Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 2

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Schiefe Ebene
In der Physik versteht man unter einer schiefen Ebene eine ebene Fläche, die unter einem
Winkel α ∈ (0°; 90°) gegen die Horizontale geneigt ist.
Eine Masse wird entlang einer schiefen Ebene nach oben gezogen. Der Kraftaufwand zur Höhenveränderung h dieser Masse hängt unter anderem vom Winkel α ab.
Die lotrechte Gewichtskraft G kann, wie nachstehend abgebildet, in die zwei Kräfte F
1
und F
2
zerlegt werden, die parallel bzw. normal zur schiefen Ebene sind.
F
1
F
2 G
α
K
h
B
A
α
Die Längen G , F
1
und F
2
der Vektoren entsprechen den Größen der Kräfte (in N).
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie F
1
, wenn gilt: G = 500 N, α = 30°!
Leitfrage:
Geben Sie eine Formel für den Weg s = AB in Abhängigkeit von h und α an und begründen
Sie anhand dieser Formel, warum bei konstantem h eine Vergrößerung von α eine Verkleinerung
von s bewirkt!
Zeigen Sie durch entsprechende Umformungen, dass eine Vergrößerung des Winkels α bei
gleichem Höhenunterschied h auf die zu verrichtende Arbeit W = F
1
∙ s keine Auswirkung hat!

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Schiefe Ebene
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
sin( α ) =
F
1
500
⇒ F
1
= 500 ∙ sin(30°) = 250 N
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn F
1
richtig ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
sin( α ) =
h
s
⇒ s =
h
sin( α )
⇒ h = s ∙ sin( α )
Für α
1
, α
2
∈ (0°; 90°) und α
2
> α
1
gilt: sin( α
2
) > sin( α
1
).
Wird α größer, so wird auch sin( α ) größer, und somit wird s bei konstantem h kleiner.
F
1
= G ∙ sin( α ) ⇒ W = F
1
∙ s = G ∙ sin( α ) ∙
h
sin( α )
= G ∙ h ist unabhängig vom Winkel α .
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Formel für s sowie eine richtige
Begründung angegeben werden und durch entsprechende Umformungen gezeigt wird, dass W
von α unabhängig ist.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Aufprallgeschwindigkeit
Zwischen der Fallhöhe h und der Aufprallgeschwindigkeit v ( h ) eines frei fallenden Körpers besteht ein funktionaler Zusammenhang, der in der nachstehenden Grafik dargestellt ist ( h in m,
v ( h ) in m/s).
v ( h ) in m/s
v
h in m
7 6 5 4 3 2 1 0 8
12
10
8
6
4
2
0
Aufgabenstellung:
Geben Sie zu jeder der nachstehenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen
Sie jeweils Ihre Entscheidung!
Aussage 1: Zwischen der Fallhöhe h und der Aufprallgeschwindigkeit v ( h ) besteht ein direkt
proportionaler Zusammenhang.
Aussage 2: Wenn die Fallhöhe größer ist, ist auch die Aufprallgeschwindigkeit größer.
Aussage 3: Bei einem Fall aus 5 m Höhe beträgt die Aufprallgeschwindigkeit mehr als 9 m/s.
Leitfrage:
Die Aufprallgeschwindigkeit kann in Abhängigkeit von der Höhe h durch eine Funktion v mit
v ( h ) = a ∙ h
1
2
mit a ∈ ℝ
+
modelliert werden.
Ermitteln Sie den Wert von a , wenn die Aufprallgeschwindigkeit bei einem Sprung aus 5 m Höhe
10 m/s beträgt, und geben Sie an, um welchen Faktor k sich die Aufprallgeschwindigkeit vervielfacht, wenn sich die Fallhöhe verdoppelt!
Geben Sie an, wie man die Fallhöhe verändern muss, um die Aufprallgeschwindigkeit zu verdoppeln!

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Aufprallgeschwindigkeit
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Aussage 1: Die Aussage ist falsch, da v keine (homogene) lineare Funktion ist.
Aussage 2: Die Aussage ist wahr, da v streng monoton wachsend ist.
Aussage 3: Die Aussage ist wahr, da v (5) = 10 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede Aussage die richtige Entscheidung getroffen und diese richtig begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
v ( h ) = a ∙ h
1
2
v (5) = 10 ⇒ a ∙

5 = 10 ⇒ a =

20
k =

2
Die Fallhöhe muss vervierfacht werden, damit die Aufprallgeschwindigkeit verdoppelt wird.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von a und k sowie die
richtige Veränderung der Fallhöhe angegeben werden.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Differenzenquotient
Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit f ( x ) = a ∙ x
2
+ b mit a , b ∈ ℝ .
Der Differenzenquotient der Funktion f hat im Intervall [1; 3] den Wert 20.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert von a an!
Leitfrage:
Gegeben ist eine lineare Funktion g mit g ( x ) = k ∙ x + d mit k , d ∈ ℝ .
Der Differenzenquotient der Funktion g hat im Intervall [1; 3] den Wert 8.
Geben Sie diejenige Stelle x
0
an, an der der Differenzialquotient der beiden Funktionen f und g
den gleichen Wert hat!

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Differenzenquotient
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (3) – f (1)
2
=
(9 ∙ a + b ) – ( a + b )
2
= 4 ∙ a = 20 ⇒ a = 5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von a angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
k = 8 ⇒ g ′ ( x
0
) = 8
f ′ ( x
0
) = 2 ∙ a ∙ x
0
10 ∙ x
0
= 8
⇒ x
0
= 0,8
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von x
0
angegeben wird.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Funktion
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit f ( x ) = a – x
2
und a ∈ ℝ
+
.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Extremstelle von f unabhängig von a ist und dass es sich um
eine Maximumstelle handelt!
Geben Sie beide Koordinaten des Hochpunkts H an!
Leitfrage:
Der Inhalt des Flächenstücks, das vom Graphen der Funktion f und von der x -Achse begrenzt
wird, beträgt
32
3
.
Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung von a an und ermitteln Sie den Wert von a !

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Funktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ′ ( x ) = 0 ⇒ –2 ∙ x = 0 ⇒ x = 0 und somit ist die Extremstelle von f unabhängig von a .
f ″ (0) = –2 ⇒ x = 0 ist eine Maximumstelle.
H = (0 | a )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Unabhängigkeit der Extremstelle
von a und das Vorliegen der Maximumstelle richtig gezeigt sowie die beiden richtigen Koordinaten
angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Nullstellen von f liegen bei –

a und

a .
mögliche Gleichung:
2 ·
∫
0

a
( a – x
2
) d x =
32
3
⇒ a = 4
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung und der richtige Wert
von a angegeben werden. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Sportschützenverein
Eine Trainingseinheit in einem Sportschützenverein besteht aus n Versuchen, ein bestimmtes Ziel
zu treffen.
Bianca trifft das Ziel bei jedem Schuss mit der Wahrscheinlichkeit p , unabhängig von den anderen
Schüssen. Der Erwartungswert ihrer Trefferanzahl ist 2,5 und die Standardabweichung beträgt 1,5.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Werte von n und p und geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass Bianca im
Laufe einer Trainingseinheit mindestens einmal das Ziel trifft!
Leitfrage:
Aufgrund ihres Trainings haben sich die Leistungen von Bianca verbessert. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei der üblichen Trainingseinheit mit n Versuchen mindestens einmal das Ziel trifft,
beträgt nun 99,62 %.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der die Wahrscheinlichkeit p
1
, mit der Bianca nun bei einem
Schuss das Ziel trifft, berechnet werden kann, und bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit!

Kompensationsprüfung 2 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Sportschützenverein
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
n ∙ p = 2,5

n ∙ p ∙ (1 – p ) = 1,5 ⇒ n = 25; p = 0,1
P ( X ≥ 1) ≈ 0,9282 = 92,82 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von n und p sowie die richtige Wahrscheinlichkeit angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Gleichung:
(1 – p
1
)
25
= 1 – 0,9962
⇒ p
1
≈ 0,2 = 20 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Gleichung und der richtige Wert
von p
1
angegeben werden. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.