Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 5

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Dreieck
Von dem nachstehend abgebildeten Dreieck ist die Länge der Seite b = 5,2 cm bekannt.
a
b
c
A C
B
α
β
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Längen der Seiten a und c so, dass tan( α ) = 0,75 gilt!
Leitfrage:
Die Seite a wird über den Punkt B hinaus verlängert. Damit wird auch die Seite c länger und der
Winkel α größer. Der rechte Winkel (beim Punkt C ) und die Länge der Seite b bleiben unverändert.
Die Funktion f beschreibt die Differenz α – β (in Grad) der beiden spitzen Winkel des Dreiecks in
Abhängigkeit von der Länge der Seite a .
Ein Ausschnitt des Graphen von f ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
f ( a ) in Grad
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
–10
100
–20
a in cm
f
N
Beschreiben Sie den Graphen von f im Hinblick auf sein Monotonieverhalten und bestimmen Sie
seine waagrechte Asymptote sowie die Koordinaten seines Schnittpunkts N mit der waagrechten
Achse!

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Dreieck
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a = 3,9 cm
c = 6,5 cm
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Seitenlängen
angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der Graph von f ist streng monoton steigend.
Der Graph von f nähert sich asymptotisch dem Wert 90.
Die Asymptote g hat somit die Gleichung g ( a ) = 90.
N = (5,2 | 0)
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das richtige Monotonieverhalten, die richtige
waagrechte Asymptote sowie die richtigen Koordinaten von N angegeben werden.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Wasserhyazinthe
Die Wasserhyazinthe wurde 1988 im Victoriasee zum ersten Mal gesichtet. Sie vermehrte sich
exponentiell mit einer Verdoppelungszeit von ca. 20 Tagen und bedeckte einige Zeit später Hunderte Quadratkilometer des Victoriasees.
Aufgabenstellung:
Die von der Wasserhyazinthe bedeckte Fläche kann durch eine Funktion A mit A ( t ) = A
0
∙ ℯ
k ∙ t
( k ∈ ℝ ) beschrieben werden. Dabei wird die Zeit t in Tagen und der Flächeninhalt A ( t ) in km
2
angegeben.
Ermitteln Sie den Wert der Wachstumskonstanten k !
Leitfrage:
Die Wachstumsfunktion A kann auch in der Form A ( t ) = A
0
∙ a
t
( a ∈ ℝ ) angeschrieben werden.
Ermitteln Sie den Wert von a und deuten Sie diesen Wert im gegebenen Kontext!
Jemand schreibt die Wachstumsfunktion A in der Form A ( t ) = A
0
∙ 2
t
x
an.
Geben Sie die Verdoppelungszeit an, die man unmittelbar aus dieser Darstellung ablesen kann!

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Wasserhyazinthe
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
2 ∙ A
0
= A
0
∙ ℯ
20 ∙ k
⇒ k =
ln(2)
20
≈ 0,0347
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von k angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
a = ℯ
k
⇒ a ≈ 1,0353
mögliche Deutung:
Die von der Wasserhyazinthe bedeckte Fläche vergrößert sich pro Tag um ca. 3,5 %.
Wenn t = x gilt, dann ist A ( x ) = 2 ∙ A
0
und x somit die Verdoppelungszeit.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl der richtige Wert von a und eine richtige Deutung als auch die richtige Verdoppelungszeit angegeben werden.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Zufluss und Abfluss
In einem Becken befinden sich 20 m
3
Wasser.
Zu einem Zeitpunkt t = 0 werden ein Zuflussrohr und ein Abflussrohr gleichzeitig geöffnet.
Die Zuflussrate wird durch die Funktion Z mit Z ( t ) = 5 ∙ 5
–0,25 ∙ t
und die Abflussrate durch die
Funktion A mit A ( t ) = 0,4 ∙

t + 0,2 modelliert ( A ( t ) und Z ( t ) in m
3
/h, t in Stunden).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Graphen der beiden Funktionen Z und A , deuten Sie
seine Koordinaten im gegebenen Kontext und erklären Sie seine Bedeutung im Hinblick auf die
Wassermenge im Becken!
Leitfrage:
Der Zu- und Abfluss wird unterbrochen, wenn die Wassermenge im Becken unter 20 m
3
sinkt.
Geben Sie an, wie lange die beiden Rohre gleichzeitig geöffnet sind, bis der Zu- und Abfluss
unterbrochen wird!

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Zufluss und Abfluss
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
S = (4 | 1)
Nach vier Stunden sind die Zufluss- und die Abflussrate gleich hoch und betragen jeweils 1 m
3
/h.
Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die größte Wassermenge im Becken.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Schnittpunkt angegeben
wird und seine Koordinaten richtig gedeutet werden sowie seine Bedeutung im Hinblick auf die
Wassermenge richtig erklärt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
∫
t 1
0
(( Z ( t ) – A ( t )) d t = 0 ⇒ t
1
≈ 11,2
Die beiden Rohre sind ca. 11,2 Stunden lang geöffnet.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Zeitdauer angegeben wird.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Sparkonto
Am 15. Geburtstag eines Kindes beginnend werden in Jahresabständen jeweils 1.000 Euro auf
ein Sparkonto eingezahlt.
Es wird ein konstanter jährlicher Zinssatz von 1 % vereinbart.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Kontoständen K
t + 1
und K
t
zweier aufeinander folgender Jahre mithilfe einer Gleichung an ( t in Jahren, K
t
in Euro)!
Leitfrage:
Ermitteln Sie den Endbetrag E auf dem Sparkonto nach der Einzahlung am 18. Geburtstag des
Kindes!
Anstelle der jährlichen Einzahlung soll nun ein Betrag K
0
einmalig am 15. Geburtstag des Kindes
eingezahlt werden.
Geben Sie an, wie groß K
0
(bei gleichbleibendem jährlichem Zinssatz von 1 %) sein muss, damit
am 18. Geburtstag des Kindes der gleiche Endbetrag E zur Verfügung steht!

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Sparkonto
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
K
t + 1
= 1,01 ∙ K
t
+ 1 000
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung angegeben
wird. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E ≈ 4.060,40 Euro
4 060,4 = K
0
∙ 1,01
3
⇒ K
0
≈ 3.940,98 Euro
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Endbetrag E und der richtige
Betrag für die Einmalzahlung K
0
angegeben werden.

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Hotelzimmer
Ein Hotel am Meer hat 120 Zimmer.
Aufgabenstellung:
Der Manager des Hotels geht aufgrund langjähriger Erfahrungen davon aus, dass jede Zimmerbuchung mit 95%iger Wahrscheinlichkeit in Anspruch genommen wird. Deshalb nimmt er für eine
Ferienwoche 122 (voneinander unabhängige) Zimmerbuchungen an.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Überbuchung gut geht, also dass mindestens
zwei der Zimmerbuchungen nicht in Anspruch genommen werden!
Leitfrage:
In diesem Hotel haben 60 % der 120 Zimmer Meerblick. An einem Wochenende sind 5 Zimmer
mit Meerblick und
1
4
der Zimmer ohne Meerblick frei.
Durch die Ankunft einer Reisegruppe können alle freien Zimmer belegt werden, wobei die Zuteilung
nach dem Zufallsprinzip erfolgt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Zimmer, das der Reisegruppe zugewiesen
wird, eines ohne Meerblick ist!

Kompensationsprüfung 5 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Hotelzimmer
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Zufallsvariable X : Anzahl der nicht in Anspruch genommenen Zimmerbuchungen
n = 122 und p = 0,05
P ( X ≥ 2) ≈ 0,9858 = 98,58 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
freie Zimmer ohne Meerblick: 120 ∙ 0,4 ∙
1
4
= 12
Wahrscheinlichkeit für die Zuteilung eines Zimmers ohne Meerblick:
12
17
≈ 0,7059 = 70,59 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben
wird.