Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2020 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Punkte und Geraden
Eine Gerade g verläuft durch die beiden Punkte A = (1 | 7 | 3) und B = (6 | –7 | 1).
Aufgabenstellung:
Für den Punkt C gilt: C = ( x
C
| 1 | –3)
– Ermitteln Sie alle Werte für die Koordinate x
C
des Punktes C so, dass die Vektoren CA und CB
einen rechten Winkel einschließen.
Leitfrage:
Für den Punkt D gilt: D = ( x
D
| y
D
| –3)
– Ermitteln Sie die Koordinaten x
D
und y
D
des Punktes D so, dass der Punkt D auf der Geraden g
liegt.
– Geben Sie an, in welchem Verhältnis der Punkt B die Strecke AD teilt, und begründen Sie Ihre
Aussage.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Punkte und Geraden
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
CA ∙ CB = 0 ⇒
( )
1 – x
C
6
6
∙
( )
6 – x
C
–8
4
= 0 ⇒ x
C
2
– 7 ∙ x
C
– 18 = 0
⇒ x
C
= –2 bzw. x
C
= 9
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden Werte für x
C
richtig ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
g : X =
( )
1
7
3
+ t ∙
( )
5
–14
–2
z
D
= –3 ⇒ –3 = 3 – 2 ∙ t ⇒ t = 3
x
D
= 1 + 5 ∙ t ⇒ x
D
= 16
y
D
= 7 – 14 ∙ t ⇒ y
D
= –35
Der Punkt B teilt die Strecke AD im Verhältnis 1 : 2.
mögliche Begründung:
t = 3 ⇒ D = A + 3 ∙ AB
Der Punkt D ist also dreimal so weit vom Punkt A entfernt wie der Punkt B .
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden Koordinaten richtig ermittelt werden und ein richtiges Verhältnis mit einer richtigen Begründung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Umfang und Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Die Funktion u beschreibt den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von der
Seitenlänge x . Dabei werden x und u ( x ) in cm angegeben.
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie den Wert von
u (5) – u (1)
u (1)
und interpretieren Sie das Ergebnis im gegebenen
Kontext.
Leitfrage:
Die Funktion h beschreibt die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit vom Umfang u .
– Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h und geben Sie den Funktionstyp dieser Funktion an.
h ( u ) =

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Umfang und Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
u ( x ) = 3 ∙ x
u (5) – u (1)
u (1)
=
15 – 3
3
= 4
mögliche Interpretation:
Wird die Seitenlänge von 1 cm auf 5 cm vergrößert, so nimmt der Umfang des Dreiecks um
400 % zu.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des Terms richtig berechnet
wird und eine richtige Interpretation im gegebenen Kontext erfolgt.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
h ( x ) =

x
2
–
(
x
2
)
2
=

3
2
∙ x
⇒ h ( u ) =

3
2
∙
u
3
=

3
6
∙ u
Die Funktion h ist eine lineare Funktion.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine Funktionsgleichung richtig ermittelt und
der richtige Funktionstyp angegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Polynomfunktion
Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f ( x ) = a ∙ x
5
+ b ∙ x
3
+ c ∙ x mit den Parametern
a , b , c ∈ ℝ , a ≠ 0.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie an, wie viele Extremstellen und wie viele Wendestellen die Funktion f maximal haben
kann, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.
Leitfrage:
– Bestimmen Sie die Wendestellen in Abhängigkeit von den Parametern.
– Argumentieren Sie, warum es für b ≠ 0 auf jeden Fall mindestens eine Wendestelle gibt, und
geben Sie an, in welchem Fall es mehr als eine Wendestelle gibt.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Polynomfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Funktion f hat maximal vier Extremstellen und maximal drei Wendestellen.
Die Funktion f hat den Grad n = 5, daher ist die maximale Anzahl der Extremstellen n – 1 = 4
und die maximale Anzahl der Wendestellen n – 2 = 3.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige maximale Anzahl der Extremstellen, die richtige maximale Anzahl der Wendestellen und jeweils eine richtige Begründung
angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ″ ( x ) = 20 ∙ a ∙ x
3
+ 6 ∙ b ∙ x
f ‴ ( x ) = 60 ∙ a ∙ x
2
+ 6 ∙ b
f ″ ( x ) = 0 ⇒ x
1
= 0; x
2
= –
–3 ∙ b
10 ∙ a

; x
3
= +
–3 ∙ b
10 ∙ a

f ‴ (0) = 6 ∙ b ≠ 0 für b ≠ 0
f ‴
(
–
–3 ∙ b
10 ∙ a

)
= f ‴
(
–3 ∙ b
10 ∙ a

)
= 60 ∙ a ∙
(
–3 ∙ b
10 ∙ a
)
+ 6 ∙ b = –12 ∙ b ≠ 0 für b ≠ 0
Es gibt in jedem Fall eine Wendestelle, da x
1
= 0 unabhängig von den Parametern ist.
Die Wendestellen bei x
2
und x
3
gibt es nur dann, wenn a und b unterschiedliche Vorzeichen haben
(also der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist und somit reelle Lösungen existieren).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wendestellen richtig bestimmt werden,
richtig argumentiert wird, dass es immer eine Wendestelle bei x
1
= 0 gibt, und richtig angegeben
wird, in welchem Fall es mehr als eine Wendestelle gibt. Der Punkt ist auch dann zu geben, wenn
der Nachweis, dass f ‴ ( x
W
) ≠ 0 gilt, fehlt.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Bremswirkung
Ein Autofahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 35 m/s, bevor er zu bremsen beginnt.
Zwei Sekunden nach Einsetzen der Bremswirkung beträgt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs
nur noch 21 m/s.
Die Funktion v mit v ( t ) = k ∙ t + d modelliert die Geschwindigkeit des Fahrzeugs t Sekunden nach
Einsetzen der Bremswirkung ( v ( t ) in m/s).
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von v und interpretieren Sie den Wert von k im gegebenen
Kontext.
Leitfrage:
Der Autofahrer ist mit einer Geschwindigkeit von 35 m/s unterwegs und sieht in 130 m Entfernung
ein Hindernis. Erst nach einer Reaktionszeit von einer Sekunde kann er den oben beschriebenen
Bremsvorgang einleiten.
– Geben Sie an, ob das Fahrzeug rechtzeitig anhält, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Bremswirkung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v (0) = 35; v (2) = 21
⇒ v ( t ) = –7 ∙ t + 35
mögliche Interpretationen:
• Die Geschwindigkeit nimmt pro Sekunde um 7 m/s ab.
• Die (Brems-)Beschleunigung beträgt –7 m/s
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Funktionsgleichung von v
ermittelt und der Wert von k richtig interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Das Fahrzeug hält rechtzeitig an.
mögliche Begründung:
v ( t
1
) = 0 ⇒ t
1
= 5
s (5) =
∫
5
0
v ( t ) d t = –3,5 ∙ t
2
+ 35 ∙ t |
5
0
= 87,5
Nach einer Sekunde hat das Fahrzeug (ungebremst) 35 m zurückgelegt, somit bleiben noch 95 m
bis zum Hindernis. Bis zum Stillstand vergehen 5 Sekunden und in dieser Zeit legt das Fahrzeug
nur eine Strecke von 87,5 m zurück.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn angegeben wird, dass das Fahrzeug rechtzeitig anhält, und eine richtige Begründung erfolgt.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Menü
Ein Gasthaus bietet sein Menü in den Größen klein, mittel und groß an.
Das kleine Menü wird von 70 % der Kunden gewählt, jeder 10. Kunde wählt im Schnitt das große
Menü und die restlichen Kunden wählen das mittlere Menü.
Unabhängig von der Menüwahl nehmen 30 % dieser Kunden zusätzlich einen Salat.
Es gibt 6 verschiedene Bestellvarianten, da jede der 3 Menüvarianten mit oder ohne Salat bestellt
werden kann.
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie für jede der beiden nachstehenden Bestellvarianten, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auftritt, und ergänzen Sie diese in der Tabelle.
Bestellung Wahrscheinlichkeit
kleines Menü ohne Salat
großes Menü mit Salat
Leitfrage:
Die Preise für das kleine, mittlere bzw. große Menü (ohne Salat) betragen 7 Euro, 8 Euro bzw.
9 Euro, ein Salat kostet 3 Euro.
Die Zufallsvariable X beschreibt die Kosten für eine Bestellung.
– Bestimmen Sie den Erwartungswert von X .
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kosten einer Bestellung um höchstens 20 % von
diesem Erwartungswert abweichen.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Menü
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Bestellung Wahrscheinlichkeit
kleines Menü ohne Salat 0,7 ∙ 0,7 = 0,49
großes Menü mit Salat 0,1 ∙ 0,3 = 0,03
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Wahrscheinlichkeiten
angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ( X ) = 0,49 ∙ 7 + 0,21 ∙ 10 + 0,14 ∙ 8 + 0,06 ∙ 11 + 0,07 ∙ 9 + 0,03 ∙ 12
E ( X ) = 8,30 Euro
Kostenintervall für E ( X ) ± 0,2 ∙ E ( X ): [6,64 Euro; 9,96 Euro]
Die Kosten aller Menüs ohne Salat liegen in diesem Intervall, das sind 70 % aller Bestellungen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kosten pro Bestellung um höchstens 20 % vom Erwartungswert
abweichen, beträgt 70 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Erwartungswert richtig bestimmt und die
Wahrscheinlichkeit richtig ermittelt wird.