Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 8

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 8
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Schiefe Ebene
Ein Körper befindet sich auf einer schiefen Ebene. Die auf ihn wirkende Gewichtskraft F kann in
die parallel zur schiefen Ebene wirkende treibende Kraft F
t
und die normal auf die schiefe Ebene
wirkende drückende Kraft F
d
zerlegt werden (siehe nachstehende Abbildung).
C
B A
α
α
F
t
F
F
d
Aufgabenstellung:
– Bestimmen Sie für F =
( )
0
–50
und F
t
=
( )
–24
–18
die Komponenten des Vektors F
d
=
( )
d
1
d
2
und
weisen Sie nach, dass die beiden Kräfte F
d
und F
t
einen rechten Winkel einschließen.
Leitfrage:
Die Längen F , F
d
und F
t
der jeweiligen Vektoren entsprechen den Größen der Kräfte (in Newton).
– Geben Sie F
d
in Abhängigkeit von F und α an.
– Geben Sie die Komponenten d
1
und d
2
des Vektors F
d
=
( )
d
1
d
2
in Abhängigkeit von F und α an.
Verwenden Sie dazu das rechtwinkelige Dreieck ABC .

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Schiefe Ebene
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
F
t
+ F
d
= F ⇒
( )
–24
–18
+
( )
d
1
d
2
=
( )
0
–50
⇒ F
d
=
( )
24
–32
F
d
∙ F
t
=
( )
–24
–18
∙
( )
24
–32
= –24
2
+ 32 ∙ 18 = 0 ⇒ Die Kräfte schließen einen rechten Winkel ein.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Komponenten des Vektors F
d
richtig bestimmt werden und nachgewiesen wird, dass F
d
und F
t
einen rechten Winkel ein
schließen.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
F
d
= F ∙ cos( α )
sin( α ) =
d
1
F
d
=
d
1
F ∙ cos( α )
⇒ d
1
= F ∙ cos( α ) ∙ sin( α )
cos( α ) =
– d
2
F
d
=
– d
2
F ∙ cos( α )
⇒ d
2
= – F ∙ cos( α ) ∙ cos( α )
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Größe und die richtigen Kompo
nenten der Kraft F
d
angegeben werden.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Erlös
Der Erlös, der durch den Verkauf eines bestimmten Produkts erzielt wird, kann durch die
Funktion E mit E ( x ) = – a ∙ x
2
+ b ∙ x mit a , b ∈ ℝ
+
modelliert werden.
Dabei gibt x die Anzahl der produzierten und verkauften Mengeneinheiten (ME) und E ( x ) den da
durch erzielten Erlös in Euro an.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die lokale Extremstelle der Funktion E in Abhängigkeit von a und b und erklären Sie
deren Bedeutung im gegebenen Kontext.
Leitfrage:
Die Funktion p modelliert den Zusammenhang zwischen der Produktionsmenge x dieses Pro
dukts und dem Verkaufspreis p ( x ). Dabei wird x in ME und p ( x ) in Euro/ME angegeben.
– Geben Sie die Gleichung der Funktion p unter Verwendung von a und b an.
Bei einer Produktionsmenge von 1 000 ME beträgt der Verkaufspreis 40 Euro/ME. Wenn 250 ME
mehr produziert werden, dann sinkt der Verkaufspreis um 5 Euro/ME.
– Ermitteln Sie denjenigen Verkaufspreis (in Euro/ME), bei dem der maximale Erlös erzielt wird.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Erlös
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
E ′ ( x ) = –2 ∙ a ∙ x + b
E ′ ( x ) = 0 ⇒ x =
b
2 ∙ a
Extremstelle: x
E
=
b
2 ∙ a
Die Extremstelle gibt an, bei welcher Anzahl an verkauften ME der Erlös maximal ist.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Extremstelle richtig ermittelt wird
und deren Bedeutung im gegebenen Kontext richtig erklärt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ( x ) = x ∙ (– a ∙ x + b ) ⇒ p ( x ) = – a ∙ x + b
mögliche Vorgehensweise:
p (1 000) = 40
p (1 250) = 35
⇒ p ( x ) = –
1
50
∙ x + 60 ⇒ a =
1
50
, b = 60
⇒ x
E
=
b
2 ∙ a
=
60
2 ∙
1
50
= 1 500
p (1 500) = 30
Der maximale Erlös wird bei x = 1 500 ME erzielt. Der entsprechende Verkaufspreis beträgt
30 Euro/ME.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung der Funktion p ange
geben und der Verkaufspreis richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Integral
Aufgabenstellung:
– Geben Sie eine Gleichung einer Funktion g an, die die beiden nachstehenden Bedingungen
erfüllt.
• g ist eine lineare (aber nicht konstante) Funktion.
• Es gilt:
∫
2
0
g ( x ) d x = 0
– Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.
Leitfrage:
– Geben Sie eine Gleichung einer Funktion h an, die die beiden nachstehenden Bedingungen
erfüllt.
• h ist eine quadratische Funktion mit den Nullstellen 0 und 2.
• Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das vom Graphen von h und von der x Achse im Inter
vall [0; 2] begrenzt wird, hat den Wert 4.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Integral
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Lösung:
g ( x ) = x – 1
mögliche Vorgehensweise:
Die Fläche, die vom Graphen von g und von der x Achse im Intervall [0; 2] eingeschlossen wird,
muss aus zwei gleich großen Teilflächen bestehen, die unterhalb bzw. oberhalb der x Achse
liegen. Die Nullstelle von g liegt bei x = 1. Somit sind alle Geraden, die durch (1 | 0) gehen, als
Graphen von g möglich.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung von g ange
geben wird und eine mögliche Vorgehensweise richtig erläutert wird.
Alle Gleichungen der Form g ( x ) = k ∙ ( x – 1), k ∈ ℝ und k ≠ 0 sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Lösungsweg:
h ( x ) = c ∙ ( x – x
1
) ∙ ( x – x
2
)
x
1
, x
2
... Nullstellen von h
h ( x ) = c ∙ x ∙ ( x – 2) = c ∙ x
2
– 2 ∙ c ∙ x
∫
2
0
h ( x ) d x = 4 ⇒
c ∙ x
3
3
– c ∙ x
2
|
2
0
= 4
⇒
8 ∙ c
3
– 4 ∙ c = 4
⇒ c = –3
⇒ h ( x ) = –3 ∙ x
2
+ 6 ∙ x
weitere mögliche Lösung:
h ( x ) = 3 ∙ x
2
– 6 ∙ x
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung von h angegeben
wird.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Wahlbeteiligung
Bei der Nationalratswahl 2019 waren in der niederösterreichischen Gemeinde Pöggstall
2 000 Personen wahlberechtigt. Die Gemeinde Pöggstall ist in vier Wahlsprengel unterteilt.
Die nachstehende Tabelle zeigt die Anzahl der Wahlberechtigten und die Wahlbeteiligung
(in Prozent der Wahlberechtigten) je Wahlsprengel:
Wahlsprengel Wahlberechtigte Wahlbeteiligung
Pöggstall Ort 779 80,87 %
Neukirchen 506 79,84 %
Würnsdorf 360 84,17 %
Pöggstall Umgebung 355 82,54 %
Datenquelle: https://www.poeggstall.at/Ergebnis_der_Nationalratswahl_in_Poeggstall [09.04.2020].
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die prozentuelle Wahlbeteiligung in der Gemeinde Pöggstall bei der Nationalrats
wahl 2019.
Leitfrage:
In einer repräsentativen Stichprobe von wahlberechtigten Personen aus der Gemeinde Pöggstall
soll sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Person befinden, die
sich nicht an der Nationalratswahl 2019 beteiligt hat.
– Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Umfang n einer derartigen Stichprobe.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Wahlbeteiligung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
779
2 000
∙ 0,8087 +
506
2 000
∙ 0,7984 +
360
2 000
∙ 0,8417 +
355
2 000
∙ 0,8254 = 0,81499... ≈ 81,50 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die prozentuelle Wahlbeteiligung
richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
X ... Anzahl der Personen, die sich trotz Wahlberechtigung nicht an der Nationalratswahl 2019
beteiligt haben
P ( X ≥ 1) ≥ 0,99 ⇒ 1 – P ( X = 0) ≥ 0,99 ⇒ 1 – 0,81500...
n
≥ 0,99
⇒ n ≥ 22,51...
Die Stichprobe muss mindestens 23 Personen umfassen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Mindestgröße der Stichprobe richtig
bestimmt wird.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Gewinnspiel
Ziel bei einem bestimmten Gewinnspiel ist es, mit einem fairen Würfel, dessen Seitenflächen mit
den Augenzahlen von 1 bis 6 beschriftet sind, einen Sechser zu würfeln. (Ein Würfel heißt „fair“,
wenn bei jedem Wurf unabhängig von den anderen Würfen gilt: Jede der Augenzahlen tritt mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit auf wie jede der anderen Augenzahlen.)
Spiel 1: Der Spieler würfelt so lange, bis er einen Sechser würfelt, höchstens jedoch dreimal.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler dreimal würfelt.
Leitfrage:
Als Variante (Spiel 2) schlägt Gregor vor, gleichzeitig mit drei Würfeln zu würfeln. Er behauptet,
dass die Wahrscheinlichkeit dafür, genau einen Sechser zu würfeln, bei Spiel 2 höher ist als bei
Spiel 1.
– Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, genau einen Sechser zu würfeln, für beide
Spiele und geben Sie an, ob Gregors Aussage richtig oder falsch ist.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Gewinnspiel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
5
6
∙
5
6
=
25
36
= 0,694
∙
= 69,4
∙
%
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig ermittelt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Spiel 1:
1 –
(
5
6
)
3
=
91
216
= 0,4212... ≈ 42,1 %
Spiel 2:
3 ∙
5
6
∙
5
6
∙
1
6
=
75
216
= 0,3472
∙
≈ 34,7 %
Gregors Aussage ist falsch.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Spiele jeweils die richtige Wahr
scheinlichkeit angegeben wird und angegeben wird, dass Gregors Aussage falsch ist.