Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 6

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 6
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Hangneigung
Um die Lawinengefahr einschätzen zu können, ist es wichtig, die Hangneigung zu kennen.
Aufgabenstellung:
Ein bestimmter Hang weist eine Neigung von 30° auf.
– Ermitteln Sie sein Gefälle in Prozent.
Leitfrage:
In der unten stehenden Abbildung ist eine Methode zur Einschätzung der Hangneigung mittels
Skistöcken dargestellt. Dabei wird die Hangneigung α mithilfe zweier (gleich langer) Skistöcke AB
und CD ermittelt.
Den Skistock CD hält man waagrecht vom Hang weg, den Skistock AB bringt man senkrecht
zum Skistock CD in Position (siehe Abbildung).
B
C D
A
α
– Geben Sie die Hangneigung an, wenn bei der angegebenen Vorgehensweise die Punkte B
und C zusammenfallen.
– Berechnen Sie die Hangneigung α , wenn die Streckenlänge BC ein Drittel der Skistocklänge AB
ausmacht.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Hangneigung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan(30°) = 0,57735... ≈ 57,74 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das richtige Gefälle des Hanges in
Prozent angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Wenn B = C gilt, beträgt die Hangneigung 45°.
tan( α ) =
AC
CD
=
2
3
⇒ α ≈ 33,7°
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Hangneigung in beiden Fällen
angegeben wird.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Allgemeine Gasgleichung
Die Gleichung p ∙ V = n ∙ R ∙ T beschreibt modellhaft den Zusammenhang zwischen dem Druck p ,
dem Volumen V , der Stoffmenge n und der absoluten Temperatur T eines idealen Gases. Darin
ist R eine Konstante.
Aufgabenstellung:
– Begründen Sie, warum die Abhängigkeit des Drucks p von der Temperatur T durch eine lineare
Funktion der Form p ( T ) = k ∙ T + d (mit k , d ∈ ℝ ) modelliert werden kann, wenn die anderen
Größen konstant sind.
– Geben Sie die Parameter k und d dieser linearen Funktion an.
Leitfrage:
Der Druck p eines idealen Gases kann als Funktion des Volumens V betrachtet werden, wenn die
Größen n , R und T konstant sind.
– Ergänzen Sie die nachstehende Wertetabelle, stellen Sie den Graphen der Funktion p im unten
stehenden Koordinatensystem dar und geben Sie den Funktionstyp von p an.
V in cm
3
50 100 150 200 300
p ( V ) in hPa 100
p ( V ) in hPa
V in cm
3
350 300 250 200 150 100 50 0 400
350
300
250
200
150
100
50
0
400

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Allgemeine Gasgleichung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wenn n , R und V konstant sind, gilt p ( T ) =
n ∙ R
V
∙ T . Diese Gleichung entspricht der Funktionsgleichung einer linearen Funktion mit den Parametern k =
n ∙ R
V
und d = 0.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine (sinngemäß) korrekte Begründung erfolgt und die richtigen Parameter k und d der zugehörigen linearen Funktion angegeben
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p ( V ) =
n ∙ R ∙ T
V
⇒ p ( V ) ∙ V = konstant ⇒ p ( V ) ∙ V = 15 000
V in cm
3
50 100 150 200 300
p ( V ) in hPa 300 150 100 75 50
p ( V ) in hPa
V in cm
3
350 300 250 200 150 100 50 0 400
350
300
250
200
150
100
50
0
400
Bei dieser Funktion p handelt es sich um eine Potenzfunktion.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wertetabelle richtig ergänzt, ein richtiger
Graph dargestellt und ein richtiger Funktionstyp angegeben wird.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Zwei Parabeln
Gegeben sind die Graphen zweier Funktionen f
1
und f
2
mit f
1
( x ) = a
1
∙ x
2
+ b
1
∙ x + c
1
und
f
2
( x ) = a
2
∙ x
2
+ b
2
∙ x + c
2
.
Die Graphen der beiden Funktionen haben nur den Punkt P auf der positiven x -Achse gemeinsam und sind in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
f
1
( x ), f
2
( x )
f
1
f
2
P
x
Aufgabenstellung:
– Setzen Sie jeweils das passende Zeichen „<“, „>“ oder „=“ so, dass eine wahre Aussage entsteht, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.
a
1
a
2
c
1
c
2
Leitfrage:
Im Folgenden gilt: a
1
= 0,25 und P = (2 | 0).
– Geben Sie die Werte der Parameter b
1
und c
1
an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Zwei Parabeln
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a
1
< a
2
, weil der zur Funktion f
1
gehörende Graph „flacher“ verläuft als der zu f
2
gehörende Graph.
c
1
< c
2
, weil f
1
(0) < f
2
(0) ist.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Zeichen richtig eingesetzt und
(sinngemäß) korrekte Begründungen angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
b
1
= –1, c
1
= 1
mögliche Vorgehensweise:
f
1
( x ) = 0,25 ∙ x
2
+ b
1
∙ x + c
1
f
1
′ ( x ) = 0,5 ∙ x + b
1
f
1
′ (2) = 0 ⇒ 1 + b
1
= 0 ⇒ b
1
= –1
f
1
(2) = 0 ⇒ 1 – 2 + c
1
= 0 ⇒ c
1
= 1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Parameterwerte und
eine korrekte Vorgehensweise angegeben werden.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Geschwindigkeit eines Fahrzeugs
Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs zwischen zwei Ampeln im Zeitintervall [0; t
1
] wird modellhaft
durch die Funktion v mit v ( t ) = –
4
15
∙ t
2
+ 4 ∙ t beschrieben, wobei t in s und v ( t ) in m/s gemessen
wird.
Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich das Fahrzeug bei der ersten Ampel.
Aufgabenstellung:
Zum Zeitpunkt t
1
kommt das Fahrzeug bei der zweiten Ampel zum Stillstand.
– Geben Sie diesen Zeitpunkt t
1
an und berechnen Sie den im betrachteten Zeitintervall zurückgelegten Weg.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt t
0
∈ [0; t
1
], zu dem das Fahrzeug seine größte Geschwindigkeit erreicht, und geben Sie diese maximale Geschwindigkeit an.
– Geben Sie unter Verwendung von v eine Gleichung an, mit deren Hilfe derjenige Zeitpunkt t
2
berechnet werden kann, zu dem das Fahrzeug 80 % des Weges zwischen den beiden Ampeln
zurückgelegt hat, und berechnen Sie diesen Zeitpunkt.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Geschwindigkeit eines Fahrzeugs
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v ( t ) = –
4
15
∙ t
2
+ 4 ∙ t = 0 ⇒ t
1
= 15 s
s ( t ) =
∫
v ( t ) d t = –
4
45
∙ t
3
+ 2 ∙ t
2
+ c
s (0) = 0 ⇒ c = 0
s (15) = 150 m
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl der richtige Zeitpunkt als
auch die richtige zurückgelegte Wegstrecke angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
v ′ ( t
0
) = 0 ⇒ –
8
15
∙ t
0
+ 4 = 0 ⇒ t
0
= 7,5 s
v (7,5) = 15 m/s
mögliche Gleichung:
∫
t 2
0
v ( t ) d t = 0,8 ∙ 150 ⇒ t
2
≈ 10,7 s
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl der richtige Zeitpunkt t
0
und die
richtige Geschwindigkeit v ( t
0
) als auch eine richtige Gleichung und der richtige Zeitpunkt t
2
angegeben werden.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Erweiterte Datenliste
Gegeben ist eine aus sechs Zahlen bestehende Datenliste:
x
1
= 4, x
2
= 8, x
3
= 2, x
4
= 7, x
5
= 4, x
6
Das arithmetische Mittel der Datenliste beträgt x = 5.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie den Wert x
6
sowie den Median der Datenliste.
Leitfrage:
– Ergänzen Sie die Datenliste um zwei ganze Zahlen so, dass die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
• Das arithmetische Mittel der neuen Datenliste stimmt mit dem ursprünglichen arithmetischen
Mittel überein.
• Der Median der neuen Datenliste ist größer als der ursprüngliche Median.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Erweiterte Datenliste
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
4 + 8 + 2 + 7 + 4 + x
6
6
= 5 ⇒ x
6
= 5
Median:
4 + 5
2
= 4,5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert x
6
und der richtige
Median angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
zu ergänzende Zahlen: 5 und 5
mögliche Begründung:
Damit das arithmetische Mittel x gleich bleibt, müssen die zu ergänzenden Zahlen von der Form
x – c und x + c mit c ∈ ℕ sein.
Nur für c = 0 und daher genau bei der Ergänzung der Datenliste durch die Werte 5 und 5 ergibt
sich eine Vergrößerung des Medians. So nimmt der Median der Datenliste 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8
den Wert 5 > 4,5 an.
Für alle Werte c ∈ ℕ \{0} liegt 5 – c unterhalb und 5 + c oberhalb des ursprünglichen Medians,
sodass auch die erweiterte Datenliste den Median 4,5 aufweist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte beider zu ergänzenden
Zahlen und eine richtige Begründung angegeben werden.