Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · BHS · Kompi 6

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung
zur standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reife- und Diplomprüfung bzw.
zur standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Berufsreifeprüfung
Mai 2019
Angewandte Mathematik (BHS)
Berufsreifeprüfung Mathematik
Kompensationsprüfung 6
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 2/8
Hinweise zur standardisierten Durchführung
Die alle Fächer betreffenden Durchführungshinweise werden vom BMBWF gesondert erlassen. Die
nachstehenden Hinweise sollen eine standardisierte Vorgehensweise bei der Durchführung unterstützen.
– Die vorgesehene Prüfungszeit beträgt maximal 25 Minuten, die Vorbereitungszeit mindestens 30 Minuten.
– Falls am Computer gearbeitet wird, ist jedes Blatt vor dem Ausdrucken so zu beschriften, dass sie der Kandidatin / dem Kandidaten eindeutig zuzuordnen ist.
– Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften bzw. von
der Formelsammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und von elektronischen
Hilfsmitteln (z. B. grafikfähiger Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie)
ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und keine Eigendaten in die elektronischen
Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in
der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.
– Schreiben Sie Beginn und Ende der Vorbereitungszeit ins Prüfungsprotokoll.
– Nach der Prüfung sind alle Unterlagen (Prüfungsaufgabe, Arbeitsblätter etc.) der Kandidatinnen und Kandidaten einzusammeln. Die Prüfungsunterlagen (Prüfungsaufgaben,
Arbeitsblätter, produzierte digitale Arbeitsdaten etc.) dürfen nicht öffentlich werden.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 3/8
Erläuterungen zur Beurteilung
Eine Aufgabenstellung umfasst stets 12 nachzuweisende Handlungskompetenzen, welche durch
die Großbuchstaben A (Modellieren & Transferieren), B (Operieren & Technologieeinsatz) oder
R (Interpretieren & Dokumentieren und Argumentieren & Kommunizieren) gekennzeichnet sind.
Beurteilungsrelevant ist nur die gestellte Aufgabenstellung.
Für die Beurteilung der Kompensationsprüfung ist jede nachzuweisende Handlungskompetenz als
gleichwertig zu betrachten.
Die Gesamtanzahl der von der Kandidatin / vom Kandidaten vollständig nachgewiesenen Handlungskompetenzen ergibt gemäß dem nachstehenden Beurteilungsschlüssel die Note für die
mündliche Kompensationsprüfung.
Beurteilungsschlüssel:
Gesamtanzahl der nachgewiesenen Handlungskompetenzen
Beurteilung der mündlichen
Kompensationsprüfung
12 Sehr gut
11 Gut
10
9
Befriedigend
8
7
Genügend
6
5
4
3
2
1
0
Nicht genügend
Gesamtbeurteilung:
Da sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit für die Gesamtbeurteilung herangezogen
werden, kann die Gesamtbeurteilung nicht besser als „Befriedigend“ lauten.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 4/8
1) In der nachstehenden Abbildung ist die Frontseite der Kirche St. Hedwig (Oberursel in
Deutschland) in einem Koordinatensystem dargestellt.
y
x
O
Bildquelle: Karsten11 – own work, public domain, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Oberursel,_Kirche_St._Hedwig,_Front.JPG
[20.02.2019] (adaptiert).
Die obere Begrenzungslinie der Frontseite soll durch eine Funktion f mit f ( x ) = a ∙ x
2
+ c beschrieben werden.
– Geben Sie an, welche Vorzeichen die Koeffizienten a und c dabei haben müssen. (R)
y in m
f
x in m
– x
N
O x
N
r
Im oberen Teil der Frontseite der Kirche befindet sich ein kreisrundes Ornament mit dem
Radius r .
– Stellen Sie aus x
N
, r und der Funktion f eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau
markierten Fläche auf. (A)
A =

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 5/8
In einem Bauplan mit dem Maßstab 1 : 50 hat das kreisrunde Ornament einen Flächeninhalt
von 171,6 cm
2
.
– Berechnen Sie den tatsächlichen Flächeninhalt des kreisrunden Ornaments in Quadrat metern. (B)
Ein kreisrundes Ornament besteht aus mehreren Kreisen. Der Radius des zweiten Kreises
beträgt
3
4
des Radius des ersten Kreises.
– Zeigen Sie, dass für die Flächeninhalte A
1
und A
2
der beiden Kreise gilt:
A
1
– A
2
=
7
16
∙ A
1
(R)
Möglicher Lösungsweg:
(R): Der Koeffizient a hat ein negatives Vorzeichen, der Koeffizient c hat ein positives Vorzeichen.
(A): A = 2 ∙
∫
x N
0
f ( x ) d x – r
2
∙ π
oder:
A =
∫
x N
– x N
f ( x ) d x – r
2
∙ π
(B): A
Ornament
= 171,6 ∙ 50
2
= 429 000
429 000 cm
2
= 42,9 m
2
Der Flächeninhalt des kreisrunden Ornaments beträgt 42,9 m
2
.
(R): A
1
= r
2
∙ π
A
2
=
(
3
4
∙ r
)
2
∙ π =
9
16
∙ r
2
∙ π =
9
16
∙ A
1
⇒ A
1
– A
2
=
7
16
∙ A
1

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 6/8
2) Für den Zeitraum von 2005 bis 2015 wurde die Anzahl der Neugeborenen des jeweiligen Jahres
in Österreich erhoben. Im nachstehenden Boxplot sind diese Daten zusammengefasst.
84 83 82 81 80 79 78 77 76
Neugeborene in Tausend
– Lesen Sie die Spannweite (in Tausend) aus dem obigen Boxplot ab. (R)
Jemand betrachtet den obigen Boxplot und behauptet:
„Der Bereich links vom Median ist viel kleiner als der Bereich rechts vom Median. Daher liegen
im Bereich links vom Median weniger Daten als im Bereich rechts vom Median.“
– Begründen Sie, warum diese Argumentation falsch ist. (R)
Das arithmetische Mittel der Anzahl der jährlich Neugeborenen von 2005 bis 2015 ist x .
– Stellen Sie aus x eine Formel zur Berechnung der Gesamtanzahl G aller Neugeborenen von
2005 bis 2015 auf. (A)
G =
Im ersten Halbjahr 2016 betrug die Anzahl der Neugeborenen in Österreich 42 341.
Sie lag damit um rund 2,8 % über der Anzahl der Neugeborenen im ersten Halbjahr 2015.
– Berechnen Sie, wie viele Neugeborene es im ersten Halbjahr 2015 gab. (B)
Möglicher Lösungsweg:
(R): 84,4 – 76,3 = 8,1
Toleranzbereich: [8,0; 8,2]
(R): Die Aussage ist falsch, da links und rechts vom Median immer gleich viele Daten der
geordneten Liste liegen.
(A): G =11 ∙ x
(B): x ... Anzahl der Neugeborenen im ersten Halbjahr 2015
42 341 = 1,028 ∙ x
x = 41 187,74...
Es gab 41 188 Neugeborene.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 7/8
3) Das Höhenprofil einer Skitour im Bereich der Koralpe ist in der nachstehenden Abbildung
dargestellt:
0
1 800
1 600
2 000
0 12 500 10 000 7 500 5 000 2 500 15 000
y in m
x in m
bergauf: 797 m | bergab: 797 m
Länge: 16,57 km | Höhe: 1 551 m – 2117 m
A
B
f
D
g
C
x ... horizontale Entfernung vom Ausgangspunkt in m
y ... Seehöhe bei der horizontalen Entfernung x in m
– Ermitteln Sie die mittlere Steigung im Intervall [8 750; 10 000] in Prozent. (B)
Das Höhenprofil zwischen den Punkten A = (5 800 | 1 820) und B = (7 400 | 1 570) kann
näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion f beschrieben werden.
Die Steigung der Funktion f im Punkt A beträgt – 0,05.
– Erstellen Sie mithilfe dieser Informationen ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion f . (A)
– Erklären Sie ausgehend vom Graphen von f , warum f ′ zwischen A und B keine Nullstellen
hat. (R)
Das Höhenprofil zwischen den Punkten C und D kann näherungsweise durch die Funktion g
beschrieben werden.
g ( x ) =
1
7 500 000
∙ x
3
–
131
90 000
∙ x
2
+
319
60
∙ x – 4 700
x ... horizontale Entfernung vom Ausgangspunkt in m
g ... Seehöhe bei der horizontalen Entfernung x in m
– Berechnen Sie diejenige Stelle zwischen den Punkten C und D , an der die Steigung am
kleinsten ist. (B)

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / AMT / Prüfer/in S. 8/8
Möglicher Lösungsweg:
(B):
1 900 – 1 800
10 000 – 8 750
= 0,08
Die mittlere Steigung beträgt rund 8 %.
Toleranzbereich: [5 %; 12 %]
(A): f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c
f ′ ( x ) = 2 ∙ a ∙ x + b
f (5 800) = 1 820
f (7 400) = 1 570
f ′ (5 800) = –0,05
oder:
5 800
2
∙ a + 5 800 ∙ b + c = 1 820
7 400
2
∙ a + 7 400 ∙ b + c = 1 570
2 ∙ 5 800 ∙ a + b = –0,05
(R): Im betrachteten Bereich hat die Funktion f keine waagrechte Tangente, daher hat f ′
dort keine Nullstellen.
(B): g ″ ( x ) = 0 oder
6
7 500 000
∙ x –
262
90 000
= 0
Berechnung mittels Technologieeinsatz:
x = 3 638,8
∙
Die Stelle mit der kleinsten Steigung liegt bei rund 3 639 m.