Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Paragleiter
Ein Paragleiter P fliegt h Meter über einem See.
Der Punkt A liegt 20 m höher als der Wasserspiegel und hat zum Paragleiter den Horizontal
abstand e .
Von A aus sieht man den Paragleiter unter dem Höhenwinkel α .
Mit P ′ wird das Spiegelbild des Paragleiters in diesem See bezeichnet, das von A aus unter dem
Tiefenwinkel β gesehen wird.
Die Situation ist in der nachstehenden (nicht maßstabgetreuen) Abbildung dargestellt.
P
P ′
A
e
h
h
Wasserspiegel
α
β
Aufgabenstellung:
– Geben Sie den Horizontalabstand e in Abhängigkeit von h und α an.
e =
Leitfrage:
Es gilt: α = 16,7° und β = 35,0°.
– Ermitteln Sie h .

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Paragleiter
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan( α ) =
h – 20
e
e =
h – 20
tan( α )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert für e angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
e =
h – 20
tan( α )
e =
h + 20
tan( β )
⇒ h = 49,9...
h ≈ 50 m
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn h richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Grippe
Am Morgen des 17. Februar waren in einer bestimmten Stadt 2 000 Personen an Grippe erkrankt,
am Morgen des 28. Februar waren es 4 000. Modellhaft wird angenommen, dass im Februar die
Anzahl der an Grippe erkrankten Personen jeden Tag um den gleichen Prozentsatz gestiegen ist.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie diesen Prozentsatz an.
Leitfrage:
Für den Monat März wird die weitere Entwicklung der Anzahl der an Grippe erkrankten Personen
in dieser Stadt modellhaft durch eine Differenzengleichung beschrieben.
Dabei ist A
t
die Anzahl der erkrankten Personen t Tage nach dem 1. März (erhoben am Morgen
des jeweiligen Tages). In diesem Modell wird angenommen, dass täglich 4 % der Erkrankten je
weils eine gesunde Person anstecken, aber auch täglich 180 Personen wieder gesunden.
– Geben Sie die Differenzengleichung an.
A
t + 1
– A
t
=
A
0
… Anzahl der erkrankten Personen am 1. März
Die Anzahl der an Grippe erkrankten Personen kann bei dieser Modellierung ständig zunehmen,
stabil bleiben oder ständig abnehmen.
– Geben Sie an, welchen Wert A
0
nicht übersteigen darf, damit die Anzahl der an Grippe erkrank
ten Personen im März nicht ständig zunimmt.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Grippe
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
4 000 = 2 000 ∙ a
11
a =

11
2 = 1,0650...
Prozentsatz: ca. 6,5 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Prozentsatz angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A
t + 1
– A
t
= 0,04 ∙ A
t
– 180
Damit die Anzahl der an Grippe erkrankten Personen nicht ständig zunimmt, muss
0,04 ∙ A
0
– 180 ≤ 0 gelten. Also darf A
0
den Wert 4 500 nicht übersteigen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Differenzengleichung und der
richtige Wert, der nicht überstiegen werden darf, angegeben werden.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Wendestelle
Eine Funktion f ist durch f ( x ) =
1
a
∙ x
3
– x mit a ∈ ℝ
+
gegeben.
Aufgabenstellung:
– Zeigen Sie rechnerisch, dass die Wendestelle x
W
des Graphen von f unabhängig von der Wahl
von a ist.
– Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem einen möglichen Graphen von f .
f ( x )
x
O
Leitfrage:
Der Graph von f schneidet die x Achse an der Stelle x
1
< 0 und begrenzt mit der x Achse im
Intervall [ x
1
; x
W
] ein Flächenstück.
– Ermitteln Sie den Wert von a so, dass der Inhalt dieses Flächenstücks den Wert 1 hat.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Wendestelle
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ″ ( x ) =
6 ∙ x
a
Für die Wendestelle gilt: f ″ ( x ) = 0 (und f ‴ ( x
W
) ≠ 0)
6 ∙ x W
a
= 0 ⇒ x
W
= 0 und somit von a unabhängig
möglicher Graph:
f ( x )
x
f
O
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Unabhängigkeit der Wendestelle
von a gezeigt wird und ein möglicher Graph von f richtig skizziert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1
a
∙ x
3
– x = 0 ⇒ x ∙
(
1
a
∙ x
2
– 1 = 0
)
⇒ x
1
= –

a
∫
0
–

a
f ( x ) d x =
x
4
4 ∙ a
–
x
2
2
|
0
–

a
=
a
4
a
4
= 1 ⇒ a = 4
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von a richtig ermittelt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Datenlisten
Gegeben sind zwei Datenlisten.
Liste A : 2, 2, 4, 6, 8, 10, 10
Liste B : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
Aufgabenstellung:
– Geben Sie für jede der beiden Listen das arithmetische Mittel an.
Martin stellt folgende Behauptung auf: „Ich weiß, dass die Standardabweichung bei Liste B
größer ist als bei Liste A , ohne diese konkret zu berechnen.“
– Erläutern Sie, auf welches mathematische Argument Martin seine Behauptung stützen kann.
Leitfrage:
Aus der Liste A wird der Datenwert 6 entfernt.
– Erläutern Sie ohne konkrete Berechnung der statistischen Kennzahlen der neuen Datenliste,
ob bzw. wie sich das arithmetische Mittel, der Median und die Standardabweichung der neuen
Liste im Vergleich zu den Kennzahlen der ursprünglichen Liste A geändert haben.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Datenlisten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Das arithmetische Mittel der Liste A ist 6.
Das arithmetische Mittel der Liste B ist 7.
mögliches Argument:
Die Abweichungen der beiden „äußersten“ Werte vom arithmetischen Mittel sind bei Liste B größer
als bei Liste A , die beiden Listen enthalten gleich viele Werte und die Abweichung der übrigen
Werte vom arithmetischen Mittel ist bei beiden Listen gleich.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen arithmetischen
Mittelwerte angegeben werden und ein richtiges Argument genannt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Das arithmetische Mittel ist 6 und der Median ist 6. Beim Entfernen des Wertes des arithmetischen
Mittels bleibt das arithmetische Mittel einer Liste unverändert. Aufgrund der Symmetrie von Liste A
bleibt auch der Median unverändert. Die Standardabweichung nimmt zu, da die Anzahl der
Datenwerte abnimmt, die Abweichungen der übrigen Datenwerte vom arithmetischen Mittel aber
gleich bleiben.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die jeweiligen Auswirkungen richtig erläutert
werden.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Gewinnspiel
Im Zuge eines Gewinnspiels in einer Filiale eines Autohauses kann eine Person ein Auto gewinnen.
Sie erhält zehn (gleich aussehende) Autoschlüssel, von denen genau einer zum Gewinnauto
passt. Die Person probiert zwei dieser Autoschlüssel aus, die sie zufällig auswählt. Passt einer
dieser Autoschlüssel, so gewinnt die Person das Auto.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass diese Person das Auto gewinnt.
Leitfrage:
Auf die gleiche Art soll dieses Gewinnspiel in mehreren Filialen des Autohauses ermöglicht
werden, wobei in jeder Filiale jeweils eine Person daran teilnimmt. Die binomialverteilte Zufalls
variable X beschreibt die Anzahl der Filialen, in denen ein Auto gewonnen wird.
Der Autohändler gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in mindestens einer Filiale das
Auto gewonnen wird, höher als 90 % ist.
– Ermitteln Sie, in wie vielen Filialen das Gewinnspiel mindestens durchgeführt werden muss,
damit diese Aussage richtig ist.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Gewinnspiel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P („Gewinn“) =
1
10
+
9
10
∙
1
9
= 0,2
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person das Auto gewinnt, beträgt 20 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit ange
geben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p = 0,2
P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 1 – 0,8
n
1 – 0,8
n
> 0,9 ⇒ n > 10,3...
Das Gewinnspiel muss in mindestens 11 Filialen durchgeführt werden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die gesuchte Anzahl richtig ermittelt wird.