Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 7

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 7
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden in ℝ
3
Gegeben sind die beiden Geraden g und h :
g : X =
( )
2
1
–1
+ t ∙
( )
1
–2
3
mit t ∈ ℝ
h : X = B + u ∙
( )
–2
4
c
mit B = (0 | a | b ) und u , a , b , c ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Abhängig von der Wahl von c ergeben sich unterschiedliche Lagebeziehungen von g und h .
– Geben Sie für die möglichen Lagebeziehungen an, welche Werte c jeweils annehmen kann.
Leitfrage:
Die Geraden g und h verlaufen beide durch den Punkt S = (5 | –5 | 8).
– Geben Sie für diesen Fall c in Abhängigkeit von b an.
c =
– Geben Sie an, welche Voraussetzung in diesem Fall für b gelten muss, wenn S der einzige gemeinsame Punkt der Geraden g und h sein soll.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden in ℝ
3
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Für c = –6 sind die Geraden g und h identisch oder parallel.
Für c ≠ –6 sind die Geraden schneidend oder windschief.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die möglichen gegenseitigen Lagen
von g und h einschließlich der jeweils richtigen Werte für c angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
( )
5
–5
8
=
( )
0
a
b
+ u ∙
( )
–2
4
c
⇒ u = –2,5
b – 2,5 ∙ c = 8 ⇒ c = 0,4 ∙ b – 3,2
b ≠ –7
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn c richtig in Abhängigkeit von b angegeben
wird und richtig angegeben wird, dass b in diesem Fall den Wert –7 nicht annehmen darf.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Rechtecke
Gegeben sind Rechtecke, bei denen die längere Seite um 6 cm länger als die kürzere Seite ist.
Aufgabenstellung:
Ein solches Rechteck hat einen Flächeninhalt von 280 cm
2
.
– Geben Sie eine Gleichung an, mit der die Seitenlängen des Rechtecks berechnet werden
können, und berechnen Sie diese Seitenlängen.
Leitfrage:
Die beiden Diagonalen eines anderen Rechtecks, bei dem die längere Seite ebenfalls um 6 cm
länger als die kürzere Seite ist, schließen einen Winkel von 45° ein.
– Berechnen Sie die Länge der kürzeren Seite dieses Rechtecks.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Rechtecke
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
möglicher Lösungsweg:
x ∙ ( x + 6) = 280
x
2
+ 6 ∙ x – 280 = 0
x
1
= –20, x
2
= 14
Die Seiten des Rechtecks sind 14 cm bzw. 20 cm lang.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung angegeben
wird und die beiden Seitenlängen richtig berechnet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
tan
(
45°
2
)
=
x
2
x + 6
2
tan(22,5°) =
x
x + 6
⇒ x = 4,24... ≈ 4,2
Die Länge der kürzeren Seite dieses Rechtecks beträgt ca. 4,2 cm.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge der kürzeren Seite des Rechtecks
richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Tennis
Ein Tennisfeld hat die Form eines Rechtecks, das durch ein Netz in zwei gleich große Spielfelder
geteilt wird.
Ein Tennisball wird vom Abschlagpunkt A , der horizontal 6 m vom Netz entfernt ist und sich in
0,7 m Höhe befindet, parallel zur seitlichen Begrenzungslinie des Tennisfeldes geschlagen. Er
überfliegt das Netz in einer Höhe von 1,15 m über dem Boden und schlägt auf dem Spielfeld des
Gegners 11,5 m vom Netz entfernt auf.
Die Situation ist in Abbildung 1 dargestellt.
A
Netz
Flugbahn
h ( x )
A
x
O
h
Abbildung 1 Abbildung 2
Die Flugbahn des Tennisballs wird modellhaft durch die quadratische Funktion h beschrieben
(siehe Abbildung 2). An der Stelle x gibt h ( x ) die Höhe des Tennisballs über dem Boden an, wobei
| x | die horizontale Entfernung vom Netz ist ( x und h ( x ) in m).
Aufgabenstellung:
– Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von h .
Leitfrage:
Dieser Tennisball befindet sich t Sekunden lang in der Luft und kommt in einer horizontalen Entfernung von w Metern vom Abschlagpunkt auf dem Boden auf.
Es gilt: cos( α ) =
w
v
0
∙ t
Dabei ist α der Abschlagwinkel, der dem Winkel zwischen der Horizontalen und der Tangente an
die Flugbahn im Abschlagpunkt entspricht, und v
0
die Abschlaggeschwindigkeit ( v
0
in m/s).
Der Tennisball mit der oben angegebenen Flugbahn h befindet sich 0,8 s lang in der Luft.
– Berechnen Sie die entsprechende Abschlaggeschwindigkeit v
0
.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Tennis
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
h ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
h (–6) = 0,7
h (0) = 1,15
h (11,5) = 0
}
⇒ h ( x ) = –0,01 ∙ x
2
+ 0,015 ∙ x + 1,15
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine Funktionsgleichung von h richtig
bestimmt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
tan( α ) = h ′ (–6) = 0,135
α = 7,68...°
v
0
=
w
t ∙ cos( α )
v
0
=
17,5
0,8 ∙ cos(7,68...)
= 22,0...
Die Abschlaggeschwindigkeit beträgt ca. 22 m/s.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Abschlaggeschwindigkeit richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Zweite Ableitung
Die zweite Ableitung einer Funktion f ist durch f ″ ( x ) = 9 ∙ x – 1 gegeben.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie die Wendestelle von f an und erläutern Sie mithilfe von f ″ das Krümmungsverhalten
des Graphen von f .
Leitfrage:
Für die Funktion f gilt:
• f hat an der Stelle x = 1 eine Nullstelle.
• f (–1) = 2
– Geben Sie eine Gleichung der Funktion f an.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Zweite Ableitung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wendestelle: f ″ ( x ) = 0 ⇒ x =
1
9
(
f ‴
(
1
9
)
≠ 0
)
Im Intervall
(
–∞;
1
9
)
ist f rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt), da f ″ ( x ) < 0 für alle x ∈
(
–∞;
1
9
)
.
Im Intervall
(
1
9
; ∞
)
ist f linksgekrümmt (positiv gekrümmt), da f ″ ( x ) > 0 für alle x ∈
(
1
9
; ∞
)
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wendestelle angegeben
und das Krümmungsverhalten richtig erläutert wird, wobei auch halboffene Intervalle angegeben
werden können.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Lösungsweg:
f ′ ( x ) =
∫
f ″ ( x ) d x = 4,5 ∙ x
2
– x + c mit c ∈ ℝ
f ( x ) =
∫
f ′ ( x ) d x = 1,5 ∙ x
3
– 0,5 ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit c , d ∈ ℝ
f (1) = 0 ⇒ c + d = –1
f (–1) = 2 ⇒ – c + d = 4
}
⇒ c = –2,5 und d = 1,5
f ( x ) = 1,5 ∙ x
3
– 0,5 ∙ x
2
– 2,5 ∙ x + 1,5
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung der Funktion f angegeben wird.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Glücksrad
Ein Glücksrad ist in die drei unterschiedlich großen Sektoren S
1
, S
2
und S
3
unterteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger des Glücksrads nach einer Drehung auf den Sektor S
1
zeigt,
beträgt bei jeder Drehung unabhängig von allen anderen Drehungen p
1
. Für den Sektor S
2
beträgt
diese Wahrscheinlichkeit 0,5 und für den Sektor S
3
beträgt diese Wahrscheinlichkeit p
3
.
Aufgabenstellung:
– Interpretieren Sie den Term (1 – p
1
)
5
im gegebenen Kontext.
Leitfrage:
Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Drehungen,
nach denen der Zeiger des Glücksrads auf den Sektor S
1
zeigt.
Es gilt: P ( X ≥ 1) = 0,8
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten p
1
und p
3
.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Glücksrad
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Interpretation:
Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger des Glücksrads bei fünfmaligem
Drehen nach einer Drehung niemals auf den Sektor S
1
zeigt.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der gegebene Term richtig interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 1 – (1 – p
1
)
10
1 – (1 – p
1
)
10
= 0,8 ⇒ (1 – p
1
)
10
= 0,2
p
1
= 0,1486... ≈ 14,9 %
p
3
= 1 – 0,5 – 0,1486... = 0,3513...
p
3
≈ 35,1 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeiten p
1
und p
3
richtig
ermittelt werden.