Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 5

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Trapeze
In der nachstehenden Abbildung ist ein Trapez ABCD dargestellt.
C D
B A
b
c
a
d
β
Aufgabenstellung:
– Geben Sie für obiges Trapez einen Ausdruck für cos( β ) mithilfe der Seitenlängen an.
cos( β ) =
Leitfrage:
Das Trapez ABCD wird durch Anfügen eines rechtwinkeligen Dreiecks vergrößert. Es entsteht
das in der nachstehenden Abbildung dargestellte Trapez A
1
BCD . Sein Flächeninhalt ist um 50 %
größer als jener des ursprünglichen Trapezes.
C D
A
1
B A
b
c
a
d
β
φ
– Geben Sie für dieses Trapez einen Ausdruck für tan( φ ) mithilfe der Seitenlängen an.
tan( φ ) =

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Trapeze
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
cos( β ) =
a – c
b
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Ausdruck für cos( β )
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
A 1 A ∙ d
2
=
1
2
∙
( a + c ) ∙ d
2
A
1
A =
a + c
2
tan( φ ) =
a + c
2 ∙ d
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Ausdruck für tan( φ ) angegeben
wird.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Wassertank
Ein kegelförmiger Wassertank hat ein Fassungsvermögen von 6 m
3
.
Er ist so montiert, dass die Spitze des Kegels der tiefste Punkt ist
(siehe nebenstehende Skizze).
Der Tank wird mit einer konstanten Zuflussrate von z (in m
3
/h) bis zum Rand befüllt ( z > 0).
Aufgabenstellung:
Die Funktion d beschreibt die Dauer des Füllvorgangs (in h) in Abhängigkeit von der Zuflussrate z .
– Geben Sie eine Gleichung der Funktion d an.
Leitfrage:
Der oben beschriebene Wassertank wird mit einer bestimmten Zuflussrate z
1
bis zum Rand befüllt.
Die Funktion V mit V ( h ) = 0,03 ∙ π ∙ h
3
beschreibt das Volumen des im Tank befindlichen Wassers
in Abhängigkeit von der Höhe h des Wasserspiegels ( h in m, V ( h ) in m
3
).
Nach einer Stunde beträgt die Höhe h des Wasserspiegels 2 m.
– Bestimmen Sie die Zuflussrate z
1
und die Dauer des Füllvorgangs.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Wassertank
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
d ( z ) =
6
z
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
V (2) = 0,03 ∙ π ∙ 2
3
= 0,753... ≈ 0,75
Die Zuflussrate z
1
beträgt ca. 0,75 m
3
/h.
6
0,753...
= 7,9... ≈ 8
Die Dauer des Füllvorgangs beträgt ca. 8 Stunden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Zuflussrate und die Dauer des Füllvorgangs richtig bestimmt werden.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Ableitungsfunktion und Tangente
Die zweite Ableitung f ″ einer Polynomfunktion f ist f ″ ( x ) = 3 ∙ x – 6.
Dabei ist t
W
mit t
W
( x ) = k ∙ x + 2 und k ∈ ℝ die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt
W = ( x
W
| –6).
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie k .
Leitfrage:
– Geben Sie eine Gleichung von f an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Ableitungsfunktion und Tangente
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ″ ( x ) = 0 ⇒ W = (2 | –6)
–6 = k ∙ 2 + 2 ⇒ k = –4
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von k richtig bestimmt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ) = 0,5 ∙ x
3
– 3 ∙ x
2
+ 2 ∙ x – 2
mögliche Vorgehensweise:
f ′ ( x ) =
∫
(3 ∙ x – 6) d x = 1,5 ∙ x
2
– 6 ∙ x + c mit c ∈ ℝ
f ′ (2) = –4 ⇒ c = 2 ⇒ f ′ ( x ) = 1,5 ∙ x
2
– 6 ∙ x + 2
f ( x ) =
∫
(1,5 ∙ x
2
– 6 ∙ x + 2) d x = 0,5 ∙ x
3
– 3 ∙ x
2
+ 2 ∙ x + d mit d ∈ ℝ
f (2) = –6 ⇒ d = –2
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung angegeben und eine
mögliche Vorgehensweise richtig erläutert wird.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Zusammenhang zwischen BMI und Skilänge
Für den Body-Mass-Index (BMI) gilt: BMI =
m
l
2
(in kg/m
2
). Dabei ist m die Masse in kg und l die
Körpergröße in m.
Die nachstehende Tabelle enthält Daten von drei Skispringern in einer bestimmten Saison.
Masse Körpergröße
Andreas K. 64 kg 1,80 m
Stefan K. 56 kg 1,70 m
Gregor S. 63 kg 1,82 m
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Body-Mass-Indizes der drei Skispringer.
Leitfrage:
Liegt der BMI bei zumindest 21 kg/m
2
, dann beträgt beim Skispringen die maximal erlaubte Skilänge 145 % der Körpergröße.
Liegt der BMI unter dem Wert 21 kg/m
2
, wird die maximal erlaubte Skilänge folgendermaßen
verkürzt:
Pro 0,125 kg/m
2
der Differenz zwischen 21 kg/m
2
und dem eigenen BMI wird der angegebene
Prozentsatz (von 145 % der Körpergröße) um 0,5 Prozentpunkte verringert.
– Ermitteln Sie, welche maximal erlaubte Skilänge Andreas K. in dieser Saison verwenden durfte.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Zusammenhang zwischen BMI und Skilänge
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
x =
3
64
1,80
2
+
56
1,70
2
+
63
1,82
2
= 19,383...
x ≈ 19,38 kg/m
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des arithmetischen Mittels
richtig berechnet wird. Die Angabe der Einheit ist nicht erforderlich.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
BMI von Andreas K.:
64
1,80
2
= 19,753...
Anpassung der Skilänge an den BMI:
21 – 19,753...
0,125
= 9,975...
145 % – 9,975... ∙ 0,5 % = 140,012... %
180 ∙ 1,40012... = 252,0...
Die maximal erlaubte Skilänge von Andreas K. in dieser Saison beträgt ca. 252 cm.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die maximal erlaubte Skilänge richtig ermittelt
wird.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Würfeln mit zwei Würfeln
Zwei farblich unterscheidbare faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. (Ein Würfel ist „fair“, wenn
bei jedem Wurf unabhängig von den anderen Würfen gilt: Jede der Augenzahlen tritt mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit auf wie jede der anderen Augenzahlen.)
Die Seitenflächen der beiden Würfel sind mit den Augenzahlen von 1 bis 6 beschriftet. Die Zufallsvariable X beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X größer als 10 ist.
Leitfrage:
– Geben Sie an, welche Augensumme auf lange Sicht, also bei oftmaligem Würfeln mit diesen
beiden Würfeln, am häufigsten auftritt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100-maligem Würfeln mit diesen beiden
Würfeln diese Augensumme höchstens 10-mal auftritt.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Würfeln mit zwei Würfeln
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P ( X > 10) =
3
36
=
1
12
= 0,083
∙
= 8,3
∙
%
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Auf lange Sicht tritt die Augensumme 7 am häufigsten auf.
mögliche Begründung:
Für die Augensumme 7 gibt es die größte Anzahl an möglichen Versuchsausgängen:
(1;6), (6;1), (2;5), (5;2), (3;4) und (4;3).
P ( X = 7) =
6
36
=
1
6
Modellierung mittels Binomialverteilung mit n = 100 und p =
1
6
ergibt:
Y ... Anzahl der Würfe, bei denen die Augensumme 7 ergibt
P ( Y ≤ 10) = 0,04269... ≈ 4,27 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Augensumme samt Begründung
angegeben und die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.