Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 7

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 7
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Vektoren
Additionen und Subtraktionen von Vektoren in ℝ
2
können grafisch veranschaulicht werden.
Aufgabenstellung:
Führen Sie sowohl die Addition ( a + b ) als auch die Subtraktion ( a – b ) der beiden Vektoren a
und b grafisch in der nachstehenden Abbildung aus!
b
a
Leitfrage:
Die nachstehende Abbildung zeigt ein Rechteck ABCD , dessen Länge doppelt so groß wie die
Breite ist. M ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen.
A
D
C
B
M
Geben Sie an, welche der nachstehenden Aussagen falsch ist/sind, und stellen Sie die falsche(n)
Aussage(n) richtig!
Aussage 1: AB = CD
Aussage 2: D – BC = A
Aussage 3: B +
1
2
∙ BD = BM
Aussage 4: AB + AD = 0

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Vektoren
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Vorgehensweise:
b
b
a
a + b
a – b
– b
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Addition und die Subtraktion grafisch korrekt ausgeführt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Aussagen 1, 3 und 4 sind falsch.
mögliche Richtigstellungen:
Aussage 1: AB = – CD
Aussage 3: B +
1
2
∙ BD = M
Aussage 4: AB + AD = AC oder AB · AD = 0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle falschen Aussagen als
solche erkannt und (sinngemäß) richtiggestellt werden.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ
+
. Die kleinste positive
Extremstelle der Funktion f liegt an der Stelle x
0
=
π
12
und es gilt f ( x
0
) = 3.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte von a und b !
Leitfrage:
Ermitteln Sie den Inhalt A des Flächenstücks, das vom Graphen der Funktion f , von der x -Achse
und von der Geraden x =
π
12
begrenzt wird!
Das Flächenstück soll durch eine senkrechte Gerade mit der Gleichung x = c mit c ∈ ℝ in zwei
flächengleiche Teile geteilt werden.
Ermitteln Sie den Wert von c !

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Sinusfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Extremstelle
(
π
12
|
3
)
⇒ Nullstelle
(
π
6
|
0
)
a = 3 und b = 6
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von a und b angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
A =
π
12
∫
0
3 ∙ sin(6 ∙ x ) d x = 0,5
∫
c
0
3 ∙ sin(6 ∙ x ) d x = 0,25 ⇒ c ≈ 0,175
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Flächeninhalt A und der richtige
Wert von c angegeben werden.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Änderungsmaße
Nachstehend ist der Graph einer Funktion f im Intervall [0; 8] gegeben. Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig.
f ( x )
x
f
0 7 6 5 4 3 2 1 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie grafisch näherungsweise denjenigen Punkt P = ( p
x
| p
y
), in dem der Differenzial quotient gleich dem Differenzenquotienten im Intervall [1; 7] ist, und kennzeichnen Sie den
Punkt P in der obigen Abbildung!
Leitfrage:
Gegeben ist das Intervall [1; b ] mit 1 < b ≤ 8.
Bestimmen Sie jeweils ein mögliches b ∈ ℤ so, dass gilt:
•
f ( b ) – f (1)
b – 1
> 0
•
f ( b )
f (1)
> 3

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Änderungsmaße
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( x )
x
f
P
0 7 6 5 4 3 2 1 8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn P grafisch korrekt ermittelt und der
Lösungserwartung entsprechend eingezeichnet wird.
Toleranzintervall für p
x
: [3,5; 4,5]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
• mögliche Werte für b : 5, 6, 7, 8
• mögliche Werte für b : 6, 7, 8
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Ausdrücke jeweils ein richtiger Wert
für b angegeben wird.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Höhe einer Pflanze (Löwenzahn)
Die Höhe eines Löwenzahns (in cm) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Wochen) wird für einen
Zeitraum von 15 Wochen näherungsweise durch eine Polynomfunktion p mit
p ( t ) = a ∙ t
3
+ b ∙ t
2
+ c ∙ t + d mit a , b , c , d ∈ ℝ beschrieben.
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Löwenzahn 1 cm hoch. Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt zu
diesem Zeitpunkt 0,4 cm pro Woche.
Seine maximale Wachstumsgeschwindigkeit erreicht der Löwenzahn nach 7 Wochen.
Am Ende des Beobachtungszeitraums wird eine Höhe des Löwenzahns von 19 cm gemessen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie ein entsprechendes Gleichungssystem zur Berechnung der Werte a , b , c und d an!
Leitfrage:
Über einen längeren Zeitraum stellt die Funktion h mit h ( t ) =
20
1 + 19 ∙ ℯ
k ∙ t
eine realistischere
Modellierung der Höhe des Löwenzahns dar.
Im Zeitintervall [0; 12] wächst der Löwenzahn durchschnittlich um 1,4 cm pro Woche.
Bestimmen Sie den Wert von k !

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Höhe einer Pflanze (Löwenzahn)
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
p (0) = 1
p ′ (0) = 0,4
p ″ (7) = 0
p (15) = 19
oder:
d = 1
c = 0,4
42 ∙ a + 2 ∙ b = 0
3 375 ∙ a + 225 ∙ b + 15 ∙ c + d = 19
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiges Gleichungssystem ent sprechend der Lösungserwartung angegeben wird. Äquivalente Gleichungen bzw. eine Mischform aus den beiden angegebenen Lösungsvarianten sind ebenfalls als richtig zu werten, wenn
dadurch alle gegebenen Beziehungen abgebildet sind.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
h (12) – h (0)
12
=1,4
h (12) = 17,8 =
20
1 + 19 ∙ ℯ
12 ∙ k
⇒ k ≈ – 0,42
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von k angegeben wird.

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Datenliste
Gegeben ist eine Datenliste x
1
, x
2
, x
3
, ... , x
n
mit n Elementen und dem arithmetischen Mittel a
(mit a ∈ ℝ
+
).
Aufgabenstellung:
Zwei Elemente der Datenliste sollen jeweils um den Wert b erhöht werden (mit b ∈ ℝ
+
).
Der Wert b soll so gewählt werden, dass sich das arithmetische Mittel der neuen Datenliste im
Vergleich zu jenem der alten Datenliste verdoppelt.
Geben Sie eine Formel an, die diesen Zusammenhang zwischen a , b und n beschreibt!
Leitfrage:
Zwei Elemente der ursprünglich gegebenen Datenliste sollen jeweils um den Wert c mit c ∈ ℝ
+
erhöht werden. Der Wert c soll so gewählt werden, dass das arithmetische Mittel der neuen
Daten liste dem Wert c entspricht.
Geben Sie eine Formel an, die diesen Zusammenhang zwischen a , c und n beschreibt!
Geben Sie an, bei welchem Wert von n in diesem Fall die Änderung des arithmetischen Mittels
von a auf c einer Erhöhung um 50 % entspricht!

Kompensationsprüfung 7 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Datenliste
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a +
2 ∙ b
n
= 2 ∙ a
b =
a ∙ n
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Formel für b angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
a +
2 ∙ c
n
= c
c =
a ∙ n
n – 2
a ∙ n
n – 2
a
= 1,5
n = 6
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Formel für c und der richtige
Wert für n angegeben werden.