Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2019 · AHS · Kompi 1

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Rechtwinkeliges Dreieck
Für ein rechtwinkeliges Dreieck ABC gilt: AB =
( )
10
0
und BC =
( )
–2
4
.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Vektor CA !
Bestimmen Sie für A = (–5 | 0) die Koordinaten des Punktes C !
Leitfrage:
Von einem anderen rechtwinkeligen Dreieck A
1
B
1
C
1
mit der Hypotenuse A
1
B
1
sind die Eckpunkte
A
1
= (–2 | 4), B
1
= (4 | –4) und C
1
= ( c | 0) bekannt, wobei c > 0 gilt.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinate c !

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Rechtwinkeliges Dreieck
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Vorgehensweise:
AB + BC + CA = 0 ⇒ CA =
( )
–8
–4
C = A – CA ⇒ C = (3 | 4)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Vektor CA und die Koordinaten
des Punktes C richtig angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
C
1
A
1
=
( )
–2 – c
4
, C
1
B
1
=
( )
4 – c
–4
(–2 – c ) ∙ (4 – c ) – 16 = 0
c
2
– 2 ∙ c – 24 = 0
c
1, 2
= 1 ± 5
c = 6
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinate c richtig bestimmt wird.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Blinklampe
Eine Blinklampe wird mit Wechselstrom betrieben und leuchtet genau dann, wenn der Betrag der
Stromstärke größer als 0,6 Ampere ist.
Der periodische Verlauf der Stromstärke wird durch eine Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit t
modelliert. Ihr Graph ist im nach stehenden Diagramm dargestellt ( f ( t ) in Ampere, t in Sekunden).
f ( t ) in Ampere
f
t in Sekunden
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–0,2
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie lange die Lampe im dargestellten Zeitraum leuchtet!
Leitfrage:
Die Stromstärke, mit der die Blinklampe betrieben wird, kann in Abhängigkeit von der Zeit t durch
eine bestimmte Funktionsgleichung beschrieben werden.
Geben Sie an, durch welchen Funktionstyp die Funktion f passend modelliert werden kann, und
bestimmen Sie die Werte der in der allgemeinen Funktionsgleichung auftretenden Parameter!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Blinklampe
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Lampe leuchtet in den Intervallen (0,1 s; 0,4 s) und (0,6 s; 0,9 s), also jeweils für etwa 0,3 s.
Somit leuchtet sie insgesamt etwa 0,6 s lang.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Zeitdauer angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Stromstärke kann durch eine Sinusfunktion mit f ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t ) mit a , b ∈ ℝ modelliert
werden.
a = 1
b = 2 ∙ π
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Funktionstyp sowie die entsprechenden Parameterwerte angegeben werden.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Abnahmeprozess
Die Funktion f : ℝ → ℝ mit der Funktionsgleichung f ( x ) = a ∙ b
x
(mit a , b ∈ ℝ
+
) beschreibt einen
Abnahmeprozess.
Dabei gilt: f ( x
1
) =
a
2
(mit x
1
∈ ℝ
+
).
Aufgabenstellung:
Geben Sie zu jeder der nachstehenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen
Sie jeweils Ihre Entscheidung!
Aussage 1: f (2 ∙ x
1
) = 0
Aussage 2: f (3 ∙ x
1
) =
a
3
Aussage 3: f (4 ∙ x
1
) =
a
16
Leitfrage:
Berechnen Sie, welcher Bruchteil der Ausgangsmenge bei einem exponentiellen Abnahmeprozess
für x = 10 ∙ x
1
bereits zerfallen ist, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Abnahmeprozess
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
(Die Angabe f ( x
1
) =
a
2
bedeutet, dass x
1
„die Halbwertszeit“ der Funktion f ist.)
Aussage 1: falsch, da f ( x ) > 0 für alle x ∈ ℝ gilt
Aussage 2: falsch, da nach drei Halbwertszeiten nur mehr
1
8
der Ausgangsmenge vorhanden ist
Aussage 3: wahr, da nach vier Halbwertszeiten noch
1
16
der Ausgangsmenge vorhanden ist
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn bei jeder der Aussagen richtig erkannt wird, ob sie wahr oder falsch ist, und dies jeweils (sinngemäß) korrekt begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f (10 ∙ x
1
) = a ∙
(
1
2
)
10
=
a
1 024
, d. h.,
1
1 024
der Ausgangsmenge ist noch vorhanden.
⇒
1 023
1 024
der Ausgangsmenge sind bereits zerfallen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Bruchteil der zerfallenen Menge
sowie eine korrekte Vorgehensweise angegeben werden.
Andere Schreibweisen der Lösung (ca. 0,999 bzw. ca. 99,9 %) sind ebenfalls als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Wendepunkt
Gegeben ist eine Funktion f : ℝ → ℝ mit der Gleichung f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ x + 3 ( a , b ∈ ℝ ).
Die Funktion f hat bei x = 1 eine Wendestelle.
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie die Beziehung zwischen den Parametern a und b mit einer Gleichung!
Leitfrage:
Die Geschwindigkeit eines Körpers im Intervall [0; 2] kann mithilfe dieser Funktion f modelliert werden. Dabei ist x die Zeit in s und f ( x ) die Geschwindigkeit in m/s.
Erläutern Sie die Bedeutung der Wendestelle in diesem Kontext!
Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b so, dass der vom Körper im Intervall [0; 2] zurückgelegte Weg 12 m beträgt!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Wendepunkt
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ″ ( x ) = 6 ∙ a ∙ x + 2 ∙ b und f ″ (1) = 0 ⇒ 6 ∙ a + 2 ∙ b = 0
b = –3 ∙ a
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Beziehung zwischen a
und b angegeben wird. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Beschleunigung (Änderungsrate der Geschwindigkeit) des Körpers ist zum Zeitpunkt x = 1
maximal oder minimal.
∫
2
0
f ( x ) d x = 12 und b = –3 ∙ a ⇒ a = –1; b = 3
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wendestelle sinngemäß richtig gedeutet
wird und die Parameter a und b richtig angegeben werden.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Spiel
Ein fairer sechsflächiger Würfel, dessen Seitenflächen mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind, wird
10-mal geworfen. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben
zu zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.) Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft dabei
die Zahl 6 gewürfelt wird.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:
• Die Zahl 6 wird höchstens 2-mal gewürfelt.
• Die Zahl 6 wird öfter als 5-mal gewürfelt.
Leitfrage:
Für ein Spiel, bei dem ein Würfel 10-mal geworfen wird, gelten folgende Regeln:
Der Spieler zahlt einen Einsatz von 10 Euro, der verloren ist, wenn die Zahl 6 höchstens 2-mal
erscheint.
Der Einsatz wird dem Spieler zurückbezahlt, wenn die Zahl 6 mindestens 3-mal und höchstens
5-mal erscheint.
Wenn öfter als 5-mal die Zahl 6 gewürfelt wird, erhält der Spieler y Euro, die ihm vom Spielbe treiber ausbezahlt werden.
Die Zufallsvariable Y beschreibt den Gewinn des Spielers und kann die Werte –10; 0 und ( y – 10)
annehmen.
Geben Sie an, welchen Wert der Spielbetreiber für y wählen muss, damit er im Mittel pro Spiel
7,50 Euro erwirtschaftet!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Spiel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P ( X ≤ 2) ≈ 0,7752
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 6 höchstens 2-mal gewürfelt wird, beträgt ca. 77,52 %.
P ( X ≥ 6) ≈ 0,0024
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 6 öfter als 5-mal gewürfelt wird, beträgt ca. 0,24 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte für die beiden
Wahrscheinlichkeiten angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
–10 ∙ P ( X ≤ 2) + ( y – 10) ∙ P ( X ≥ 6) = –7,5
y ≈ 113 Euro
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert für y angegeben wird.
Toleranzintervall: [113; 114]