Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 3

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Drohne
Eine Drohne D schwebt in einer Höhe h über einem Punkt F einer waagrechten Ebene. Eine Person steht im Punkt P dieser Ebene. Ihre Augenhöhe (vertikaler Abstand der Augen vom Punkt P )
beträgt a (in Metern) und sie sieht die Drohe unter einem Höhenwinkel α .
Aufgabenstellung:
Erstellen Sie eine geeignete Skizze und geben Sie (anhand dieser Skizze) eine Formel an, mit
der der Abstand x = PF dieser Person vom Punkt F in Abhängigkeit von h , a und α berechnet
werden kann!
Leitfrage:
Bei einer Augenhöhe a = 1,5 m sieht diese Person die Drohne in h Metern Höhe unter dem
Höhen winkel α = 30°.
Wenn die Drohne um 20 m senkrecht nach oben steigt, verdoppelt sich der Höhenwinkel.
Ermitteln Sie die ursprüngliche Höhe h der Drohne!

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Drohne
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P F
D
h
x
a
α
tan( α ) =
h – a
x
bzw. x =
h – a
tan( α )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine geeignete Skizze und eine richtige
Formel angegeben werden. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
(1) tan(30°) =
h – 1,5
x
(2) tan(60°) =
h + 18,5
x
⇒ h = 11,5 m
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige ursprüngliche Höhe h angegeben
wird.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Pilzkultur
Aufgrund eines ausreichenden Platz- und Nährstoffangebots vermehren sich die Zellen einer bestimmten Pilzkultur exponentiell. Nach 12 Stunden sind 1 600 Zellen und nach weiteren 3 Stunden 1 800 Zellen vorhanden.
Aufgabenstellung:
Dieser Sachverhalt kann durch eine Funktion Z : ℝ
0
+
→ ℝ mit Z ( t ) = Z
0
∙ a
t
und a ∈ ℝ modelliert
werden. Dabei gibt Z ( t ) die Anzahl der nach t Stunden vorhandenen Zellen an.
Bestimmen Sie Z
0
und a und geben Sie an, nach wie vielen Stunden sich die zu Beginn vorhandene Anzahl an Zellen verdreifacht hat!
Leitfrage:
Geben Sie an, ob die absolute Zunahme in einem Zeitintervall [0; t ] von Z
0
und/oder a abhängig
ist oder nicht, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die relative Zunahme in jedem Zeitintervall [0; t ] vom Para meter Z
0
unabhängig ist!

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Pilzkultur
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Z (12) = 1 600 und Z (15) = 1 800 ⇒ Z
0
≈ 1 000
a ≈ 1,04
3 ∙ Z
0
= Z
0
∙ 1,04
t
⇒ t ≈ 28 Stunden
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von Z
0
und a bestimmt werden und die richtige Zeitdauer angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die absolute Zunahme ist abhängig von Z
0
und a .
mögliche Begründung:
Z ( t ) – Z (0) = Z
0
· ( a
t
– 1) ⇒ Die absolute Zunahme ist vom Grundwert und von der prozentuellen (relativen) Zunahme abhängig.
relative Zunahme:
Z ( t ) – Z 0
Z
0
=
Z 0 ∙ a
t
– Z 0
Z
0
=
Z 0 ∙ ( a
t
– 1)
Z
0
= a
t
– 1 ⇒ unabhängig von Z
0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Einfluss auf die absolute Zunahme richtig
erläutert wird und ein richtiger rechnerischer Nachweis erbracht wird.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Wurzelfunktionen
Funktionen, deren Funktionsgleichungen die Form f ( x ) = a ∙

x + b ( a , b ∈ ℝ , a ≠ 0) aufweisen,
werden im Folgenden als Wurzelfunktionen bezeichnet.
Die nachstehende Abbildung veranschaulicht den Graphen einer Wurzelfunktion f sowie die
Tangente t an den Funktionsgraphen im Punkt B . Diese Tangente verläuft durch den Punkt C .
Der Punkt A liegt auf der senkrechten Achse.
f ( x )
x
f
t
C
B
A
0
Aufgabenstellung:
Geben Sie für die Funktion f an, ob a und b jeweils größer als null, kleiner als null oder gleich null
sind, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung!
Leitfrage:
Bei einer bestimmten Skalierung der beiden Koordinatenachsen gilt: B = (1 | 3) und C = (4 | 6).
Bestimmen Sie unter dieser Bedingung die zugehörigen Werte von a und b und erläutern Sie Ihre
Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Wurzelfunktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a > 0
b > 0
mögliche Begründungen:
Da der Funktionsgraph streng monoton steigend verläuft, muss a > 0 gelten.
Da f (0) = b gilt und der Funktionsgraph die positive senkrechte Achse schneidet, muss b > 0
gelten.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn angegeben ist, dass a und b größer
als null sind, und dies richtig begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
BC ∥
( )
1
1
⇒ Die Steigung k der Tangente t nimmt den Wert k = 1 an.
f ′ ( x ) =
a
2 ∙

x
⇒ f ′ (1) =
a
2 ∙

1
= 1 ⇒ a = 2
f (1) = 3 ⇒ a + b = 3 ⇒ b = 1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von a und b bestimmt
werden und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Heißluftballon
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t = 0. Die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit lässt sich
mittels Gaszufuhr regulieren.
Im nachstehenden Diagramm ist die Geschwindigkeit v ( t ) (in m/min) in Abhängigkeit von der Zeit t
(in min) für eine 60-minütige Ballonfahrt dargestellt. Die Modellierung erfolgt mithilfe der Funktionen v
1
, v
2
und v
3
in den Zeitintervallen [0; 40], [40; 57] und [57; 60]. Alle Schnittpunkte mit der
t -Achse weisen ganzzahlige Koordinaten auf.
v
2
v
3
v
1
v ( t ) in m/min
t in min
15
10
5
–5
–10
–15
0
–20
20
0 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 65
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, nach welcher Zeit der Heißluftballon seine maximale Höhe erreicht hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Leitfrage:
Erläutern Sie, wie der Weg, den der Ballon während seines Steigvorgangs zurückgelegt hat,
mithilfe des obigen Diagramms näherungsweise berechnet werden kann, und geben Sie einen
Näherungswert an!
Geben Sie einen Term zur exakten Bestimmung dieses Weges (im Rahmen der vorgegebenen
Modellierung) an!

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Heißluftballon
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Der Heißluftballon steigt, solange die Geschwindigkeit v positiv ist. Er erreicht die maximale Höhe
nach 45 Minuten.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Zeit angegeben und die
Entscheidung richtig begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Dieser Weg entspricht dem Wert des Inhalts der von den Funktionen v
1
und v
2
sowie der t -Achse
im Zeitintervall [0; 45] begrenzten Fläche.
Näherungswert: 450 m
möglicher Term:
∫
40
0
v
1
( t ) d t +
∫
45
40
v
2
( t ) d t
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Erläuterung und die Angabe eines Näherungswerts für den zurückgelegten Weg sowie die Angabe eines Terms für die exakte Berechnung dieses Weges richtig erfolgen. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
Toleranzintervall: [400; 500]

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Blutgruppen
Die nachstehende Tabelle gibt die gemeinsame Verteilung der Blutgruppen 0, A, B, AB und der
Rhesusfaktoren Rh
+
und Rh
–
für die gesamte Bevölkerung Österreichs an.
0 A B AB
Rh
+
30 % 37 % 12 % 5 %
Rh
–
6 % 7 % 2 % 1 %
Im Rahmen einer Blutspendeaktion spenden 50 Personen Blut.
Es wird angenommen, dass es sich um eine zufällige Auswahl der Personen aus der österreichischen Bevölkerung handelt.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte dieser Personen die Blut gruppe A und den Rhesusfaktor Rh
+
hat!
Leitfrage:
Für eine Patientin mit der Blutgruppe 0 und dem Rhesusfaktor Rh
+
eignet sich nur Spenderblut
der Blutgruppe 0, und zwar unabhängig vom Rhesusfaktor.
Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen Blut spenden müssen, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine für die Patientin geeignete Blutspende
erfolgt!

Kompensationsprüfung 3 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Blutgruppen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Modellierung mittels Binomialverteilung: n = 50; p = 0,37
P ( X > 25) ≈ 0,0216
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
P ( X ≥ 1) = 1 – P ( X = 0) > 0,95
1 – 0,64
n
> 0,95 ⇒ n > 6,71
Mindestens 7 Personen müssen Blut spenden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Mindestanzahl an blutspendenden
Personen angegeben wird.