Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2018 · AHS · Kompi 1

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Preis
Der Nettopreis einer Ware beträgt N Euro. Der Bruttopreis ist die Summe von Nettopreis und
m % Mehrwertsteuer (berechnet vom Nettopreis).
Der Verkaufspreis V ergibt sich, indem man vom Bruttopreis einen Rabatt in der Höhe von r %
des Bruttopreises abzieht.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Formel für den Verkaufspreis V in Abhängigkeit von N , m und r auf!
V =
Leitfrage:
Geben Sie an, ob man vom Nettopreis zuerst r % des Nettopreises abziehen kann und von die
sem anschließend m % dieses Zwischenergebnisses hinzufügen kann, um zum selben Verkaufs
preis V zu gelangen! Begründen Sie Ihre Entscheidung!
Geben Sie weiters an, wie viel Prozent Rabatt bei 20 % Mehrwertsteuer gewährt werden müssen,
sodass der Nettopreis und der Verkaufspreis gleich sind!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Preis
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Formel:
V = N ∙
(
1 +
m
100
)
∙
(
1 –
r
100
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term angegeben wird.
Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Begründung:
Man erhält denselben Verkaufspreis V , wenn man zuerst den Rabatt abzieht und dann die Mehr
wertsteuer addiert, denn aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation gilt:
N ∙
(
1 +
m
100
)
∙
(
1 –
r
100
)
= N ∙
(
1 –
r
100
)
∙
(
1 +
m
100
)
V = V ∙
(
1 +
20
100
)
∙
(
1 –
r
100
)
⇒ r = 16,6
.
Es müssen ca. 17 % Rabatt gewährt werden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die alternative Berechnung von V als richtig
angegeben und korrekt begründet wird. Weiters muss der gesuchte Prozentsatz richtig ange
geben werden.
Toleranzintervall: [16 %; 17 %]

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Jod-131
Das Isotop Jod 131 ist radioaktiv.
Die nach t Tagen noch vorhandene Menge N ( t ) von Jod 131 nimmt näherungsweise exponentiell
ab. Dabei bezeichnet N
0
die Menge an Jod 131 zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabenstellung:
Nach vier Tagen sind 30 % der Ausgangsmenge von Jod 131 zerfallen.
Berechnen Sie, welcher Prozentsatz des vorhandenen Jod 131 pro Tag zerfällt, und erklären Sie
Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Ermitteln Sie allgemein (ohne Verwendung konkreter Zahlenwerte) die relative Änderung einer
Exponentialfunktion der Form N ( t ) = N
0
∙ a
t
in den Zeitintervallen [0; t
1
] und [ t
0
; t
0
+ t
1
]
(mit t
0
, t
1
∈ ℝ
+
)!
Interpretieren Sie die Ergebnisse (im Hinblick auf eine charakteristische Eigenschaft von Exponen
tialfunktionen)!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Jod-131
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Nach vier Tagen sind noch 70 % der Ausgangsmenge vorhanden.
N (4) = 0,7 ∙ N
0
= N
0
∙ a
4
⇒ a ≈ 0,915
Somit sind ca. 91,5 % der Ausgangsmenge des beschriebenen Isotops Jod 131 nach einem Tag
noch vorhanden. Pro Tag zerfallen daher ca. 8,5 % der vorhandenen Jod 131 Menge.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Prozentsatz berechnet
und eine korrekte Vorgehensweise erklärt wird.
Toleranzintervall: [8 %; 9 %]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
N ( t
1
) – N (0)
N (0)
=
N
0
∙ a
t 1
– N
0
N
0
= a
t 1 – 1
N ( t
0
+ t
1
) – N ( t
0
)
N ( t
0
)
=
N
0
∙ a
t 0 + t 1
– N
0
∙ a
t 0
N
0
∙ a
t 0
= a
t 1 – 1
Mögliche Interpretation:
Die relative Änderung der Funktionswerte ist in gleich langen Zeitintervallen konstant.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die relative Änderung für beide Intervalle
korrekt ermittelt und eine korrekte Interpretation angegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Funktion und Stammfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Polynomfunktion f dritten
Grades. Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig.
f ( x )
x
f
0 4 3 2 1 –1 –2 5
–1
0
3
2
1
4
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Anzahl und die Lage der Extremstelle(n) und Wendestelle(n) einer Stammfunktion F
von f an!
Leitfrage:
Der Graph der Funktion f schließt mit der x Achse zwei endliche Flächenstücke ein.
Stellen Sie einerseits unter Verwendung von f und andererseits unter Verwendung von F jeweils
eine Formel zur Berechnung des (gesamten) Flächeninhalts dieser beiden Flächenstücke auf!
In der nebenstehenden Abbildung wird das größere
Flächenstück durch 12 gleich breite Rechtecke an
genähert. Die Summe dieser Rechtecksflächen
(Obersumme) kann als Näherungswert für den
Flächeninhalt des größeren Flächenstücks heran
gezogen werden.
Geben Sie den Wert der dargestellten Obersumme
an und berechnen Sie unter Verwendung einer ge
eigneten Modellfunktion f , um wie viel dieser Wert
vom tatsächlichen Wert des Flächeninhalts dieses
Flächenstücks abweicht!
f ( x )
x
f
0 4 3 2 1 –1 –2 5
–1
0
3
2
1
4

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Funktion und Stammfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Stammfunktion F hat drei Extremstellen. Diese liegen an den Stellen x = 0, x = 3 und x = 4.
Die Stammfunktion F hat zwei Wendestellen. Diese liegen an den Stellen x ≈ 1,1 und x ≈ 3,5.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Anzahl und die Lage der Extrem
und Wendestellen von F korrekt angegeben werden.
Toleranzintervalle für die Wendestellen: [1; 1,3] bzw. [3,4; 3,7]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Formeln:
A =
∫
3
0
f ( x ) d x –
∫
4
3
f ( x ) d x
A = [ F (3) – F (0)] – [ F (4) – F (3)]
O s ≈ 3,17
f ( x ) = 0,25 ∙ x
3
– 1,75 ∙ x
2
+ 3 ∙ x
A ≈ 2,81
O s – A ≈ 0,36
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl unter Verwendung von f als auch
unter Verwendung von F eine korrekte Formel zur Berechnung des Flächeninhalts aufgestellt wird
und ein korrekter Wert der Obersumme sowie die Abweichung vom tatsächlichen Wert korrekt
angegeben werden.
Toleranzintervall für die Abweichung: [0,3; 0,4]

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Lotrechter Wurf
Die Flughöhe eines Körpers, der zum Zeitpunkt t = 0 nach oben geschossen wird, lässt sich mit
hilfe einer Funktion h beschreiben. Es gilt: h ( t ) = 50 + 60 · t – 5 · t
2
( h ( t ) in Metern, t in Sekunden).
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von h und geben Sie die Bedeutung
dieser Funktion für die Bewegung des Körpers unter Verwendung der richtigen Maßeinheit an!
Ermitteln Sie den Extrempunkt E = ( t
1
| h ( t
1
)) der Funktion h und deuten Sie die beiden Koordina
ten t
1
und h ( t
1
) im gegebenen Kontext!
Leitfrage:
Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion h im Zeitintervall [0; t
1
] und deuten Sie
das Ergebnis im Hinblick auf die Bewegung des Körpers!
Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung besagt, dass unter bestimmten Voraussetzungen in
einem Intervall [ a ; b ] für eine Funktion f mindestens eine Stelle x
0
∈ ( a ; b ) existiert, sodass
f ′ ( x
0
) =
f ( b ) – f ( a )
b – a
gilt.
Interpretieren Sie diese Aussage für die Funktion h im gegebenen Kontext für das Zeitinter
vall [0; t
1
]!
Bestimmen Sie für die Funktion h die im Mittelwertsatz beschriebene Stelle t
0
für das Zeitinter
vall [0; t
1
]!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Lotrechter Wurf
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
h ′ ( t ) = 60 – 10 · t
Bedeutung: h ′ ( t ) gibt die momentane Geschwindigkeit des Körpers (zum Zeitpunkt t ) in m/s an.
h ′ ( t ) = 0 ⇒ t
1
= 6; h (6) = 230 ⇒ E = (6 | 230)
Deutung: Der Körper befindet sich nach 6 Sekunden in der (maximalen) Höhe von 230 Metern.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Ableitungsfunktion und ihre
Bedeutung (unter Verwendung der richtigen Maßeinheit) korrekt angegeben werden, der Extrem
punkt richtig ermittelt wird und beide Koordinaten korrekt gedeutet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
h (6) – h (0)
6 – 0
=
230 – 50
6
= 30
Deutung: Die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [0 s; 6 s] beträgt 30 m/s.
Mögliche Interpretation:
Im Zeitintervall [0; 6] gibt es mindestens einen Zeitpunkt, für den die Momentangeschwindigkeit
des Körpers gleich der mittleren Geschwindigkeit für das Zeitintervall [0; 6] ist.
Bestimmung von t
0
:
h ′ ( t
0
) = 30 ⇒ 60 – 10 · t
0
= 30 ⇒ t
0
= 3 s
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die mittlere Änderungsrate richtig berechnet
und gedeutet wird, eine korrekte Interpretation des Mittelwertsatzes im Kontext erfolgt sowie die
Stelle t
0
korrekt bestimmt wird.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Datenliste mit den Werten a
1
, a
2
, ... , a
n
( n ∈ ℕ , n > 3).
Aufgabenstellung:
Geben Sie für jede der nachstehenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen
Sie jeweils Ihre Entscheidung!
Aussage 1: Der Median ist auf jeden Fall ein Wert, der in der geordneten Datenliste aufscheint.
Aussage 2: Für den Median m der Datenliste gilt auf jeden Fall: m =
a
1
+ a
n
2
.
Aussage 3: Für das arithmetische Mittel x der Datenliste gilt auf jeden Fall: n ∙ x = a
1
+ a
2
+ ... + a
n
.
Leitfrage:
Geben Sie eine geordnete Datenliste mit 11 Werten an, die nachstehende Bedingungen erfüllt:
Das arithmetische Mittel, der Median und die Spannweite haben den Wert 10.
Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
Erklären Sie, wie Sie in der von Ihnen angegebenen Datenliste zwei Werte so ergänzen können,
dass sich weder der Median noch das arithmetische Mittel ändert, die Spannweite sich allerdings
um 6 erhöht!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Statistische Kennzahlen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Aussagen 1 und 2 sind falsch, wie sich anhand eines Gegenbeispiels zeigen lässt:
a
1
= 1 a
2
= 2 a
3
= 3 a
4
= 6
m = 2,5 und gehört somit nicht der Datenliste an.
a
1
+ a
4
2
= 3,5 und ist somit nicht der Median.
Aussage 3 ist wahr, da laut Definition für das arithmetische Mittel gilt: x =
a
1
+ a
2
+ ... + a
n
n
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der drei Aussagen die Ent
scheidung über ihre Richtigkeit korrekt getroffen und (sinngemäß) korrekt begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Datenlisten:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
5, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 15
5, 6, 7, 8, 10, 10, 10, 12, 13, 14, 15
4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 14, 14
Mögliche Vorgehensweise:
Der mittlere (sechste) Wert der geordneten Datenliste muss 10 sein.
Die Differenz von größtem und kleinstem Wert der Datenliste muss 10 ergeben.
Die Summe der 11 Werte muss 110 ergeben.
Ein Wert, der um 3 kleiner als der kleinste Wert ist, und ein zweiter Wert, der um 3 größer als der
größte Wert ist, sind zu ergänzen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte geordnete Datenliste mit
11 Werten angegeben, eine korrekte Vorgehensweise erläutert und die Ergänzung der beiden
Werte korrekt erklärt wird.