Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2018 · AHS · Kompi 5

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 5
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Kosten und Erlös
Die Produktionskosten (in Euro) eines Betriebes für die Herstellung eines Produkts werden durch
eine Funktion K mit der Gleichung K ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + 45 000 ( x in Tonnen, K ( x ) in Euro) modelliert.
Bei der Herstellung von 40 Tonnen fallen Kosten von 47 600 Euro an, bei der Herstellung von
100 Tonnen sind es 58 250 Euro.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b !
Leitfrage:
Eine Gewinnschwelle (Break-even-Point) liegt bei 80 hergestellten und verkauften Tonnen des
Produkts.
Geben Sie den Wert des Parameters k der entsprechenden linearen Erlösfunktion E mit der
Gleichung E ( x ) = k ∙ x an und deuten Sie diesen im vorliegenden Kontext!

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Kosten und Erlös
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a = 1,125
b = 20
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Parameterwerte
angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
K ( x ) = 1,125 ∙ x
2
+ 20 ∙ x + 45 000
K (80) = E (80) = 80 ∙ k
k =
53 800
80
= 672,5
Der Verkaufspreis pro Tonne beträgt 672,50 Euro.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert für k angegeben und dieser
(sinngemäß) korrekt gedeutet wird.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Funktionen
Gegeben sind drei Graphen von Funktionen der Form f ( x ) = a ∙ x
z
+ b mit a , b ∈ ℝ und
z ∈ {1, 2, 3}.
Graph 1: Graph 2:
f ( x )
f
x
f ( x )
f
x
Graph 3:
f ( x )
f
x
Aufgabenstellung:
Geben Sie für jede Funktion anhand des Graphen an, welchen Wert z hat und ob die Parameter a
und b jeweils größer als null, kleiner als null oder gleich null sind!
Leitfrage:
Geben Sie für die Funktion, deren Darstellung der Graph 2 ist, eine Gleichung zur Berechnung
der Nullstelle(n) in Abhängigkeit von den Parametern a und b an!
Geben Sie an, wie viele Nullstellen ein Graph dieses Funktionstyps hat, und begründen Sie Ihre
Entscheidung!
Ermitteln Sie die Parameter a und b einer Funktion dieses Funktionstyps, deren Graph im
Punkt A = (1 | –1) die Steigung 3 hat!

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Funktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Graph 1:
z = 2, a > 0, b > 0
Graph 2:
z = 3, a > 0, b < 0
Graph 3:
z = 1, a < 0, b = 0
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn jeweils ein richtiger Wert für z und
korrekte Bedingungen für die Parameter a und b angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ) = a ∙ x
3
+ b mit a > 0 und b < 0
a ∙ x
3
+ b = 0
x =

3
–
b
a
Ein Graph dieses Funktionstyps hat immer genau eine Nullstelle, da die Gleichung a ∙ x
3
+ b = 0
für a > 0 und b < 0 immer genau eine reelle Lösung hat.
f ′ ( x ) = 3 ∙ a ∙ x
2
f (1) = –1 ⇒ a + b = –1
f ′ (1) = 3 ⇒ a = 1 ⇒ b = –2
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl eine korrekte Gleichung zur Berechnung der Nullstelle und eine korrekte Begründung als auch die richtigen Werte für die Parameter a
und b angegeben werden.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm
Die Funktion v beschreibt die Geschwindigkeit eines fahrenden Autos auf einem geradlinigen
Straßenabschnitt in den ersten 16 Sekunden nach dem Start.
In Abbildung 1 ist der Graph von v dargestellt. In Abbildung 2 ist der Graph derjenigen Funktion v
m
dargestellt, die diese Geschwindigkeit in vier getrennten Abschnitten linear modelliert.
Abbildung 1 Abbildung 2
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16
20
15
10
5
0
25
v ( t ) in m/s
t in s
v
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16
t in s
v
m
( t ) in m/s
v
m
20
15
10
5
0
25
Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe der Funktion v einen Ausdruck zur Berechnung desjenigen Weges s an, den
das Auto in den ersten 16 Sekunden nach dem Start zurückgelegt hat!
Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe des Graphen von v , wie groß die mittlere Beschleunigung
des Autos im Zeitintervall [6; 9] ist!
Leitfrage:
Die Lösungen der Gleichung v ( t ) = v
m
( t ) mit t ∈ [0; 16] werden der Größe nach geordnet und in
der Folge als „Stützstellen“ bezeichnet.
Ermitteln Sie den zwischen der 4. und 5. Stützstelle zurückgelegten Weg mithilfe von v
m
!
Geben Sie an, ob der tatsächlich zurückgelegte Weg über- oder unterschritten wird, und begründen Sie Ihre Entscheidung!

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
s =
∫
16
0
v ( t ) d t
v (9) – v (6)
3
=
10
3
≈ 3,3 m/s
2
Die mittlere Beschleunigung des Autos beträgt ca. 3,3 m/s
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das bestimmte Integral und der richtige Wert für die Beschleunigung angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Lösungen der Gleichung v ( t ) = v
m
( t ): 0, 6, 9, 12, 16
zurückgelegter Weg im Intervall [12; 16]: 90 m
Der tatsächlich zurückgelegte Weg wird überschritten.
Mögliche Begründung:
Der Graph der Funktion v
m
verläuft im Intervall [12; 16] zur Gänze oberhalb des Graphen von v .
Somit gilt:
∫
16
12
v
m
( t ) d t >
∫
16
12
v ( t ) d t .
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Wert des zurückgelegten Weges
ermittelt wird und die Überschreitung des tatsächlich zurückgelegten Weges erkannt und korrekt
begründet wird.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Sekantensteigung
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit f ( x ) = –
1
12
∙ x
3
+ 3 ∙ x
2
.
In der nachstehenden Tabelle sind die (auf zwei Nachkommastellen gerundeten) Sekanten steigungen für einzelne Intervalle angegeben.
Intervall Sekantensteigung
[0; 3] 8,25
[3; 7,5] 24,19
[7,5; 9] 32,44
[9; 15] s
4
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den fehlenden Wert s
4
!
Leitfrage:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel m der vier Werte aus der obigen Tabelle!
Vergleichen Sie den Wert von m mit der Sekantensteigung im Intervall [0; 15] und begründen Sie,
warum die Ergebnisse verschieden sind!

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Sekantensteigung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
s
4
=
f (15) – f (9)
6
= 35,25
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn s
4
richtig angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
m =
8,25 + 24,19 + 32,44 + 35,25
4
≈ 25,03
f (15) – f (0)
15
= 26,25
Der Wert von m und der Wert der Sekantensteigung im Intervall [0; 15] stimmen nicht überein.
Mögliche Begründung:
Die in der Tabelle angegebenen Sekantensteigungen wurden für unterschiedliche Intervalllängen
berechnet.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden richtigen Werte angegeben werden und eine korrekte Begründung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Hausübung
Eine Mathematik-Hausübung bestand aus x Aufgaben (mit x ∈ ℕ und x ≤ 15). Die Mathematiklehrerin wählt aus den 15 Schülern ihrer Klasse x Schüler aus, wobei jeder Schüler jeweils eine
andere Aufgabe der Hausübung erklären soll. Wenn es auf die Reihenfolge der Auswahl nicht
ankommt, ist die Anzahl der Möglichkeiten, diese Auswahl zu treffen, 6 435.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung an, mit der eine mögliche Anzahl x der Hausübungsaufgaben berechnet werden kann!
Leitfrage:
Bei der Hausübung ist Leo bei der Berechnung von Binomialkoeffizienten Folgendes aufgefallen:
( )
9
1
= 9
∙ 8
: 2
( )
9
2
= 36
∙ 7
: 3
( )
9
3
= 84
∙ 6
: 4
( )
9
4
= 126 usw.
Leo beschreibt den Zusammenhang allgemein für
( )
n
k
mit k , n ∈ ℕ und 0 ≤ k < n folgendermaßen:
( )
n
k + 1
=
( )
n
k
∙ c
Geben Sie den Faktor c in Abhängigkeit von k und n an!

Kompensationsprüfung 5 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Hausübung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
( )
15
x
= 6 435
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung angegeben
wird. Äquivalente Gleichungen (wie z. B. x = 7 oder x = 8) sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
c =
n – k
k + 1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Faktor c richtig angegeben wird.