Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2019 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Zahlen sind Teil einer oder mehrerer Zahlenmengen.
Aufgabenstellung:
– Kreuzen Sie für jede nachstehend angeführte Zahl an, welcher Zahlenmenge bzw. welchen
Zahlenmengen ihr Wert zugeordnet werden kann.
ℤ
–
ℚ ℝ
+
π
2
3 ·

3
–
16
8
1,23 · 10
–3
Leitfrage:
Ist das Ergebnis einer Rechenoperation zweier beliebiger Zahlen einer bestimmten Menge wieder
ein Element dieser Menge, so nennt man diese Menge abgeschlossen bezüglich dieser Rechen
operation.
Zum Beispiel: Für beliebige a , b ∈ ℕ gilt: a · b ∈ ℕ . Somit ist die Menge der natürlichen Zahlen
abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
Betrachtet werden die Rechenoperationen Subtraktion, Multiplikation und Quadratwurzelziehen.
– Geben Sie für die Zahlenmenge ℚ
–
an, ob sie bezüglich der angeführten Rechenoperationen
abgeschlossen ist, und begründen Sie Ihre Aussagen.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Zahlenmengen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
ℤ
–
ℚ ℝ
+
π
2
×
3 ·

3 ×
–
16
8
× ×
1,23 · 10
–3
× ×
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede Zahl die entsprechende(n)
Zahlenmenge(n) angekreuzt ist/sind.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Rechenoperation ist genau dann nicht ge
geben, wenn es zumindest ein Gegenbeispiel dafür gibt.
Die Zahlenmenge ℚ
–
ist bezüglich keiner der angeführten Operationen abgeschlossen, weil z. B.:
• Subtraktion: –
1
3
–
(
–
1
2
)
=
1
6
∉ ℚ
–
• Multiplikation: –
1
3
·
(
–
1
2
)
=
1
6
∉ ℚ
–
• Quadratwurzelziehen:

–
1
6
∉ ℚ
–
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für alle drei Rechenoperationen richtig er
kannt wird, dass keine Abgeschlossenheit vorliegt, und dies jeweils richtig begründet wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Lösungsfälle bei quadratischen Gleichungen
Gegeben ist die quadratische Gleichung x
2
– 2 · x = p mit p ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
– Geben Sie alle Werte von p an, für die die angegebene Gleichung in der Grundmenge ℝ lösbar
ist.
Leitfrage:
– Geben Sie die möglichen Lösungsfälle für eine quadratische Gleichung der Form
a · x
2
+ b · x + c = 0 ( a , b , c ∈ ℝ ; a ≠ 0) an und deuten Sie diese grafisch, indem Sie für jeden
Lösungsfall einen passenden Graphen einer quadratischen Funktion skizzieren.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Lösungsfälle bei quadratischen Gleichungen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
x
2
– 2 ∙ x – p = 0
x
1,2
= 1 ±

1 + p
1 + p ≥ 0 ⇒ p ≥ –1
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle richtigen Werte von p angegeben
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Eine quadratische Gleichung hat entweder keine reelle Lösung, eine reelle Lösung oder zwei reelle
Lösungen.
mögliche grafische Deutung:
Graphen von quadratischen Funktionen sind Parabeln, die entweder die x Achse nicht schneiden,
diese berühren oder die x Achse zweimal schneiden.
Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn die zugehörige Parabel die x Achse
nicht schneidet.
Die quadratische Gleichung hat genau eine reelle Lösung, wenn die zugehörige Parabel die
x Achse berührt.
Die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen, wenn die zugehörige Parabel die x Achse
zweimal schneidet.
mögliche Skizze: y
x
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die drei Lösungsfälle richtig angeführt und
grafisch richtig gedeutet werden.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Bewegung eines Körpers
Ein Körper bewegt sich entlang einer geradlinigen Bahn. Seine Entfernung (in Metern) vom Aus
gangspunkt seiner Bewegung in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) wird durch die Poly
nomfunktion s dritten Grades modelliert.
Der Graph dieser Funktion s ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt, die Koordinaten des
Wendepunkts W , des Hochpunkts H und der Nullstelle N sind ganzzahlig.
s ( t )
s
t
H
W
N
10 8 6 4 2 0 12 14
30
20
10
0
40
Aufgabenstellung:
– Beschreiben Sie in Worten die Bewegung des Körpers und gehen Sie dabei auf die Bedeutung
der Koordinaten der Punkte W , H und N ein.
Leitfrage:
Die Funktion v beschreibt die Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [0; 12].
– Geben Sie den Inhalt derjenigen Fläche an, die vom Graphen der Funktion v und der Zeitachse
im Intervall [0; 8] eingeschlossen wird.
– Argumentieren Sie anhand der obigen Abbildung, dass die maximale Geschwindigkeit mehr als
4 m/s beträgt.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Bewegung eines Körpers
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Beschreibung:
Der Körper beschleunigt 4 s lang. Nach 4 s, in 16 m Entfernung vom Ausgangspunkt, beginnt
er langsamer zu werden. Nach 8 s, in 32 m Entfernung vom Ausgangspunkt, ändert der Körper
seine Bewegungsrichtung und befindet sich nach insgesamt 12 s wieder im Ausgangspunkt.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Bewegung des Körpers unter
Einbeziehung der Koordinaten der Punkte richtig beschrieben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von v und der Zeitachse im Intervall [0; 8] hat den
Wert 32.
mögliche Argumentation:
Das Maximum von v liegt bei t = 4.
Der Anstieg der Tangente im Punkt W des Graphen von s ist größer als 4, da diese Tangente steiler
verläuft als beispielsweise die Gerade durch den Ursprung und H , deren Steigung gleich 4 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert für den Inhalt der Fläche
angegeben wird und wenn richtig begründet wird, warum das Maximum einen Wert größer als 4
annehmen muss.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Pelletsverbrauch
In Deutschland wurden im Jahr 2016 um 8,1 % mehr Pellets als im Jahr 2015 verbraucht.
Im Jahr 2017 wurden um 5 % mehr als im Jahr 2016 verbraucht.
Im Jahr 2018 war der Verbrauch um 4,8 % höher als im Jahr 2017.
Im Jahr 2017 wurden 2,1 Mio. Tonnen an Pellets verbraucht.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie die absolute und die prozentuelle Änderung des Pelletsverbrauchs von 2015 bis
2018 an.
Leitfrage:
– Berechnen Sie die jährliche prozentuelle Änderungsrate p des Pelletsverbrauchs von 2015 bis
2018, wenn für den gesamten Zeitraum ein gleichbleibender Zuwachs angenommen wird.
– Ermitteln Sie mithilfe des Verbrauchswerts des Jahres 2017 und der berechneten jährlichen
prozentuellen Änderungs rate p , nach wie vielen Jahren der Pelletsverbrauch erstmals bei
2,5 Mio. Tonnen liegen wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Pelletsverbrauch
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Verbrauch im Jahr 2015:
2,1
1,05 ∙ 1,081
= 1,850...
Verbrauch im Jahr 2018: 2,1 ∙ 1,048 = 2,2...
⇒ Die absolute Änderung beträgt ca. 0,35 Mio. Tonnen.
1,081 · 1,05 · 1,048 = 1,189...
⇒ Der Pelletsverbrauch hat in diesem Zeitraum um ca. 19 % zugenommen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige absolute und die richtige
prozentuelle Änderung angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1,85 ∙
(
1 +
p
100
)
3
= 2,2 ⇒ p = 5,94... ⇒ p ≈ 6 %
Der Pelletsverbrauch wächst pro Jahr durchschnittlich um ca. 6 %.
2,1 ∙ 1,06
t
= 2,5 ⇒ t ≈ 3
Nach ca. 3 Jahren wird der Pelletsverbrauch erstmals bei 2,5 Mio. Tonnen liegen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert der Änderungsrate und der
richtige Zeitraum angegeben werden.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Gladiolen
Gladiolen sind beliebte Schnittblumen, die aus Gladiolenzwiebeln entstehen. Anhand einer Gla
diolenzwiebel ist nicht erkennbar, welche Farbe die Blüten haben werden. Man geht davon aus,
dass 12 % aller Gladiolen rote Blüten haben.
Aufgabenstellung:
Ein Hobbygärtner pflanzt n zufällig ausgewählte Gladiolenzwiebeln in die Erde.
– Berechnen Sie n , wenn erwartet wird, dass daraus 6 Gladiolen mit roten Blüten entstehen.
– Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass aus den n gepflanzten Gladiolenzwiebeln mindes
tens 5 Gladiolen mit roten Blüten entstehen.
Leitfrage:
Ein Großhändler liefert Gladiolenzwiebeln in Säcken zu je 200 Stück. Er möchte garantieren, dass
die Anzahl der Gladiolen mit roten Blüten in einem Sack um nicht mehr als eine bestimmte An
zahl c vom Erwartungswert abweicht. Dieses Garantieversprechen will er mit einer Wahrschein
lichkeit von mindestens 95 % einhalten können.
– Geben Sie an, wie groß die Abweichung c mindestens sein muss.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Gladiolen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
n ∙ 0,12 = 6 ⇒ n = 50
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der daraus entstehenden Gladiolen mit roten Blüten.
P ( X ≥ 5) = 0,732...
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 73 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Stichprobenumfang n und die
gesuchte Wahrscheinlichkeit richtig angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
n = 200
p = 12 % }
E ( X ) = 24
P (24 – c ≤ X ≤ 24 + c ) ≥ 0,95
c ≥ 9 ⇒ c muss mindestens 9 sein
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Abweichung c richtig angegeben wird.