Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 4

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden im Raum
Gegeben sind Parameterdarstellungen der beiden Geraden g und h in ℝ
3
:
g : X =
( )
1
2
3
+ r ∙
( )
–4
–6
8
mit r , s , y ∈ ℝ
h : X =
( )
1
2
3
+ s ∙
( )
2
y
–4
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche gegenseitigen Lagebeziehungen (identisch; parallel, aber nicht identisch;
schneidend; windschief) zwischen den beiden Geraden g und h möglich sind! Nennen Sie dabei
jeweils den passenden Wert für die Koordinate y !
Leitfrage:
Gegeben sind Parameterdarstellungen der beiden Geraden a : X = A + u ∙ a und
b : X = B + v ∙ b mit u , v ∈ ℝ .
Erläutern Sie für jede der beiden nachstehenden Beziehungen, welche Rückschlüsse jeweils über
die Lagebeziehung der beiden Geraden g und h zueinander getroffen werden können!
• Es gilt: a = λ ∙ b und AB = μ ∙ a mit λ , μ ∈ ℝ \{0}.
• Es gilt: A ∈ b und a ∙ b = 0.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden im Raum
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Lagebeziehungen:
Die Geraden g und h sind identisch, wenn y = 3 ist.
Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt (1 | 2 | 3), wenn y ≠ 3 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Lagebeziehungen
mit dem jeweils dazu passenden Wert für y angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
• Da die beiden Richtungsvektoren a und b Vielfache voneinander sind, müssen die Geraden a
und b parallel sein. Da zusätzlich der Vektor zwischen den beiden Punkten A und B ein Viel
faches des Richtungsvektors von a ist, müssen die beiden Geraden a und b identisch sein.
• Da der Punkt A auf beiden Geraden liegt und das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der
beiden Geraden null ist, schneiden einander die Geraden a und b im Punkt A rechtwinkelig.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Beziehungen die richtige
Lage der beiden Geraden erkannt und diese jeweils richtig erläutert wird.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Funktionstypen
Gegeben ist eine Funktion in den drei Variablen a , b und c mit a , c ∈ ℝ
0
+
und b ∈ ℝ
+
.
Es gilt: f ( a , b , c ) =
2 · a
b
+ c
2
.
Aufgabenstellung:
Die Funktionen f
1
, f
2
und f
3
, die aus f ( a , b , c ) entstehen, wenn jeweils zwei der Variablen als kons
tant angenommen werden, sind wie folgt festgelegt:
f
1
: a ↦ f ( a , b , c ) für konstante Werte b und c
f
2
: b ↦ f ( a , b , c ) für konstante Werte a ≠ 0 und c
f
3
: c ↦ f ( a , b , c ) für konstante Werte a und b
Skizzieren Sie für jede der Funktionen f
1
, f
2
, f
3
einen Graphen und geben Sie jeweils den zugehöri
gen Funktionstyp an!
f
1
( a )
a
f
2
( b )
b
f
3
( c )
c
Leitfrage:
Geben Sie, sofern diese vorhanden sind, die Koordinaten der Schnittpunkte der oben skizzierten
Graphen mit der senkrechten Achse in Abhängigkeit von den Parametern a , b und c an!
Geben Sie weiters an, welche der Funktionen f
1
, f
2
und f
3
einen direkt proportionalen Zusammen
hang beschreiben kann und welche Bedingung der (die) jeweilige(n) Parameter in diesem Fall
erfüllen muss (müssen)!

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Funktionstypen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f
1
ist eine lineare Funktion.
f
2
ist eine Potenzfunktion (gebrochen rationale Funktion).
f
3
ist eine Polynomfunktion (quadratische Funktion).
f
1
( a )
f
1
a
f
2
b
f
2
( b ) f
3
( c )
f
3
c
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle drei Funktionstypen richtig ge
nannt und die Graphen richtig skizziert werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f
1
hat mit der senkrechten Achse den Schnittpunkt (0 | c
2
).
f
2
hat mit der senkrechten Achse in keinem Fall einen Schnittpunkt.
f
3
hat mit der senkrechten Achse den Schnittpunkt ( 0 |
2 a
b
) .
Die Funktion f
1
beschreibt einen direkt proportionalen Zusammenhang, wenn c = 0 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Schnittpunkte mit der senkrechten
Achse richtig angeführt werden und f
1
unter der Bedingung c = 0 zur Beschreibung eines direkt
proportionalen Zusammenhangs angegeben wird.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Leistung und Arbeit
Zwischen der in einem bestimmten Zeitintervall erbrachten Leistung P (in Watt = Joule/Sekunde)
und der dabei verrichteten Arbeit W (in Joule) besteht ein funktionaler Zusammenhang.
Nachstehend ist der Graph einer Funktion P abgebildet, der die erbrachte Leistung P ( t ) in Ab
hängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) modellhaft darstellt. Weiters ist auch der Graph einer
Funktion f abgebildet, für die gilt: f ( t ) = P ( t ) – 30 und f (0) = 0.
P ( t ), f ( t ) in Watt
t in Sekunden
P
f
8 7 6 5 4 3 2 1 0 9
30
20
10
5
0
40
–10
Aufgabenstellung:
Geben Sie unter Verwendung der Leistung P einen Ausdruck für die im Zeitintervall [0, t
1
] ver
richtete Arbeit W ( t
1
) an und bestimmen Sie anhand der Abbildung die im Intervall [0; 8] verrichtete
Arbeit!
W ( t
1
) =
W (8) = Joule
Leitfrage:
Geben Sie für den oben abgebildeten Graphen der Funktion f eine passende Funktionsgleichung
an und berechnen Sie (mithilfe der Funktionen P und/oder f ) die im Zeitintervall [0; 2] verrichtete
Arbeit W (2)!

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Leistung und Arbeit
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
W ( t
1
) =
∫
t 1
0
P ( t ) d t
W (8) = 240 Joule
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Ausdruck und der richtige
Wert angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( t ) = 5 ∙ sin
(
π
2
∙ t
)
W (2) = 60 +
∫
2
0
f ( t ) d t ≈ 66,37 Joule
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung und der
richtige Wert für die Arbeit W (2) angegeben werden. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als
richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Jungwald
Zu einem Zeitpunkt t = 0 besteht ein Jungwald aus 40 000 m
3
Holz.
Der Holzbestand H ( t ) nach t Jahren wird durch die Funktion H : [0; 20] → ℝ mit
H ( t ) = 40 000 ∙ ℯ
0,03 ∙ t
modelliert.
Aufgabenstellung:
Deuten Sie den Ausdruck
1
4
·
∫
4
0
H ( t ) d t im gegebenen Kontext und ermitteln Sie seinen Wert!
Leitfrage:
Es gilt:
H (1) + H (2) + ... + H ( n )
n
>
1
n
·
∫
n
0
H ( t ) d t für alle n ∈ ℕ mit 1 ≤ n ≤ 20.
Zeigen Sie, dass diese Aussage für n = 4 richtig ist, und begründen Sie anhand des Graphen
von H , warum sie für alle n ∈ ℕ zutrifft!

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Jungwald
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Der Ausdruck beschreibt den Mittelwert des Holzbestands in den ersten vier Jahren.
1
4
∙
∫
4
0
H ( t ) d t ≈ 42 500 m
3
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Deutung und der richtige
Wert angegeben werden.
Toleranzintervall: [42 498 m
3
; 42 500 m
3
]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
n = 4:
H (1) + H (2) + H (3) + H (4)
4
≈ 43 140 > 42 500
mögliche Begründung:
Die Ungleichung trifft für alle n ∈ ℕ mit 1 ≤ n ≤ 20 zu, weil die Funktion H streng monoton stei
gend ist und mit H (1) bis H ( n ) nur Funktionswerte jeweils am Ende eines Zeitintervalls zur Berech
nung des Mittelwerts herangezogen werden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Richtigkeit der Aussage für n = 4 ge
zeigt und eine richtige Begründung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Glücksrad
Im Zuge der Eröffnung eines Einkaufszentrums kann man durch Drehen eines Glücksrads einen
Gewinn erzielen.
Das Glücksrad ist in 30 gleich große Sektoren unterteilt, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit
auftreten können. Dabei sind 7 Sektoren rot und 3 Sektoren grün markiert, die restlichen Sekto
ren sind weiß markiert.
Man gewinnt einen Geschenkkorb, wenn der Zeiger nach Stillstand des Glücksrads auf einen
grünen Sektor zeigt.
Man gewinnt ein Getränk, wenn der Zeiger nach Stillstand des Glücksrads auf einen roten Sektor
zeigt.
Kommt der Zeiger bei einem weißen Sektor zum Stillstand, erhält man keinen Gewinn.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand bei zweimaligem Drehen dieses Glücksrads
genau ein Getränk und keinen Geschenkkorb gewinnt!
Leitfrage:
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass man bei n maligem
Drehen dieses Glücksrads mindestens einen Geschenkkorb gewinnt!
Erläutern Sie die Bedeutung des Terms 0,1 ∙ n für die Gewinnerwartung bei n maligem Drehen
dieses Glücksrads!

Kompensationsprüfung 4 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Glücksrad
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
2
3
∙
7
30
∙ 2 ≈ 0,31 = 31 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit ermit
telt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher Term: 1 – 0,9
n
Mithilfe des Terms 0,1 ∙ n kann der Erwartungswert für die Anzahl der gewonnenen Geschenk
körbe bei n maligem Drehen berechnet werden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Term angegeben und die Be
deutung des Terms 0,1 ∙ n richtig erläutert wird.