Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 6

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 6
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden in ℝ
2
Gegeben sind die Punkte A = (5 | 1) und B = (1 | 2).
Aufgabenstellung:
Die Geraden p , n und s verlaufen jeweils durch den Punkt A und sind wie folgt beschrieben:
• Die Gerade p verläuft parallel zur x -Achse.
• Die Gerade n verläuft normal zur x -Achse.
• Die Gerade s hat die Steigung 1.
Geben Sie für jede der drei Geraden eine Gleichung an!
Leitfrage:
Eine Gerade g : y = k ∙ x + d verläuft durch den Punkt B und hat den Steigungswinkel α .
Geben Sie k und d in Abhängigkeit vom Winkel α an!
k =
d =
Geben Sie denjenigen Winkel α ∈ [0°; 90°) an, für den die Geraden g und p keinen Schnittpunkt
haben!
Die Gerade g
1
verläuft durch den Punkt B und hat denselben Steigungswinkel wie die Gerade s .
Ermitteln Sie den Schnittpunkt S der Geraden n mit der Geraden g
1
!

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden in ℝ
2
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Gleichungen:
p : y = 1
n : x = 5
s : y = x – 4
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn korrekte Gleichungen oder Parameterdarstellungen der Geraden p , n und s angegeben werden. Äquivalente Gleichungen oder
Parameterdarstellungen sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
k = tan( α )
d = 2 – tan( α )
Der Anstieg beider Geraden ist null, daher gilt: α = 0°.
Es gilt g
1
: y = x + 1 ⇒ S = (5 | 6).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn k und d korrekt angegeben werden sowie
der Winkel α und der Schnittpunkt der Geraden g
1
und n richtig angegeben werden.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Barometrische Höhenformel
Der Zusammenhang zwischen der Höhe h über dem Meeresspiegel und dem dort herrschenden
Luftdruck p ( h ) kann durch die barometrische Höhenformel näherungsweise beschrieben werden:
p ( h ) = p
0
∙ ℯ
–
h
7 991
h ... Höhe über dem Meeresspiegel in Metern (m)
p ( h ) ... Luftdruck in der Höhe h in Hektopascal (hPa)
p
0
... Luftdruck auf Höhe des Meeresspiegels (bei h = 0); p
0
> 0
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie diejenige Höhe h
1
, in der der Luftdruck nur mehr 80 % von p
0
beträgt!
Leitfrage:
Der Zusammenhang zwischen der Höhe über dem Meeresspiegel und dem dort herrschenden
Luftdruck kann im Intervall [0 m; 3 500 m] näherungsweise durch eine lineare Funktion f (in Abhängigkeit von h ) beschrieben werden.
An einem bestimmten Tag wurden folgende Werte ermittelt:
Seehöhe in m Luftdruck in hPa
1 500 840
2 000 790
Geben Sie eine Funktionsgleichung von f so an, dass sie die gemessenen Werte wiedergibt!
Berechnen Sie für die oben bestimmte Höhe h
1
die Differenz (in hPa) zwischen dem durch die
barometrische Höhenformel errechneten Wert von p ( h
1
) und dem durch die lineare Funktion f
errechneten Wert! Nehmen Sie bei Ihren Berechnungen an, dass der Wert von p
0
1 013 hPa beträgt.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Barometrische Höhenformel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
0,8 ∙ p
0
= p
0
∙ ℯ
–
h 1
7 991
h
1
≈ 1 783 m
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Höhe h
1
angegeben wird.
Toleranzintervall: [1 780 m; 1 790 m]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Vorgehensweise:
f ( h ) = –0,1 ∙ h + 990
p ( h ) = 1 013 ∙ ℯ
–
h
7 991
f (1 783) = 811,7 hPa
p (1 783) ≈ 810,4 hPa
Die Differenz beträgt ca. 1,3 hPa.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Funktionsgleichung von f angegeben wird und die Differenz der beiden Funktionswerte richtig berechnet wird.
Toleranzintervall: [1 hPa; 2 hPa]

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Änderungsraten
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = x
2
– 2 ∙ x – 1.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Differenzialquotienten von f an der Stelle x = 1 und geben Sie die Bedeutung
dieses Wertes für den Verlauf des Graphen an!
Leitfrage:
Geben Sie einen Term in Abhängigkeit vom Parameter a ( a ∈ ℝ und a < 3) zur Berechnung des
Differenzenquotienten von f im Intervall [ a ; 3] an!
Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass dieser Differenzenquotient gleich dem Differenzialquotienten von f an der Stelle x = 1 ist!

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Änderungsraten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ′ ( x ) = 2 ∙ x – 2 ⇒ f ′ (1) = 0
Mögliche Bedeutung:
Der Graph der Funktion f hat an der Stelle 1 eine waagrechte Tangente.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Differenzialquotient richtig be stimmt wird und die Bedeutung des Wertes für den Verlauf des Graphen (sinngemäß) korrekt
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Möglicher Term:
f (3) – f ( a )
3 – a
=
2 – ( a
2
– 2 ∙ a – 1)
3 – a
=
– a
2
+ 2 ∙ a + 3
3 – a
(= a + 1)
– a
2
+ 2 ∙ a + 3 = 0 ⇒ a = –1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term und der richtige Wert
von a angegeben werden.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Regenwasser
In einer Regentonne befinden sich 20 Liter Wasser.
Ab dem Zeitpunkt t = 0 ändert sich die Wassermenge in der Tonne. Die Funktion f beschreibt die
momentane Änderungsrate der in der Tonne enthaltenen Wassermenge in Abhängigkeit von der
Zeit ( f ( t ) in Litern pro Stunde, t in Stunden).
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f .
f ( t )
t
0
0 t
1
t
2
t
3
t
4
f
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, zu welchem der in der obigen Abbildung gekennzeichneten Zeitpunkte t
1
bis t
4
die
Wassermenge in der Tonne am größten ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Leitfrage:
Geben Sie eine Formel für die in der Tonne enthaltene Wassermenge M zum Zeitpunkt t
4
an!
Markieren Sie in der obigen Abbildung näherungsweise denjenigen im Intervall [0; t
4
) liegenden
Zeitpunkt t *, zu dem sich gleich viel Wasser in der Tonne wie zum Zeitpunkt t
4
befindet!
Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Regenwasser
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Zum Zeitpunkt t
2
ist die Wassermenge in der Tonne am größten, weil f bis zu diesem Zeitpunkt
positive Funktionswerte hat, also die Wassermenge in der Tonne bis zu diesem Zeitpunkt zunimmt (danach aber f negativ ist, also die Wassermenge in der Tonne ab diesem Zeitpunkt abnimmt).
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zeitpunkt t
2
genannt wird und
diese Entscheidung (sinngemäß) korrekt begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Formel:
M = 20 + ∫
t 4
0
f ( t ) d t
f ( t )
t
0
0 t
1
t * t
2
t
3
t
4
f
Die Flächen, die vom Graphen von f und von der x -Achse in den Intervallen [ t *; t
2
] und [ t
2
; t
4
]
eingeschlossen werden, müssen gleich groß sein, da die Wassermenge in der Tonne im Zeitintervall [ t *; t
2
] um diejenige Menge zunehmen muss, um die sie im Zeitintervall [ t
2
; t
4
] abnimmt.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Formel für M angegeben und
der korrekte Zeitpunkt t * markiert sowie die Vorgehensweise (sinngemäß) korrekt erläutert wird.

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Mehrstufige Zufallsversuche
Bei einem Gewinnspiel werden drei Urnen mit jeweils sechs Kugeln verwendet. Urne A enthält
fünf weiße Kugeln und eine schwarze Kugel, Urne B enthält vier weiße und zwei schwarze Kugeln
und Urne C enthält drei weiße und drei schwarze Kugeln. Man gewinnt, wenn man eine weiße
Kugel zieht.
Victoria nimmt an diesem Gewinnspiel teil und hat dabei folgendermaßen vorzugehen:
Sie wählt zuerst eine der drei Urnen aus und zieht dann aus dieser Urne eine Kugel. Dabei handelt es sich in beiden Fällen (Auswahl der Urne und Auswahl der Kugel) um eine Auswahl nach
dem Zufallsprinzip.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Victoria gewinnt!
Leitfrage:
Bei einer Variante des Gewinnspiels werden die zwölf weißen und die sechs schwarzen Kugeln
neu verteilt, wobei in jeder der drei Urnen wieder sechs Kugeln sind. In der ersten Urne sind nun
x weiße Kugeln, in der zweiten Urne sind nun y weiße Kugeln und in der dritten Urne sind nun
z weiße Kugeln enthalten.
Zeigen Sie rechnerisch, dass sich die Wahrscheinlichkeit, dass Victoria gewinnt, nicht ändert!

Kompensationsprüfung 6 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Mehrstufige Zufallsversuche
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P („Victoria gewinnt“) =
1
3
∙
5
6
+
1
3
∙
4
6
+
1
3
∙
3
6
=
2
3
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
P („Victoria gewinnt“) =
1
3
∙
x
6
+
1
3
∙
y
6
+
1
3
∙
z
6
=
1
3
∙
x + y + z
6
=
1
3
∙
12
6
=
2
3
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn rechnerisch korrekt gezeigt wird, dass die
Wahrscheinlichkeit, dass Victoria gewinnt, wieder
2
3
ist.