Funktion somit nicht der Form f ( x ) = k ∙ x
–1
entspricht.
Damit die Kraft F konstant ist, muss gelten: m
1
=
c
m
2
mit c ∈ ℝ .
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Entscheidung samt richtiger Begründung und ein richtiger Zusammenhang angegeben werden.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Teuerungsrate
Die statistisch gemessene Teuerungsrate stellt einen Maßstab für die allgemeine Preisentwicklung
in Österreich dar.
Die Teuerungsrate zwischen Jänner 2017 und Jänner 2018 lag für den Bereich Wohnen/Energie
bei 2,3 %.
Aufgabenstellung:
Eine Familie gab im Jänner 2018 für den Bereich Wohnen/Energie 500 Euro aus.
– Geben Sie unter Verwendung der angeführten Teuerungsrate an, welchem Betrag diese
500 Euro im Jänner 2017 entsprochen hätten.
Leitfrage:
Die Entwicklung der jährlichen Ausgaben x
n
einer Familie für den Bereich Wohnen/Energie kann
(unter Annahme eines konstanten Jahresverbrauchs sowie einer konstanten Teuerungsrate)
modellhaft für einen bestimmten Zeitraum durch eine Differenzengleichung der Form
x
n + 1
= a ∙ x
n
+ b beschrieben werden ( n in Jahren, a , b ∈ ℝ ).
– Ermitteln Sie die Werte von a und b , wenn für den Bereich Wohnen/Energie eine Teuerungsrate
von 2 % angenommen wird.
– Beschreiben Sie, wie sich die jährlichen Ausgaben der Familie für den Bereich Wohnen/Energie
entwickeln, wenn a = 1 und b = 50 gilt.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Teuerungsrate
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
500
1,023
= 488,758... ≈ 488,76
Dieser Betrag hätte im Jänner 2017 ca. 488,76 Euro entsprochen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Betrag für Jänner 2017
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
a = 1,02 und b = 0
Für a = 1 und für b = 50 sind die jährlichen Ausgaben für den Bereich Wohnen/Energie jedes
Jahr um den absoluten Betrag von 50 Euro höher.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und b richtig ermittelt werden und die Entwicklung der jährlichen Ausgaben (für a = 1 und für b = 50) richtig beschrieben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Polynomfunktion
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f ( x ) = x
4
– 3 ∙ x
3
+ 2 ∙ x
2
+ a mit a ∈ ℝ , wobei f ( x ) > 0
für alle x ∈ [0; 2] gilt.
Aufgabenstellung:
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f und der x -Achse soll im Intervall [0; 1]
doppelt so groß wie im Intervall [1; 2] sein.
– Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung von a an und ermitteln Sie den Wert von a .
Leitfrage:
– Geben Sie an, wie durch eine Veränderung des Wertes von a der Verlauf des Graphen von f
beeinflusst wird.
– Geben Sie an, welche(s) der nachstehenden Änderungsmaße in einem Intervall [ x
1
; x
2
] mit
0 ≤ x
1
< x
2
≤ 2 durch eine Veränderung des Wertes von a nicht beeinflusst wird/werden,
und begründen Sie Ihre Entscheidung.
• absolute Änderung von f im Intervall [ x
1
; x
2
]
• relative Änderung von f im Intervall [ x
1
; x
2
]
• mittlere Änderungsrate von f im Intervall [ x
1
; x
2
]

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Polynomfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
∫
1
0
f ( x ) d x = 2 ∙
∫
2
1
f ( x ) d x
a =
53
60
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung und der richtige
Wert von a angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Durch eine Veränderung des Wertes von a wird der Graph von f in Richtung der senkrechten
Achse verschoben.
Durch eine Veränderung des Wertes von a bleiben die absolute Änderung und die mittlere Änderungsrate unverändert.
Die Berechnung dieser Ausdrücke stützt sich jeweils auf die Differenz der Funktionswerte und
der Ausdruck
f ( x
2
) – f ( x
1
) = x
1
4
– 3 ∙ x
1
3
+ 2 ∙ x
1
2
+ a – ( x
2
4
– 3 ∙ x
2
3
+ 2 ∙ x
2
2
+ a )
= x
1
4
– 3 ∙ x
1
3
+ 2 ∙ x
1
2
– x
2
4
+ 3 ∙ x
2
3
– 2 ∙ x
2
2
ist von a unabhängig.
Da die relative Änderung mit
f ( x 2 ) – f ( x 1 )
f ( x
1
)
berechnet wird, bleibt der Nenner und damit die relative
Änderung von a abhängig.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Einfluss der Änderung von a auf den
Verlauf des Graphen und auf die Änderungsmaße richtig angegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Multiple-Choice-Test
Eine Prüfung soll in Form eines Multiple-Choice-Tests durchgeführt werden. Zu jeder der 15 voneinander unabhängigen Fragen gibt es 5 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine
richtig ist. Bei jeder Frage wird eine Antwortmöglichkeit zufällig und unabhängig von den anderen
angekreuzt.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit p
1
für das richtige Ankreuzen bei mindestens einer Frage.
Leitfrage:
Die Wahrscheinlichkeit p
1
soll durch eine Verringerung der Fragenanzahl auf n Fragen mit
n ∈ ℕ \ {0} um mindestens fünf Prozentpunkte verringert werden.
– Geben Sie eine Ungleichung zur Berechnung von n und alle möglichen Werte von n an.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Multiple-Choice-Test
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
p
1
= 1 – 0,8
15
= 0,9648... ≈ 96,5 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1 – 0,8
n
≤ 0,9148... ⇒ n ≤ 11,037... ⇒ n ≤ 11
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Ungleichung und alle möglichen
Werte von n angegeben werden.