Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 3

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Tangenten
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f vom Grad 3 mit dem
Hochpunkt H und dem Tiefpunkt T .
Die Geraden t
1
, t
2
und t
3
sind Tangenten an den Graphen von f in den Punkten P
1
, P
2
und P
3
.
Die Koordinaten der Punkte P
1
, P
2
und P
3
sowie der Anstieg der jeweils zugehörigen Tangente
sind ganzzahlig.
0
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
4 3 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
f ( x )
x
f
P
1
P
2
P
3
t
3
T
t
1
t
2 H
Aufgabenstellung:
– Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden t
3
an.
Leitfrage:
– Erläutern Sie, welche Informationen die abgebildeten Tangenten in P
1
, P
2
und P
3
sowie die
Punkte H und T für den Graphen von f ′ liefern.
– Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen von f ′ ein.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Tangenten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Parameterdarstellung:
t
3
: X =
( )
3
1
+ t ∙
( )
1
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Parameterdarstellung von
t
3
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der Funktionswert der ersten Ableitung
entspricht jeweils der Steigung der
Tangente an den Graphen von f .
Der Graph von f ′ verläuft somit durch
die Punkte Q
1
= (–3 | 2), Q
2
= (0 | –1) und
Q
3
= (3 | 2).
Die Schnittpunkte N
1
und N
2
des Graphen
von f ′ mit der x -Achse befinden sich an
den Extremstellen des Graphen von f .
0
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
4 3 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
f ( x ), f ′ ( x )
x
f
f ′
Q
1
P
1
P
2
N
1
N
2
P
3
Q
3
t
3
T
Q
2
t
1
t
2 H
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtige Informationen angegeben werden
und der Graph von f ′ richtig eingezeichnet wird.
Der Graph von f ′ muss deutlich erkennbar durch die Punkte Q
1
, Q
2
und Q
3
verlaufen und
Nullstellen an den Extremstellen von f aufweisen.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Fahrenheit
Mithilfe der linearen Funktion T
C
mit T
C
( T
F
) =
5
9
∙ ( T
F
– 32) kann die Temperatur T
F
(in Grad Fahrenheit (°F)) in die Temperatur T
C
(in Grad Celsius (°C)) umgerechnet werden.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie den Schnittpunkt des Graphen der Funktion T
C
mit der senkrechten Achse und
deuten Sie dessen Koordinaten im gegebenen Kontext.
Leitfrage:
– Geben Sie eine Gleichung der Funktion T
F
in Abhängigkeit von T
C
(in °C) an.
Für eine bestimmte Temperatur gilt: ihr Wert in °F ist doppelt so groß wie jener in °C.
– Berechnen Sie den Wert dieser Temperatur T
C
(in °C).

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Fahrenheit
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
T
C
(0) =
5
9
∙ (0 – 32)
⇒ Schnittpunkt mit der senkrechten Achse:
(
0 | –
160
9
)
mögliche Deutung:
0 °F entsprechen ca. –17,8 °C.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Schnittpunkt richtig ermittelt wird
und seine Koordinaten richtig gedeutet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
T
F
( T
C
) =
9
5
∙ T
C
+ 32
2 ∙ T
C
=
9
5
∙ T
C
+ 32 ⇒ T
C
= 160 °C
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung der Funktion T
F
angegeben und der Temperaturwert richtig berechnet wird.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
U-Bahn-Fahrt
Ein Zug einer städtischen U-Bahn fährt zum Zeitpunkt t = 0 von der Station A ab und hält erst
wieder in der Station B .
Die Funktion a : ℝ
0
+
→ ℝ
0
, t ↦ a ( t ) modelliert in Abhängigkeit von der Zeit t die Beschleunigung
des Zuges ( t in s, a ( t ) in m/s
2
).
Dabei gilt: a ( t ) = –
3
1 600
∙ t
2
+
3
40
∙ t
Der Graph von a ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
a ( t )
t
a
0 60 50 40 30 20 10 70
1
0
–2
–1
Aufgabenstellung:
– Interpretieren Sie
∫
40
0
a ( t ) d t im gegebenen Kontext.
Leitfrage:
Es gilt die Beziehung
∫
t 1
0
a ( t ) d t = 0 mit t
1
≠ 0.
– Interpretieren Sie t
1
im gegebenen Kontext.
– Geben Sie die Entfernung zwischen den Stationen A und B an.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
U-Bahn-Fahrt
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Interpretation:
Dieses bestimmte Integral gibt die Geschwindigkeit an, die der Zug 40 s nach der Abfahrt von der
Station A erreicht.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Integral richtig interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Interpretationen:
Nach t
1
Sekunden hat der Zug die Geschwindigkeit v = 0 erreicht.
oder:
Der Zug kommt nach t
1
Sekunden in der Station B zum Stillstand.
–
1
1 600
∙ t
1
3
+
3
80
∙ t
1
2
= 0
t
1
= 60 s
Die Funktion v mit v ( t ) beschreibt in Abhängigkeit von der Zeit t die Geschwindigkeit des Zuges
zum Zeitpunkt t mit 0 ≤ t ≤ 60.
Dabei gilt:
v ( t ) =
∫
a ( t ) d t mit v (0) = 0 ⇒ v ( t ) = –
1
1 600
∙ t
3
+
3
80
∙ t
2
s (60) =
∫
60
0
v ( t ) d t = 675
Die Entfernung zwischen den Stationen A und B beträgt 675 m.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn t
1
richtig interpretiert wird und die richtige
Entfernung zwischen den Stationen angegeben wird.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Baumdiagramm
In der nachstehenden Abbildung ist ein Baumdiagramm für ein zweistufiges Zufallsexperiment mit
den Ereignissen A und B sowie deren Gegenereignissen A und B dargestellt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt, beträgt p .
p
B
A A
0,6 0,2
B B B
Aufgabenstellung:
– Geben Sie die Wahrscheinlichkeit P ( B ) für das Eintreten von Ereignis B in Abhängigkeit von p an.
P ( B ) =
Leitfrage:
– Bestimmen Sie den Wert von p so, dass P ( B ) gleich 0,3 ist.
– Geben Sie den größtmöglichen Wert an, den die Wahrscheinlichkeit P ( B ) annehmen kann.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Baumdiagramm
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P ( B ) = p ∙ 0,6 + (1 – p ) ∙ 0,2 = 0,4 ∙ p + 0,2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit P ( B )
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
0,3 = 0,4 ∙ p + 0,2 ⇒ p = 0,25
P ( B ) nimmt bei p = 1 den größtmöglichen Wert an. Dabei gilt: P ( B ) = 0,6.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von p richtig bestimmt und der
richtige größtmögliche Wert von P ( B ) angegeben wird.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Sprachen
Weltweit sprechen ca. 1,5 Milliarden Menschen Englisch und ca. 420 Millionen Menschen
Spanisch. Nur jeder vierte Englisch sprechende Mensch hat Englisch als Muttersprache erlernt.
Bei den Spanisch sprechenden Menschen sind es elf von vierzehn Menschen, die Spanisch als
Muttersprache erlernt haben.
Aufgabenstellung:
Von den Englisch sprechenden Menschen werden sieben Personen zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt.
– Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau drei dieser sieben Personen Englisch
als Muttersprache erlernt haben.
Leitfrage:
Drei Englisch sprechende und zwei Spanisch sprechende Personen werden zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt.
Die ausgewählten Englisch sprechenden Personen sprechen nicht Spanisch und die ausgewählten
Spanisch sprechenden Personen sprechen nicht Englisch.
– Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau vier dieser fünf Personen diese Sprache
als Muttersprache erlernt haben.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Sprachen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
( )
7
3
∙ 0,25
3
∙ 0,75
4
= 0,1730... ≈ 17,3 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1
4
∙
1
4
∙
1
4
∙
11
14
∙
3
14
∙ 2 +
1
4
∙
1
4
∙
3
4
∙ 3 ∙
11
14
∙
11
14
=
165
1 792
= 0,0920... ≈ 9,2 %
1 2
1 Wahrscheinlichkeit, dass alle Englisch sprechenden Personen und eine Spanisch sprechende
Person ihre Sprache als Muttersprache erlernt haben
2 Wahrscheinlichkeit, dass zwei Englisch sprechende Personen und alle Spanisch sprechenden
Personen ihre Sprache als Muttersprache erlernt haben
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben
wird.