Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 8

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 8
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Quadratische Gleichungen
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form r ∙ x
2
= s ∙ x + t in der Variablen x mit den
Koeffizienten r , s , t ∈ ℝ \{0}.
Aufgabenstellung:
Geben Sie für r = 1 ein Wertepaar ( s , t ) so an, dass die quadratische Gleichung keine reelle
Lösung hat!
Leitfrage:
Geben Sie eine Bedingung für r , s und t so an, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle
Lösung hat!
Begründen Sie weiters, warum die quadratische Gleichung für den Fall r = t auf keinen Fall genau eine reelle Lösung haben kann!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Quadratische Gleichungen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Vorgehensweise:
x
2
– s ∙ x – t = 0
Damit die quadratische Gleichung keine reelle Lösung hat, muss gelten:
s
2
4
+ t < 0
⇒ ein mögliches Wertepaar ist: s = 1 und t = –1.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtige Werte für s und t angegeben
werden. Alle Wertepaare, die die Ungleichung
s
2
4
+ t < 0 erfüllen, sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Damit die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung hat, müssen die drei Werte für r , s
und t die Bedingung s
2
= –4 ∙ r ∙ t erfüllen.
mögliche Begründung:
Die Bedingung s
2
= –4 ∙ r ∙ t ist für r = t nicht erfüllbar, da die linke Seite der Bedingung in jedem Fall positiv ist und die rechte Seite der Bedingung in jedem Fall negativ wäre.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine der Lösungserwartung entsprechende
Bedingung für r , s und t angegeben und eine richtige Begründung dafür gegeben wird, dass es
für den Fall r = t auf keinen Fall genau eine reelle Lösung geben kann.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Quader
Von einem Quader mit den Grundkanten a und b und der Höhe h kennt man a = 17,5 cm und
das Volumen V = 3 080 cm
3
.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung derjenigen Funktion b : ℝ
+
→ ℝ
+
an, die jeder Höhe h die entsprechende Seitenlänge b ( h ) zuordnet!
Leitfrage:
Geben Sie eine Gleichung derjenigen Funktion O : ℝ
+
→ ℝ
+
an, die jeder Höhe h die entsprechende Oberfläche O ( h ) zuordnet!
Geben Sie die kleinstmögliche Oberfläche eines derartigen Quaders an!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Quader
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
b ( h ) =
176
h
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung angegeben wird. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
O ( h ) = 17,5 ∙ h ∙ 2 + 17,5 ∙
176
h
∙ 2 + h ∙
176
h
∙ 2 =
6 160
h
+ 35 ∙ h + 352
Minimumstelle: h =

176 ≈ 13,27 cm
⇒ kleinstmögliche Oberfläche: O (

176) ≈ 1 281 cm
2
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung und der
richtige Wert für die kleinstmögliche Oberfläche angegeben werden.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Druckänderung
Der Druck, der bei einem physikalischen Experiment auftritt, kann durch eine Polynomfunktion p
vierten Grades modelliert werden.
In der nachstehenden Abbildung ist der Druckverlauf in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt.
Dabei ist p ( t ) der Druck (in Bar) t Minuten nach Beginn des Experiments. Die Koordinaten der
hervorgehobenen Punkte sind ganzzahlig.
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
p ( t ) in Bar
t in Minuten
p
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die absolute und die relative (prozentuelle) Druckänderung im Zeitintervall [4; 8]!
Leitfrage:
Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung diejenigen Stellen an, für die die momentane Änderungsrate des Druckes gleich null ist! Erläutern Sie, warum außerhalb des oben dargestellten Bereichs
bei der vorliegenden Modellierung keine weiteren derartigen Stellen existieren!
Erläutern Sie, wie man mithilfe der Funktionsgleichung der Modellierungsfunktion p denjenigen
Zeitpunkt t
0
ermitteln kann, zu dem die momentane Änderungsrate des Druckes p maximal ist!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Druckänderung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
absolute Druckänderung: 5 Bar
relative Druckänderung: 2,5 bzw. 250 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige absolute und die richtige
relative Druckänderung angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die momentane Änderungsrate des Druckes ist bei ca. 2,4 Minuten, bei ca. 11,4 Minuten und bei
ca. 19,3 Minuten gleich null.
Es existieren keine weiteren Stellen mit p ′ ( t ) = 0, da eine Polynomfunktion vierten Grades maximal
drei Extremstellen hat.
Der Zeitpunkt t
0
ist eine Wendestelle des Graphen von p und wird durch Lösen der Gleichung
p ″ ( t ) = 0 ermittelt. Diejenige Lösung t
0
, für die p ′ ( t
0
) > 0 gilt, entspricht dem gesuchten Zeitpunkt.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle richtigen Stellen angegeben werden, eine
(sinngemäß) richtige Begründung erfolgt und die Ermittlung von t
0
korrekt erläutert wird.
Beim Ablesen der Stellen sind Abweichungen von 0,2 Minuten zu tolerieren.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Flächenteilung
In der nachstehenden Abbildung ist ein Flächenstück dargestellt. Es wird von den positiven
Koordinatenachsen, von der Geraden mit der Gleichung x = 100 und vom Graphen einer quadratischen Funktion p , der zur senkrechten Achse symmetrisch ist, begrenzt ( p ( x ) und x in mm). Die
Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig.
p ( x ) in mm
20
40
60
0
0 80 60 40 20 100
p
x in mm
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Inhalt des Flächenstücks und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Das Flächenstück soll durch eine zur senkrechten Achse parallele Gerade h halbiert werden.
Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung des Abstands e der Geraden h zur senkrechten Achse
an und berechnen Sie diesen Abstand!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Flächenteilung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
p ( x ) = a ∙ x
2
+ b
Mit b = 60 und dem Einsetzen des Punktes (100 | 20) folgt:
a = –0,004 ⇒ p ( x ) = –0,004 ∙ x
2
+ 60
A =
∫
100
0
p ( x ) d x ≈ 4 667 mm
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Inhalt des Flächenstücks
angegeben wird und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Gleichung:
4 667
2
=
∫
e
0
p ( x ) d x
⇒
4 667
2
=
–0,004 ∙ e
3
3
+ 60 ∙ e ⇒ e ≈ 40,35 mm
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung und der richtige Abstand zur senkrechten Achse angegeben werden.
Toleranzintervall: [40; 41]

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Gruppentest
Gruppentests werden dazu verwendet, um in kurzer Zeit eine große Anzahl von Personen ärztlich
zu untersuchen. Dabei wird das Blut von einer Gruppe von n Personen vermischt und dann untersucht, ob der Erreger einer bestimmten Krankheit darin enthalten ist. Sind alle diese Personen
gesund, so benötigt man nur diesen einen Test. Wird der Erreger nachgewiesen, so werden alle
Personen zusätzlich einzeln getestet und man benötigt in diesem Fall insgesamt n + 1 Tests.
Aufgabenstellung:
Der Erreger einer bestimmten Krankheit ist im Blut von 1 % der Bevölkerung Österreichs enthalten.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Gruppe von zehn jeweils zufällig ausgewählten
Personen (wobei jede Person die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, dass in ihrem Blut der Erreger
enthalten ist) bei mindestens einer Person der Erreger im Blut enthalten ist!
Leitfrage:
Die Wahrscheinlichkeit, dass im Blut einer Person der Erreger enthalten ist, beträgt p = 0,01.
Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der erforderlichen Tests für n = 10.
Ermitteln Sie den Erwartungswert E ( Y )!
Geben Sie an, wie viel Prozent der Tests man sich somit bei dieser Gruppengröße (im Vergleich
zu Einzeltests) durchschnittlich ersparen kann!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Gruppentest
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl derjenigen Personen, in deren Blut der Erreger enthalten ist.
P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) = 1 – 0,99
10
≈ 0,0956
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ( Y ) = 1 ∙ 0,99
10
+ 11 ∙ 0,0956 ≈ 1,96
8,04
10
= 0,804 ⇒ Ersparnis: ca. 80 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Erwartungswert und der richtige
Prozentwert für die Ersparnis angegeben werden.