Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2019 · AHS · Kompi 1

Exemplar für Prüfer/innen
Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Jänner 2020
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 (oder mehr) Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 (oder mehr) Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Lineare Gleichung und Gleichungssystem
Gegeben ist die lineare Gleichung 2 ∙ x – 3 ∙ y = 6 in den Variablen x und y .
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie im nachstehenden Koordinatensystem die Lösungsmenge grafisch dar und ermitteln
Sie zwei verschiedene Lösungen der gegebenen Gleichung.
y
x
0
2
1
3
4
–2
–1
–3
–4
0 4 3 2 1 –1 –2 –4 –3
Leitfrage:
Die gegebene Gleichung bildet mit der Gleichung 4 ∙ x + b ∙ y = 8 ( b ∈ ℝ ) ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x und y .
– Begründen Sie, warum die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems maximal ein Element hat.
– Geben Sie an, für welche Werte von b das Gleichungssystem keine Lösung hat, und erläutern
Sie Ihre Vorgehensweise.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Lineare Gleichung und Gleichungssystem
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Lösungsmenge der linearen Gleichung beinhaltet
alle Punkte, die auf der dargestellten Geraden liegen.
zwei mögliche Lösungen der Gleichung:
(0 | –2) und (3 | 0)
y
x 0
2
1
3
4
–2
–1
–3
–4
0 4 3 2 1 –1 –2 –4 –3
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Lösungsmenge der Gleichung als
Gerade dargestellt wird und zwei richtige Lösungen angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Begründung:
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems kann null, ein oder unendlich viele Elemente
haben. Für den Fall, dass es unendlich viele Lösungen gibt, muss eine Gleichung ein Vielfaches
der anderen sein. Dies ist beim gegebenen Gleichungssystem nicht der Fall.
Ermittlung von b und mögliche Erläuterung mithilfe der Koeffizienten:
a
1
∙ x + b
1
∙ y = c
1
a
2
∙ x + b
2
∙ y = c
2
Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn a
2
= k ∙ a
1
, b
2
= k ∙ b
1
und c
2
≠ k ∙ c
1
( k ∈ ℝ \{0})
gelten. Das ist für b = –6 der Fall.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Begründung sowie der richtige
Wert von b angegeben werden und eine richtige Vorgehensweise erläutert wird.
Eine Erläuterung unter Verwendung der Begriffe identische, parallele und schneidende Geraden
ist ebenfalls als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Werbeplakat
In der nachstehenden Abbildung ist der Umriss eines Werbeplakats für ein Fischrestaurant dargestellt.
f
1
( x ), f
2
( x )
f
1
f
2
x
G
A
S
B
C
D
F
E
Der Umriss des Werbeplakats wird von den Graphen der Funktionen f
1
und f
2
und fünf Strecken
begrenzt.
Der Graph von f
1
und der Graph von f
2
liegen symmetrisch zur x -Achse und es gilt:
f
1
( x ) = a ∙ x
2
+ c ( a , c ∈ ℝ und a ≠ 0)
Für die Koordinaten der eingezeichneten Punkte gilt:
S = (0 | m ), A = (– m | m – 1), B = ( m | m – 1), C = ( m + 1 | m ), D = ( m + 1 | – m ) und G = (– m + 1 | 0)
Aufgabenstellung:
– Geben Sie a und c in Abhängigkeit von m an.
Leitfrage:
– Ermitteln Sie einen Term für den Wert des Flächeninhalts dieses Werbeplakats in Abhängigkeit
von m und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Werbeplakat
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f
1
( x ) = a ∙ x
2
+ c
f
1
(0) = m ⇒ c = m
f
1
( m ) = m – 1
m – 1 = a ∙ m
2
+ m ⇒ a = –
1
m
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn a und c richtig angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
mögliche Vorgehensweise:
Den Flächeninhalt erhält man, indem man vom Flächenstück A
1
, das vom Graphen von f
1
und
vom Graphen von f
2
im Intervall [– m ; m ] begrenzt wird, die Dreiecksfläche A
AFG
subtrahiert und die
Trapezfläche A
BCDE
addiert.
A
1
= 4 ∙
∫
m
0
f
1
( x ) d x = 4 ∙
∫
m
0
(
–
1
m
2
∙ x
2
+ m
)
d x = 4 ∙ m
2
–
4 ∙ m
3
A
AFG
= 2 ∙
m – 1
2
= m – 1
A
BCDE
=
[2 ∙ m + 2 ∙ ( m – 1)] ∙ 1
2
= 2 ∙ m – 1
A = A
1
– A
AFG
+ A
BCDE
⇒ A = 4 ∙ m
2
–
4 ∙ m
3
– ( m – 1) + 2 ∙ m – 1
(
= 4 ∙ m
2
–
m
3
)
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Term für den Flächeninhalt angegeben und eine richtige Vorgehensweise erläutert wird.
Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Bewegung eines Fahrzeugs
Die Funktion s : [0; 15] → → ℝ beschreibt den zurückgelegten Weg eines Fahrzeugs in Abhängigkeit von der Zeit t .
Dabei gilt: s ( t ) = –
4
45
∙ t
3
+ 2 ∙ t
2
mit t in Sekunden und s ( t ) in Metern.
In der nachstehenden Tabelle sind die Durchschnittsgeschwindigkeiten für einzelne Zeitintervalle
angeführt.
Zeitintervall Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s
[0; 3) 5,2
[3; 7,5) 13,2
[7,5; 9) 14,8
[9; 15] v
4
Aufgabenstellung:
– Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit v
4
des Fahrzeugs im Zeitintervall [9; 15].
Leitfrage:
Berechnet man das arithmetische Mittel der vier Durchschnittsgeschwindigkeiten aus der obigen
Tabelle, so erhält man eine Zahl m .
– Zeigen Sie rechnerisch, dass diese Zahl m mit der Durchschnittsgeschwindigkeit v im Zeit intervall [0; 15] nicht übereinstimmt.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Bewegung eines Fahrzeugs
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v
4
=
s (15) – s (9)
15 – 9
v
4
= 8,8
Die Durchschnittsgeschwindigkeit v
4
beträgt 8,8 m/s.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Durchschnittsgeschwindigkeit angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
m =
5,2 + 13,2 + 14,8 + 8,8
4
= 10,5
v =
3 ∙ 5,2 + 4,5 ∙ 13,2 + 1,5 ∙ 14,8 + 6 ∙ 8,8
15
= 10 bzw. v =
s (15)
15
= 10
Die Zahl m und die Durchschnittsgeschwindigkeit v stimmen nicht überein.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Zahl m und die Durchschnittsgeschwindigkeit v richtig berechnet werden.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Approximation einer Fläche
Die unten stehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Funktion f . Weiters sind
vier Punkte, die auf diesem Graphen liegen, gekennzeichnet:
A = (2|0,69)
B = (3|1,1)
C = (4|1,39)
D = (5|1,61)
In dieser Abbildung sind zusätzlich noch sechs Rechtecke (drei schraffierte und drei grau hinterlegte) eingezeichnet, die jeweils eine Seite auf der x -Achse und eine Ecke in A , B , C oder D
haben.
f
D
A
B
C
0 6 5 4 3 2 1 –1
–2
–1
3
2
1
f ( x )
x 0
Aufgabenstellung:
– Schätzen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x -Achse im Intervall [2; 5] einschließt,
mithilfe der Rechtecke ab.
Jemand gibt für diesen Flächeninhalt den Wert 3 an.
– Geben Sie an, ob diese Angabe richtig sein kann, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Leitfrage:
A
1
... arithmetisches Mittel der Inhalte der beiden Rechtecke über [2; 3]
A
2
... arithmetisches Mittel der Inhalte der beiden Rechtecke über [3; 4]
A
3
... arithmetisches Mittel der Inhalte der beiden Rechtecke über [4; 5]
– Geben Sie an, ob die folgende Aussage wahr ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
1
3
∙
∫
5
2
f ( x ) d x =
A 1 + A 2 + A 3
3

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Approximation einer Fläche
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Gesamtfläche der Untersummen-Rechtecke: 3,18 Flächeneinheiten
Gesamtfläche der Obersummen-Rechtecke: 4,1 Flächeneinheiten
Als Schätzwert ist jeder Wert zwischen 3,18 und 4,1 zulässig.
Die Angabe des Wertes 3 ist nicht richtig, da der Flächeninhalt auf jeden Fall größer als die Unter summe sein muss.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein richtiger Schätzwert und eine der
Lösungserwartung entsprechende Begründung angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Aussage ist falsch.
mögliche Begründung:
Die Funktion f ist durchgehend rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt) und somit verlaufen die Strecken AB , BC und CD zur Gänze unterhalb von f .
⇒
∫
5
2
f ( x ) d x > A
1
+ A
2
+ A
3
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Aussage als falsch erkannt und eine richtige Begründung dafür gegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Abfüllanlage
Ein bestimmtes Pulver wird durch einen Automaten in Packungen mit einer Sollmenge von 500 g
abgefüllt. Bei der Kon trolle einer Tagesproduktion wird eine Zufallsstichprobe von 25 Packungen
entnommen und der Inhalt gewogen (Füllmenge in g). Die Ergebnisse der Messungen sind in der
nachstehenden Tabelle angeführt.
Füllmenge in g 482 488 490 498 500 502 510 514 516 518
Anzahl 2 1 2 3 2 3 5 3 2 2
Aufgabenstellung:
– Stellen Sie im nachstehenden Diagramm die Daten der obigen Tabelle in Form eines Boxplots
(Kastenschaubilds) dar.
518 516 514 512 510 508 506 504 502 500 498 496 494 492 490 488 486 484 482 480 520
Füllmenge in g
Leitfrage:
Aus Erfahrung weiß man, dass 20 % der von diesem Automaten abgefüllten Packungen weniger
als die angegebene Füllmenge von 500 g beinhalten.
Eine weitere Zufallsstichprobe von 25 Packungen wird entnommen. Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Packungen mit einer Füllmenge von weniger als 500 g an.
– Geben Sie den Erwartungswert für diese Anzahl an.
– Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Vergleich zur ersten Zufallsstichprobe mehr
Packungen eine geringere Füllmenge als 500 g beinhalten.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2020 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Abfüllanlage
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
518 516 514 512 510 508 506 504 502 500 498 496 494 492 490 488 486 484 482 480 520
Füllmenge in g
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Boxplot richtig dargestellt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Erwartungswert: 5
n = 25 und p = 0,2
P ( X ≥ 9) = 0,0467... ≈ 0,047
Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 4,7 %.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Erwartungswert und die richtige
Wahrscheinlichkeit angegeben werden.