Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2018 · AHS · Kompi 8

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 8
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Rechtwinkeliges Dreieck
Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck ABC mit γ = 90°. Die Seite BC ist halb so lang wie die
Seite AC .
A
C
B
In diesem Dreieck gilt für die beiden Vektoren u und v : 2 · u = BC und 4 · v = CA .
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie sowohl den Vektor u als auch den Vektor v mit A als Ausgangspunkt ein!
Leitfrage:
Für einen Punkt D gelten beide nachstehend angeführten Bedingungen.
(1) Es existiert ein Parameterwert t ∈ ℝ , für den D = C + t · v gilt.
(2) Für die beiden Vektoren BA und BD gilt: BA ∙ BD = 0.
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung den Punkt D ein und geben Sie den Wert des
Para meters t an! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
A
C
B

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Rechtwinkeliges Dreieck
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
u
v A
C
B
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden Vektoren u und v korrekt
eingezeichnet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Vorgehensweise:
Aus (1) folgt, dass der Punkt D auf der durch A und C verlaufenden Geraden liegt.
Aus (2) folgt, dass die beiden Vektoren BA und BD aufeinander normal stehen.
A
C
B
D
u
v
–1 ∙ v
Aus der Zeichnung kann t = –1 abgelesen werden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Punkt D korrekt eingezeichnet, der richtige
Parameterwert angegeben und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Zentripetalkraft
Ein Körper mit der Masse m > 0 bewegt sich mit der Geschwindigkeit v > 0 auf einer Kreisbahn
mit dem Radius r > 0. Der Betrag der Kraft F , die dabei auf den Körper wirkt, kann durch folgen
de Gleichung beschrieben werden:
F =
m · v
2
r
Aufgabenstellung:
Geben Sie jeweils an, wie sich die Verdoppelung einer der Größen m , v bzw. r auf den Betrag der
Kraft F auswirkt, wenn die beiden anderen Größen konstant sind!
Leitfrage:
Stellen Sie mögliche Graphen der folgenden Funktionen jeweils in dem entsprechenden nach
stehenden Koordinatensystem dar!
F ( m ) mit v , r konstant F ( v ) mit m , r konstant F ( r ) mit v , m konstant
F ( m )
m
0
0
F ( r )
r
0
0
F ( v )
v
0
0
Geben Sie für jede der Funktionen an, wie z jeweils zu wählen ist, damit die Graphen Darstellungen
von Funktionen der Art f ( x ) = a ∙ x
z
+ b sind!

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Zentripetalkraft
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wenn m verdoppelt wird (und v und r konstant sind), so wird der Betrag von F ebenfalls verdoppelt.
Wenn v verdoppelt wird (und m und r konstant sind), so wird der Betrag von F vervierfacht.
Wenn r verdoppelt wird (und v und m konstant sind), so wird der Betrag von F halbiert.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn jeweils die richtige Änderung der
Kraft F angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
F ( m )
m
0
0
F
F ( r )
r
0
0
F
F ( v )
v
0
0
F
z = 1 z = 2 z = –1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der drei Funktionen ein möglicher
Graph korrekt skizziert und z jeweils richtig angegeben wird.

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Atemstromstärke
Unter der sogenannten Atemstromstärke versteht man die momentane Änderungsrate des Luft
volumens in der Lunge in Abhängigkeit von der Zeit t . Sie wird in Litern pro Sekunde (L/s) ange
geben und ihr Wert ist während des Einatmens positiv.
Die Atemstromstärke kann für eine ruhende Testperson durch eine Sinusfunktion f mit der Glei
chung f ( t ) = a · sin( b · t ) modelliert werden. Dabei gibt f ( t ) die Atemstromstärke t Sekunden nach
dem Beobachtungsbeginn ( t = 0) an.
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f für eine ruhende Testperson darge
stellt.
f ( t ) in L/s
t in s
f
8 7 6 5 4 3 2 1 9 0
0
0,5
1
–1
–0,5
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte von a und b der Funktion f !
a =
b =
Leitfrage:
Geben Sie die Periodenlänge der Funktion f an und deuten Sie diesen Wert im Hinblick auf den
Atemvorgang!
Geben Sie an, zu welchen Zeitpunkten t ∈ [0 s; 9 s] das Luftvolumen in der Lunge der Testper
son maximal ist, und erläutern Sie Ihre Überlegungen anhand der obigen Abbildung!
Geben Sie an, wie sich der Parameter b verändert, wenn die Testperson bei sportlicher Belastung
schneller atmet, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Atemstromstärke
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a = 0,5
2π
b
= 4 ⇒ b =
π
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von a und b an
gegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Periodenlänge beträgt 4 s und gibt die Dauer eines Atemzyklus (einmal Ein und Ausatmen) an.
Das Luftvolumen in der Lunge der Testperson ist zu denjenigen Zeitpunkten maximal, bei denen
die Testperson vom Einatmen zum Ausatmen übergeht, also im Intervall [0 s; 9 s] nach 2 s und
nach 6 s.
Der Parameter b wird größer, da die Periodenlänge bei schnellerer Atmung kleiner wird.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Periodenlänge angegeben und
(sinngemäß) korrekt gedeutet wird und sowohl die Zeitpunkte des maximalen Luftvolumens als
auch die Veränderung des Parameters b richtig angegeben und erläutert werden.

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Stammfunktion
Für eine Funktion f gilt f (4) = –4, die Gleichung ihrer Ableitungsfunktion f ′ lautet f ′ ( x ) = –1 für alle
x ∈ ℝ .
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der Funktion f an!
Leitfrage:
Die Funktion g ist eine Stammfunktion von f . Der Graph von g und die x Achse begrenzen eine
Fläche der Größe 144 Flächeneinheiten.
Geben Sie eine Gleichung der Funktion g an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Stammfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( x ) = – x + c
Wegen f (4) = –4 ergibt sich c = 0. Also: f ( x ) = – x .
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung der
Funktion f angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Vorgehensweise:
g ( x ) = –
1
2
∙ x
2
+ d mit d ∈ ℝ
g ( x ) = 0 ⇒ x
1, 2
= ±

2 ∙ d
∫
–

2 ∙ d

2 ∙ d
(
–
1
2
∙ x
2
+ d
)
d x = 144 ⇒ d = 18
somit: g ( x ) = –
1
2
∙ x
2
+ 18
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung der Funktion g an
gegeben und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Augensumme
Zwei „faire“ Spielwürfel, deren Seitenflächen mit den Augenzahlen 1 bis 6 beschriftet sind, wer
den geworfen. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu
zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.)
Die Zufallsvariable X beschreibt dabei die Augensumme.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie viele unterschiedliche Augensummen auftreten können und welche Augen
summe mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auftritt!
Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit!
Leitfrage:
Ziel eines Spiels ist es, mit beiden Würfeln dieselbe Augenzahl zu würfeln.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ziel bei 100 Würfen mehr als zehnmal erreicht
wird!

Kompensationsprüfung 8 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Augensumme
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Es gibt 11 unterschiedliche Augensummen und die Augensumme mit der höchsten Wahrschein
lichkeit ist die Augensumme 7.
Diese tritt mit der Wahrscheinlichkeit P =
6
36
=
1
6
≈ 16,67 % auf.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl die Anzahl der unterschied
lichen Augensummen als auch die wahrscheinlichste Augensumme samt der dazugehörigen
Wahrscheinlichkeit korrekt angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
p =
6
36
=
1
6
, n = 100
P ( X > 10) ≈ 0,9573
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die gesuchte Wahrscheinlichkeit korrekt
angegeben wird.