Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2019 · AHS · Kompi 2

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Jänner 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Trigonometrie
Gegeben ist ein Dreieck ABC . Der Fußpunkt F der Höhe h , der näher beim Eckpunkt A liegt, teilt
die Strecke AB im Verhältnis 2 : 5.
A F B
C
α β
h
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie für h = 7 cm und AB = 21 cm die Größe des Winkels β .
Leitfrage:
– Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck ABC nicht rechtwinkelig ist.
Der Punkt C wird so verändert, dass der Fußpunkt F der Höhe h links vom Eckpunkt A liegt,
wobei die Länge der Höhe h und die Länge der Strecke AB unverändert bleiben.
– Geben Sie an, ob dadurch der Wert von tan( β ) größer oder kleiner wird, und begründen Sie Ihre
Entscheidung.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Trigonometrie
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
FB =
21
7
∙ 5 = 15
tan( β ) =
h
FB
=
7
15
⇒ β = 25,016...° ≈ 25°
Die Größe des gesuchten Winkels beträgt ca. 25°.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Winkel angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
möglicher rechnerischer Nachweis durch indirekte Beweisführung:
Unter der Annahme, dass ABC rechtwinkelig ist, müsste laut pythagoräischem Lehrsatz gelten:
225 + h
2
+ 36 + h
2
= 21
2
⇒ 261 + 2 ∙ h
2
= 441 ⇒ h
2
= 90
Das ist ein Widerspruch zu h = 7. ⇒ Das Dreieck ABC ist nicht rechtwinkelig.
Der Wert von tan( β ) wird kleiner.
mögliche Begründung:
Da β kleiner wird und der Tangens für β ∈ [0°; 90°] streng monoton wachsend ist, wird auch
tan( β ) kleiner.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn rechnerisch korrekt gezeigt wird, dass das
Dreieck ABC nicht rechtwinkelig ist, und die richtige Veränderung des Wertes von tan( β ) ange
geben und richtig begründet wird.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Farbpulver
Gibt man 500 g Farbpulver in einen Krug mit Wasser, dann sind nach einer Minute 70 g dieses
Pulvers aufgelöst.
Die aufgelöste Menge an Farbpulver wird durch die Funktion p mit p ( t ) = 500 – 500 ∙ ℯ
k ∙ t
in Ab
hängigkeit von der Zeit t modelliert ( t in min, p ( t ) in g).
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie den Wert von k.
Leitfrage:
Die Funktion p erfüllt die Differenzengleichung p ( t + 1) – p ( t ) = a ∙ (500 – p ( t )) mit a ∈ ℝ .
– Berechnen Sie den Wert von a und deuten Sie diesen im gegebenen Kontext.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Farbpulver
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
70 = 500 – 500 ∙ ℯ
k ∙ 1
k = ln
(
43
50
)
= –0,150823... ≈ –0,15082
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von k angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p (1) – p (0) = a ∙ (500 – p (0))
70 = a ∙ (500 – 0) ⇒ a =
70
500
= 0,14
In jeder Minute lösen sich 14 % der noch nicht aufgelösten Menge im Wasser auf.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert von a und eine richtige
Deutung angegeben werden.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Extremstellen bei Polynomfunktionen vierten Grades
Eine Polynomfunktion f vierten Grades hat die Gleichung f ( x ) = a · x
4
+ b · x
3
+ c · x
2
+ d · x + e
mit a , b , c , d , e ∈ ℝ und a > 0.
Aufgabenstellung:
– Begründen Sie, warum f höchstens 3 Extremstellen haben kann.
Leitfrage:
Es gilt: g ( x ) = p ∙ x
4
+ q ∙ x
2
+ r mit p , q , r ∈ ℝ und p > 0.
– Geben Sie jede Anzahl an lokalen Extremstellen an, die g haben kann.
– Zeigen Sie rechnerisch, wie das Vorzeichen von q die Anzahl an Extremstellen beeinflusst, und
skizzieren Sie für jeden dieser Fälle einen typischen Verlauf des Graphen.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Extremstellen bei Polynomfunktionen vierten Grades
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Begründung:
f ′ ( x ) = 4 · a · x
3
+ 3 · b · x
2
+ 2 · c · x + d
Die Gleichung 4 · a · x
3
+ 3 · b · x
2
+ 2 · c · x + d = 0 ist eine Gleichung dritten Grades und kann
höchstens drei Lösungen haben. ⇒ Es gibt höchstens drei Extremstellen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn richtig begründet wird, warum
höchstens drei Extremstellen möglich sind.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Anzahl der lokalen Extremstellen kann nur 1 oder 3 betragen.
g ( x ) = p ∙ x
4
+ q ∙ x
2
+ r
g ′ ( x ) = 4 ∙ p ∙ x
3
+ 2 ∙ q ∙ x = 0
x ∙ (4 ∙ p ∙ x
2
+ 2 ∙ q ) = 0 ⇒ x
1
= 0 x
2,3
= ±

–
q
2 ∙ p
Für q ≥ 0 gibt es keine zweite Lösung und damit nur eine Extremstelle.
Für q < 0 gibt es zwei weitere Lösungen und damit drei Extremstellen.
mögliche Graphen:
x
g ( x )
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Anzahl möglicher Extremstellen
angegeben und die Abhängigkeit von q richtig gezeigt wird. Weiters muss für beide Fälle eine
richtige Skizze erstellt werden, wobei die Anzahl der Extremstellen und die Symmetrie erkennbar
sein müssen.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Beschleunigung
Ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 m/s wird 10 s lang beschleunigt.
Seine Beschleunigung wird durch die Funktion a in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert.
Dabei gilt: a ( t ) = 0,06 ∙ t
2
+ 0,4 ∙ t mit t in s und a ( t ) in m/s
2
.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion a dargestellt und ein Flächenstück
markiert.
a ( t )
a
t
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
10
Aufgabenstellung:
– Berechnen Sie den Inhalt des markierten Flächenstücks und erklären Sie, was dieser Wert für
die Geschwindigkeit des Körpers bedeutet.
Leitfrage:
– Berechnen Sie die Länge derjenigen Wegstrecke, die während dieses 10 s langen Beschleuni
gungsvorgangs zurückgelegt wird, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Beschleunigung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Inhalt des Flächenstücks:
∫
7
0
(0,06 ∙ t
2
+ 0,4 ∙ t ) d t = 16,66
Dieser Wert ist der Geschwindigkeitszuwachs innerhalb der ersten 7 s.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Inhalt des Flächenstücks richtig
berechnet und dieser Wert richtig interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
Durch Integrieren der Beschleunigungsfunktion erhält man die Geschwindigkeitsfunktion.
Durch nochmaliges Integrieren kann die Länge der zurückgelegten Wegstrecke berechnet werden.
∫
a ( t ) d t =
∫
(0,06 ∙ t
2
+ 0,4 ∙ t ) d t = 0,02 ∙ t
3
+ 0,2 ∙ t
2
+ c = v ( t )
v (0) = 5 ⇒ v ( t ) = 0,02 ∙ t
3
+ 0,2 ∙ t
2
+ 5
s (10) =
∫
10
0
(0,02 ∙ t
3
+ 0,2 ∙ t
2
+ 5) d t = 166,6
∙
Länge der Wegstrecke: ca. 167 m
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Länge der Wegstrecke richtig berechnet
und eine richtige Vorgehensweise erläutert wird.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Fitnesstraining
Die nachstehende Datenliste gibt an, wie viele Stunden pro Woche acht Jugendliche jeweils im
Fitnessstudio trainieren.
3, 3, 5, 6, 7, 8, 9, x
Der Median und das arithmetische Mittel der Trainingszeiten stimmen überein.
Aufgabenstellung:
– Geben Sie unter der Voraussetzung, dass x der größte Wert der Datenliste ist, die Trainings
zeit x an.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass x ein beliebiger ganzzahliger Wert der Datenliste ist,
einen zweiten möglichen Wert für die Trainingszeit x .
Drei der acht Jugendlichen werden nach dem Zufallsprinzip ausgewählt.
– Berechnen Sie für beide möglichen Werte von x die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei von
den drei Jugendlichen wöchentlich mindestens fünf Stunden trainieren.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Fitnesstraining
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
3 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + x
8
= 6,5 ⇒ x = 11
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Trainingszeit x angegeben
wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Um einen neuen Median zu erreichen, muss x ≤ 6 gewählt werden.
Für x = 6 ⇒ Median 6, dieser stimmt allerdings mit arithmetischem Mittel (5,875) nicht über
ein.
Daher muss x ≤ 5 gewählt werden ⇒ Median 5,5.
x + 3 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
8
= 5,5 ⇒ x = 3
6
8
∙
5
7
∙
2
6
∙ 3 =
15
28
5
8
∙
4
7
∙
3
6
∙ 3 =
15
28
Die Wahrscheinlichkeit für beide möglichen Werte von x beträgt jeweils ca. 53,6 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige zweite Wert für x und die richtige
Wahrscheinlichkeit für beide möglichen Werte von x angegeben werden.