Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2019 · AHS · Kompi 3

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Busreise
Für eine Busreise stehen 55 Plätze zur Verfügung.
Die Fixkosten, die das Reisebüro unabhängig von den teilnehmenden Personen hat, betragen
K Euro.
Für jeden gebuchten Platz erzielt das Reisebüro einen Gewinn von g Euro.
Für jeden nicht gebuchten Platz macht das Reisebüro einen Verlust von f Euro.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie einen Term an, mit dem der Gewinn des Reisebüros für eine Busreise ermittelt wer
den kann, wenn x Plätze gebucht werden.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie den Parameter g in Abhängigkeit von den Fixkosten K , wenn bei einer Teil nahme
von 45 Personen der Gewinn 1.000 Euro beträgt und sich dieser bei einer Teilnahme von
50 Personen verdoppelt.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Busreise
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
möglicher Term:
g ∙ x – f ∙ (55 – x ) – K
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Term angegeben wird.
Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1 000 = 45 ∙ g – 10 ∙ f – K
2 000 = 50 ∙ g – 5 ∙ f – K
g =
1
55
∙ K +
600
11
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Parameter g in Abhängigkeit
von K angegeben wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Proportionalitäten
Direkte und indirekte Proportionalitäten können durch Funktionen beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Der Graph einer Funktion f , die eine indirekte Proportionalität beschreibt, verläuft durch den
Punkt (4 | 3).
– Geben Sie eine Funktionsgleichung von f an.
Leitfrage:
Gegeben ist die Funktion a : ℝ → ℝ mit a ( c ) =
b · c
d · e
und den Konstanten b , d , e ∈ ℝ \{0}.
– Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von a und erläutern Sie für den Fall b > 0, welche Aus
wirkungen die Vorzeichen von d bzw. e auf den Verlauf des Graphen der Funktion a haben.
a ( c )
c

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Proportionalitäten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( x ) =
k
x
3 =
k
4
⇒ k = 12
f ( x ) =
12
x
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung an
gegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
a ( c )
c
Der Graph der Funktion a in Abhängigkeit von c stellt eine Gerade durch den Ursprung dar.
Haben d und e das gleiche Vorzeichen, so ist der Graph von a eine steigende Gerade.
Haben d und e verschiedene Vorzeichen, so ist der Graph von a eine fallende Gerade.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger möglicher Graph und die richti
gen Auswirkungen der Vorzeichen der konstanten Werte auf den Verlauf des Graphen angegeben
werden.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Naturpark
Die Anzahl N
t
einer bestimmten Tierart in einem Naturpark wird jährlich ermittelt.
Zu Beginn der Erhebungen werden N
0
= 180 Tiere gezählt, ein Jahr später werden N
1
= 207 Tiere
gezählt. Es wird angenommen, dass die maximale Anzahl der Tiere dieser Tierart im Naturpark
eine Kapazitätsgrenze K nicht übersteigen kann.
Aufgabenstellung:
Das Wachstum der Tierpopulation kann mithilfe der Differenzengleichung
N
t + 1
= N
t
+ 0,0003 ∙ N
t
∙ ( K – N
t
) modelliert werden.
– Ermitteln Sie die Kapazitätsgrenze K für diese Tierart.
Leitfrage:
Die Anzahl der Tiere kann auch durch eine Funktion N in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben
werden.
Dabei gilt: N ( t ) =
K
1 +
(
K
N
0
– 1
)
∙ ℯ
– λ ∙ K ∙ t
N ( t ) ... Anzahl der Tiere zum Zeitpunkt t mit t in Jahren
N
0
... Anzahl der Tiere zum Zeitpunkt t = 0
λ ... Wachstumskonstante ( λ ∈ ℝ
+
)
– Ermitteln Sie den Wert der Wachstumskonstante λ .
– Geben Sie (mithilfe der Funktionsgleichung von N ) eine Gleichung an, mit der man berechnen
kann, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Tiere nur mehr 10 % unter der Kapazitätsgrenze
liegt.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Naturpark
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
207 = 180 + 0,0003 ∙ 180 ∙ ( K – 180) ⇒ K = 680
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von K angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Aus N (1) = 207, N
0
= 180 und K = 680 folgt λ = 0,000287... ≈ 0,00029.
N ( t ) = 680 ∙ 0,9
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von λ ermittelt und eine
richtige Gleichung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Für eine Polynomfunktion f dritten Grades mit f ( x ) = a · x
3
+ b · x
2
+ c · x + d mit a , b , c , d ∈ ℝ
und a ≠ 0 gelten die folgenden Bedingungen:
f (–2) = 1
f ′ (–2) = 0
f ″ (–2) = 3
Aufgabenstellung:
– Geben Sie an, welcher charakteristische Punkt (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Wendepunkt) des
Graphen von f durch die angeführten Be dingungen festgelegt ist.
– Geben Sie weiters seine Koordinaten an und begründen Sie, warum genau eine weitere Stelle
x
1
existieren muss, für die die Bedingung f ′ ( x
1
) = 0 gilt.
Leitfrage:
– Geben Sie eine Funktionsgleichung von f an, wenn d = 0 ist, und begründen Sie, warum ge
nau eine Stelle x
2
existiert, für die die Bedingung f ″ ( x
2
) = 0 gilt.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Der Graph der Funktion f hat im Punkt (–2 | 1) einen Tiefpunkt.
mögliche Begründung:
Eine Polynomfunktion dritten Grades hat entweder keine Extremstelle oder genau 2 Extrem
stellen. Da der Graph der Funktion f an der Stelle –2 einen Tiefpunkt hat, muss es eine weitere
Extremstelle x
1
geben, an der gilt: f ′ ( x
1
) = 0.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinaten des Punktes P rich
tig angegeben werden, wenn erkannt wird, dass es sich dabei um einen Tiefpunkt handelt, und
wenn eine richtige Begründung angeführt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ) = –
7
8
· x
3
–
15
4
· x
2
–
9
2
· x
mögliche Begründung:
Da die 2. Ableitungsfunktion von f eine lineare Funktion ist und diese wegen a ≠ 0 nicht konstant
ist, kann sie nur eine Nullstelle haben. D. h., es gibt genau eine Stelle x
2
mit f ″ ( x
2
) = 0.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Funktionsgleichung von f sowie
eine richtige Begründung angegeben werden.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Produktion von Hemden
Bei der Produktion von Hemden treten erfahrungsgemäß drei verschiedene Fehler A , B und C
unabhängig voneinander auf.
Für die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens dieser Fehler gilt:
P ( A ) = a
P ( B ) = b
P ( C ) = c
Aufgabenstellung:
Ein Hemd wird zufällig ausgewählt und überprüft.
– Berechnen Sie für a = 5 %, b = 8 % und c = 10 % die Wahrscheinlichkeit, dass das ausge
wählte Hemd genau einen der drei Fehler aufweist, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.
Leitfrage:
– Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass von fünf zufällig ausge
wählten Hemden keines den Fehler A aufweist.
– Geben Sie an, welche Wahrscheinlichkeit im gegebenen Kontext durch den Term a ∙ b ∙ (1 – c )
beschrieben wird.

Kompensationsprüfung 3 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Produktion von Hemden
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wahrscheinlichkeit, dass Fehler A auftritt und Fehler B und C nicht auftreten: 0,05 ∙ 0,92 ∙ 0,9
Wahrscheinlichkeit, dass Fehler B auftritt und Fehler A und C nicht auftreten: 0,95 ∙ 0,08 ∙ 0,9
Wahrscheinlichkeit, dass Fehler C auftritt und Fehler A und B nicht auftreten: 0,95 ∙ 0,92 ∙ 0,1
Diese drei Ereignisse sind disjunkt und daher gilt:
0,05 ∙ 0,92 ∙ 0,9 + 0,95 ∙ 0,08 ∙ 0,9 + 0,95 ∙ 0,92 ∙ 0,1 = 0,1972 = 19,72 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit und
eine richtige Vorgehensweise angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Term:
(1 – a )
5
Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Hemd die Fehler A
und B aufweist und den Fehler C nicht aufweist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Term und eine richtige Interpre
tation angegeben werden.