Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 4

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Rechtwinkeliges Dreieck
Bei einem rechtwinkeligen Dreieck verhalten sich die Längen der beiden Katheten wie 2 : 3.
Der Winkel α wird von der längeren Kathete und der Hypotenuse eingeschlossen.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie α .
Leitfrage:
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 2 352 cm
2
.
– Ermitteln Sie die Längen der beiden Katheten und die Länge der Hypotenuse.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Rechtwinkeliges Dreieck
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan( α ) =
2
3
⇔ α = 33,690... ≈ 33,69°
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von α richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Für die Längen der beiden Katheten a und b gilt:
a = 2 ∙ t und b = 3 ∙ t mit t ∈ ℝ
+
A =
2 ∙ t ∙ 3 ∙ t
2
= 3 ∙ t
2
= 2 352 ⇒ t = 28
Länge der längeren Kathete: 84 cm
Länge der kürzeren Kathete: 56 cm

56
2
+ 84
2
= 100,9... ≈ 101
Länge der Hypotenuse: ca. 101 cm
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Längen der beiden Katheten und die
Länge der Hypotenuse richtig ermittelt werden.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Betrieb
Die Kosten zur Herstellung von x Mengeneinheiten (ME) eines bestimmten Produkts können
durch die Funktion K mit K ( x ) = 0,00004 ∙ x
3
– 0,048 ∙ x
2
+ 32 ∙ x + 1 600 beschrieben werden
( x ≥ 0).
Die lineare Funktion E beschreibt denjenigen Erlös E ( x ), der beim Verkauf von x ME dieses Produkts erzielt wird.
Die Kosten und der Erlös werden in Euro angegeben.
Der Break-even-Point wird bei 200 ME erreicht.
Aufgabenstellung:
– Bestimmen Sie den Verkaufspreis pro ME für dieses Produkt.
Leitfrage:
– Geben Sie diejenige Menge x
1
an, bei der der maximale Gewinn erzielt wird.
Bei der Menge x
2
sind die Grenzkosten minimal.
– Geben Sie an, um wie viel Euro der bei dieser Menge x
2
erzielte Gewinn geringer ist als der
maximale Gewinn.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Betrieb
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
E (200) = K (200) = 6 400
6 400
200
= 32
Der Verkaufspreis pro ME beträgt € 32.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Verkaufspreis pro ME richtig
bestimmt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Erlös: E ( x ) = 32 ∙ x
Gewinn: G ( x ) = E ( x ) – K ( x ) = –0,00004 ∙ x
3
+ 0,048 ∙ x
2
– 1 600
G ′ ( x ) = 0 ⇒ x
1
= 800 ME
Bei 800 ME wird der maximale Gewinn erzielt.
minimale Grenzkosten: K ″ ( x ) = 0 ⇒ x
2
= 400 ME
G (800) – G (400) = € 5.120
Der Gewinn ist um € 5.120 geringer.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Menge x
1
und die richtige Differenz
der Gewinne angegeben werden.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Schwingungen
Die Funktion s mit s ( t ) = r ∙ sin(50 ∙ π ∙ t ) beschreibt eine harmonische Schwingung mit der
Amplitude r . Die Zeit t wird in Sekunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Die Frequenz gibt die Anzahl der Schwingungen (Perioden) pro Sekunde an.
– Bestimmen Sie die Frequenz f der oben beschriebenen Schwingung ( f in Hertz).
Leitfrage:
Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude exponentiell ab.
Nach 9,6 Sekunden hat die Amplitude einer gedämpften Schwingung mit der oben berechneten
Frequenz f nur noch 30 % ihres Anfangswerts.
– Geben Sie an, bei der wievielten Periode dies der Fall ist.
– Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Amplitude pro Periode abnimmt.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Schwingungen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f = 25 Hz
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Frequenz richtig bestimmt wird,
wobei die Einheit „Hz“ nicht angegeben werden muss.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
9,6 ∙ 25 = 240, d. h. bei der 240. Periode
0,3 ∙ r = r ∙ q
240
⇒ q =

240
0,3 ⇒ q = 0,9949... ≈ 0,995
Die Amplitude nimmt pro Periode um ca. 0,5 % ab.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Periode angegeben wird und die
prozentuelle Änderung richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Polynomfunktion vom Grad 2
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f ( x ) = – x
2
+ 4. Der Graph von f ist im nachstehenden
Koordinatensystem dargestellt.
f ( x )
x
f
2 1 –1 –2 0 –3 3
0
3
2
1
4
Aufgabenstellung:
Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f .
– Berechnen Sie F (2) – F (–2).
Leitfrage:
Eine Gerade g verläuft parallel zur x -Achse und schneidet den Graphen von f in den zwei Punkten
P
1
= ( a | – a
2
+ 4) und P
2
, wobei gilt: 0 < a < 2.
Der Graph von f und der Graph von g begrenzen ein Flächenstück.
– Berechnen Sie den Wert von a so, dass der Inhalt dieses Flächenstücks den Wert
F (2) – F (–2)
8
hat.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Polynomfunktion vom Grad 2
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
F (2) – F (–2) =
∫
2
–2
(– x
2
+ 4) d x =
32
3
= 10,6
∙
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des Terms richtig berechnet
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
g ( x ) = – a
2
+ 4
F (2) – F (–2)
8
=
4
3
∫
a
0
(– x
2
+ 4 – (– a
2
+ 4)) d x =
2
3
⇒ a = 1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von a richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Produktionsfehler
Eine Maschine produziert Holzfiguren. Erfahrungsgemäß liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine produzierte Holzfigur unbrauchbar ist, unabhängig von den anderen Holzfiguren für jede
Holzfigur bei 5 %.
Aufgabenstellung:
Es werden 180 Holzfiguren mit dieser Maschine produziert. Die binomialverteilte Zufallsvariable X
beschreibt die Anzahl der unbrauchbaren Holzfiguren.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X kleiner als der Erwartungswert E ( X ) ist.
Leitfrage:
Mit dieser Maschine werden n Holzfiguren produziert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle
n Holzfiguren brauchbar sind, soll höher als 3 % sein.
– Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert von n , für den diese Bedingung erfüllt ist.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Produktionsfehler
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
n = 180; p = 0,05
E ( X ) = 9
P ( X < 9) = 0,45226... ≈ 45,23 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig ermittelt
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p („brauchbar“) = 0,95
0,95
n
> 0,03 ⇒ n < 68,36...
Der größtmögliche Wert von n , für den diese Bedingung erfüllt ist, ist 68.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der größtmögliche Wert von n richtig ermittelt
wird.