Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2018 · AHS · Kompi 4

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 4
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden in ℝ
2
Die Gerade g wird durch die Parameterdarstellung X =
( )
2
3
+ t ∙
( )
3
–1
mit t ∈ ℝ festgelegt.
Aufgabenstellung:
Die Gleichung a ∙ x – 6 ∙ y = b mit a , b ∈ ℝ beschreibt dieselbe Gerade g . Bestimmen Sie die
Werte der Parameter a und b und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Die durch die Gleichung y = k ∙ x + d mit k , d ∈ ℝ beschriebene Gerade h verläuft normal zu g .
Die beiden Geraden schneiden einander im Punkt S = (8 | y
S
).
Ermitteln Sie die Werte der Parameter k und d und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden in ℝ
2
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a = –2
b = –22
Mögliche Vorgehensweise:
Der Vektor
( )
a
–6
ist ein Normalvektor der Geraden und somit gilt:
( )
a
–6
∙
( )
3
–1
= 0.
⇒ 3 ∙ a + 6 = 0 ⇒ a = –2
Da der Punkt P = (2 | 3) auf der Geraden liegt, gilt: –2 ∙ 2 – 6 ∙ 3 = b ⇒ b = –22.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte der beiden Para
meter a und b sowie eine korrekte Vorgehensweise angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
k = 3
d = –23
Mögliche Vorgehensweise:
Der Richtungsvektor
( )
1
k
von h muss ein Vielfaches des Normalvektors
( )
–2
–6
von g sein ⇒ k = 3.
Da S auf g liegt, muss S = (8 | y
S
) die Gleichung –2 ∙ x – 6 ∙ y = –22 erfüllen ⇒ y
S
= 1.
Da S auf h liegt, muss S = (8 | 1) die Gleichung y = k ∙ x + d erfüllen ⇒ 1 = 3 ∙ 8 + d ⇒ d = –23.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte der beiden Parameter k
und d sowie eine korrekte Vorgehensweise angegeben werden.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
London Eye
Das größte Riesenrad Europas ist das London Eye mit einem Durchmesser von 122 Metern und
einer Höhe von 135 Metern.
Der Mittelpunkt des Riesenrads befindet sich in 74 Metern Höhe über dem Boden, zum Zeitpunkt
t = 0 befindet sich eine Gondel des Riesenrads auf der Höhe des Mittelpunkts.
Die relative Höhe dieser Gondel in Bezug auf eine horizontale Ebene durch den Mittelpunkt des
Riesenrads kann mithilfe einer Funktion h mit h ( t ) = a ∙ sin( b ∙ t ) mit a , b ∈ ℝ
+
modelliert wer
den. Dabei ist h ( t ) die relative Höhe der Gondel in Metern t Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Der Graph der Funktion h ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Die Koordinaten der
hervorgehobenen Punkte sind ganzzahlig.
t in min
h ( t ) in m
h
5 0 35 30 25 20 15 10 40
40
20
0
60
–20
–40
–60
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Periodenlänge der Funktion h an und deuten Sie diese in Bezug auf die Bewegung
des Riesenrads!
Leitfrage:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b der Funktion h !
Ermitteln Sie weiters, in welcher Höhe über dem Boden sich die Gondel nach 10 Minuten befin
det und zu welchen Zeitpunkten t ∈ [0; 30] sich die Gondel in 34 Metern Höhe über dem Boden
befindet!

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
London Eye
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Periodenlänge beträgt 25 Minuten, d. h., das Riesenrad benötigt 25 Minuten für eine volle
Umdrehung.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Periodenlänge richtig angegeben
und korrekt gedeutet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
a = 61 und b =
2π
25
h ( t ) = 61 ∙ sin
(
2π
25
∙ t
)
⇒ h (10) ≈ 36 Höhe über dem Boden: ca. 110 m
h ( t ) = –40 ⇒ t ≈ 15,3 bzw. t ≈ 22,2
Nach ca. 15 bzw. ca. 22 Minuten befindet sich die Gondel in 34 Metern Höhe.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl die Werte der Parameter a und b als
auch die Höhe nach 10 Minuten sowie die gesuchten Zeitpunkte korrekt angegeben werden.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Graph einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion f erfüllt die nachstehend angeführten Bedingungen.
f ′ (–2) < 0
f ′ (2) > 0
f ″ (2) = 0
f (4) = 4
f ′ (4) = 0
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem einen möglichen Graphen einer solchen
Funktion f mit kleinstmöglichem Grad!
f ( x )
x
–2 –3 –4 –5 –6 –1 3 2 1 0 4 5 6
0
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
5
6
Leitfrage:
Eine Funktion g soll – zusätzlich zu den für f gegebenen Bedingungen – auch g ″ (4) = 0 erfüllen.
Begründen Sie, warum der Grad von g mindestens um 1 höher als der Grad von f sein muss!
Erläutern Sie, wie sich das Monotonieverhalten der Funktion g von jenem der Funktion f unter
scheidet, wenn der Grad von g um genau 1 höher als jener von f ist!

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Graph einer Polynomfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( x )
f
x
–2 –3 –4 –5 –6 –1 3 2 1 0 4 5 6
0
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
5
6
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein möglicher Graph korrekt gezeich
net wird.
Der Graph muss die charakteristischen Merkmale einer Polynomfunktion dritten Grades aufweisen.
Der Wendepunkt muss sich an der Stelle x = 2 und der Hochpunkt im Punkt (4 | 4) befinden.
An der Stelle x ≈ 0 muss ein Tiefpunkt vorliegen.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Begründung:
Die zweite Ableitungsfunktion von g hat zwei verschiedene Nullstellen und ist daher mindestens
vom Grad 2. Somit muss die Funktion g mindestens vom Grad 4 sein.
Die Funktion g ist für x > 0 streng monoton steigend, hingegen ist die Funktion f im Inter
vall (4; ∞) streng monoton fallend.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Grad der Funktion richtig angegeben
und begründet wird und der Unterschied im Monotonieverhalten der beiden Funktionen korrekt
erläutert wird.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Zugfahrt
Ein Zug startet seine Fahrt von einer Station, fährt ohne Zwischenstopp zur nächsten Station und
hält dort an.
In diesem Zeitintervall kann seine Geschwindigkeit mithilfe der Funktion v mit
v ( t ) = –0,15 · t
2
+ 0,90 · t modelliert werden. Dabei wird t in Minuten und v ( t ) in km/min ange
geben.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt t
0
, zu dem die Geschwindigkeit des Zuges maximal ist, und
geben Sie diese maximale Geschwindigkeit v
max
an!
t
0
=
_____________________
min
v
max
=
_____________________
km/min
Leitfrage:
Ermitteln Sie die Fahrtdauer des Zuges für die Fahrt zwischen den beiden Stationen!
Beschreiben Sie die Entfernung s zwischen den beiden Stationen mithilfe eines bestimmten Inte
grals und ermitteln Sie diese Entfernung!
Geben Sie denjenigen Zeitpunkt
–
t an, zu dem 80 % der Wegstrecke zurückgelegt sind!

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Zugfahrt
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v ′ ( t ) = 0 ⇒ t
0
= 3 min
v
max
= v (3) = 1,35 km/min
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der gesuchte Zeitpunkt und die
Maximalgeschwindigkeit korrekt angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
v ( t ) = 0 ⇒ t
1
= 6 und t
2
= 0
Die Fahrtdauer des Zuges zwischen den beiden Stationen beträgt 6 Minuten.
s = ∫
6
0
v ( t ) d t ⇒ s = 5,4 km
Die Entfernung der beiden Stationen beträgt 5,4 km.
∫
–
t
0
v ( t ) d t = 0,8 · 5,4 ⇒
–
t ≈ 4,28
Nach ca. 4,28 Minuten sind 80 % der Wegstrecke zurückgelegt.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Fahrtdauer, das bestimmte Integral und
die Entfernung sowie der Zeitpunkt
–
t korrekt angegeben werden.

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Datenlisten
Gegeben ist eine aus acht Zahlen bestehende Datenliste x
1
, x
2
, ... , x
8
mit dem arithmetischen
Mittel x =10 und der Standardabweichung s
x
= 2.
Aufgabenstellung:
Die Datenliste wird um die beiden Zahlen x
9
= 12 und x
10
= 13 erweitert.
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel x
1
der erweiterten Datenliste x
1
, x
2
, ... , x
10
!
Leitfrage:
Wenn man jeden Wert der ursprünglichen Datenliste x
1
, x
2
, ... , x
8
mit einer Zahl a ∈ ℕ multipli
ziert und dann eine Zahl b ∈ ℕ addiert, entsteht eine neue Datenliste y
1
, y
2
, ... , y
8
.
Es gilt also: y
i
= a ∙ x
i
+ b mit i ∈ {1, 2, ... , 8}.
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a und b so, dass die Standardabweichung der neuen
Daten liste mit jener der ursprünglichen Datenliste übereinstimmt und das arithmetische Mittel y
der neuen Datenliste den Wert 21 annimmt!

Kompensationsprüfung 4 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Datenlisten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
x
1
+ x
2
+ ... + x
10
10
=
8 ∙ 10 + 12 + 13
10
= 10,5
Das arithmetische Mittel der erweiterten Datenliste beträgt 10,5.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das arithmetische Mittel der erweiter
ten Datenliste richtig angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Für die Standardabweichung s
y
der neuen Datenliste y
1
, y
2
, ... , y
8
gilt: s
y
= s
x
⇒ a = 1.
y = a ∙ x + b ⇒ 21 = 1 ∙ 10 + b ⇒ b = 11
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte der Parameter a und b
angegeben werden.