Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2018 · AHS · Kompi 2

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Vierecke
Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit den Eckpunkten A = (0 | 0 | 0), B = (6 | –2 | 3), C und
D = (3 | 6 | z
D
).
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die fehlende Koordinate des Eckpunkts D und die Koordinaten des Eckpunkts C !
Leitfrage:
Gegeben ist ein weiteres Viereck PQRS mit den Eckpunkten P = (0 | 0 | 0), Q = (7 | y
Q
| –4),
R = (8 | 15 | 0) und S = ( x
S
| 8 | 4).
Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte Q und S so, dass dieses Viereck ein Paral
lelogramm ist!
Überprüfen Sie, ob das Parallelogramm auch ein Rechteck, eine Raute oder ein Quadrat ist, und
erläutern Sie jeweils Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Vierecke
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
AB ∙ AD = 0 ⇒ z
D
= –2
C = B + AD ⇒ C = (9 | 4 | 1)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Koordinate z
D
und die Koordi
naten des Eckpunkts C korrekt angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Vorgehensweise:
PQ =
( )
7
y
Q
–4
, SR =
( )
8 – x
S
7
–4
PQ = SR ⇒ y
Q
= 7, x
S
= 1
PQ ∙ PS =
( )
7
7
–4
∙
( )
1
8
4
≠ 0 ⇒ Das Viereck ist kein Rechteck bzw. kein Quadrat, da die Seiten
PQ und PS keinen rechten Winkel einschließen.

7
2
+ 7
2
+ (–4)
2
≠

1
2
+ 8
2
+ 4
2
⇒ Das Viereck ist keine Raute, da die Seiten PQ und PS nicht
gleich lang sind.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden Koordinaten und der Typ des
Vierecks korrekt angegeben werden und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Umfüllen von Wasser
Ein quaderförmiger Behälter mit quadratischer Grundfläche steht auf einer waagrechten Ebene.
Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche beträgt a cm.
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Behälter mit 6 000 cm
3
Wasser gefüllt, anschließend ( t > 0) wird ihm
mit konstanter Abflussrate Wasser entnommen. Die Funktion h beschreibt die Höhe (in cm) des
Wasserpegels im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit t (in min).
Nachstehend ist der Graph von h abgebildet. Die zwei auf dem Graphen gekennzeichneten
Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
4 2 0 6
t
h
h ( t )
12
9
6
3
0
15
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Seitenlänge a der quadratischen Grundfläche des Behälters und erläutern Sie
Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Das dem ersten Behälter entnommene Wasser wird ohne Zeitverzögerung einem zweiten, zum
Zeitpunkt t = 0 leeren Behälter zugeführt. Der zweite Behälter steht ebenfalls auf einer waag
rechten Ebene und ist quaderförmig mit quadratischer Grundfläche. Die Seitenlänge seiner quad
ratischen Grundfläche ist allerdings nur halb so groß wie jene des ersten Behälters.
Die Funktion h
1
beschreibt die Höhe (in cm) des Wasserpegels im zweiten Behälter in Abhängig
keit von der Zeit t (in min).
Geben Sie eine Gleichung der Funktion h
1
an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Umfüllen von Wasser
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche des Behälters beträgt 20 cm.
Mögliche Vorgehensweise:
Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt die Höhe des Wasserpegels im Behälter 15 cm.
Gemäß der Volumsformel für Quader gilt: 6 000 = a
2
∙ 15 ⇒ a = 20 cm.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Länge von a angegeben
und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
h
1
( t ) = 6 ∙ t
Mögliche Vorgehensweise:
In vier Minuten fließen (15 – 9) ∙ 20
2
= 2 400 cm
3
Wasser vom ersten Behälter ab und somit in den
zweiten Behälter ein, pro Minute folglich 600 cm
3
. Somit steigt der Wasserpegel im zweiten Be
hälter pro Minute um
600
10
2
= 6 cm.
oder:
Eine nur halb so große Seitenlänge der quadratischen Grundfläche bewirkt, dass der Flächen
inhalt auf ein Viertel abnimmt. Daraus ergibt sich, dass die Anstiegsgeschwindigkeit des Wasser
pegels vervierfacht wird.
Abflussgeschwindigkeit:
15 – 9
4
= 1,5 ⇒ Anstiegsgeschwindigkeit: 4 ∙ 1,5 = 6
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Funktionsgleichung angegeben
und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Zwei Funktionen
Gegeben sind zwei Funktionen f und g mit f ( x ) = a ∙

x + b ( a , b ∈ ℤ ) und g ( x ) =
1
2
∙ x + d ( d ∈ ℝ ).
Nachstehend ist der Graph von f abgebildet. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte sind
ganzzahlig.
f ( x )
f
x
0 6 5 4 3 2 1 –1 7
0
5
4
3
2
1
6
–1
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Werte der Parameter a und b an!
Leitfrage:
Es gibt eine Stelle x
0
mit f ′ ( x
0
) = g ′ ( x
0
).
Ermitteln Sie diese Stelle x
0
!
An dieser Stelle x
0
gilt weiters: f ( x
0
) = g ( x
0
).
Geben Sie den Wert des Parameters d der Funktion g an und erläutern Sie, welche Aussage auf
grund der beiden für x
0
gegebenen Bedingungen über die Lagebeziehung zwischen den Graphen
der Funktionen f und g getroffen werden kann!

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Zwei Funktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f (0) = 1 ⇒ b = 1
f (1) = 3 ⇒ a ∙

1 + b = 3 ⇒ a = 2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Werte beider Parameter richtig
angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ) = 2 ∙

x + 1 ⇒ f ′ ( x ) =
1

x
f ′ ( x
0
) = g ′ ( x
0
) ⇒
1

x
0
=
1
2
⇒ x
0
= 4
f (4) = g (4) ⇒ 5 =
1
2
∙ 4 + d ⇒ d = 3
Der Graph der Funktion g ist eine Tangente an den Graphen der Funktion f . Die Graphen der
Funktionen f und g berühren einander im Punkt ( x
0
| f ( x
0
)).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die richtigen Werte von x
0
und d angegeben
werden und die Lagebeziehung zwischen den beiden Funktionsgraphen (sinngemäß) korrekt
erläutert wird.

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Autofahrt
Ein Auto fährt entlang eines geraden Streckenabschnitts. Im nachstehenden Zeit Geschwindig
keit Diagramm ist die Geschwindigkeit v ( t ) (in m/s) des Autos in Abhängigkeit von der Zeit t (in s)
dargestellt. Dabei ist die Dauer der Fahrt in fünf Zeitintervalle unterteilt, in denen die Geschwin
digkeitsfunktion jeweils linear modelliert wird. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte sind
ganzzahlig.
v
25
20
15
10
5
0
30
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15
t in s
v ( t ) in m/s
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Beschleunigung a
1
des Autos im zweiten Zeitintervall samt der Maßeinheit an!
Leitfrage:
Zum Zeitpunkt t
1
hat das Auto eine Strecke von 100 m zurückgelegt. Ermitteln Sie mithilfe der
obigen Abbildung, in welchem der fünf Zeitintervalle der Zeitpunkt t
1
liegt, und erläutern Sie Ihre
Vorgehensweise!
Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung dieses Zeitpunkts t
1
an und ermitteln Sie den Wert
von t
1
!

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Autofahrt
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a
1
=
10
3
m/s
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Beschleunigung a
1
samt Einheit
korrekt angegeben wird.
Toleranzintervall: [3 m/s
2
; 3,5 m/s
2
]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der Zeitpunkt t
1
liegt im Zeitintervall [6; 9], da das Auto bis zum Ende des zweiten Zeitintervalls
eine Strecke von 82,5 m zurückgelegt hat.
Die Funktion v kann im Intervall [6; 9] durch v ( t ) =
5
3
∙ t + 15 modelliert werden.
Mögliche Gleichung zur Berechnung von t
1
:
∫
t 1
6
v ( t ) d t = 17,5 ⇒ t
1
≈ 6,68
Nach ca. 6,7 s hat das Auto eine Strecke von 100 m zurückgelegt.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl das Zeitintervall für t
1
korrekt angege
ben und dies (sinngemäß) korrekt erläutert wird als auch t
1
korrekt ermittelt wird.
Toleranzintervall: [6,6; 6,7]

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Würfeln
Die Seitenflächen von zwei „fairen“ sechsflächigen Würfeln sind unterschiedlich beschriftet.
(Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle
sechs Seitenflächen gleich groß ist.)
Beim ersten Würfel sind zwei Flächen mit der Zahl 0 und vier Flächen mit der Zahl 4 beschriftet,
beim zweiten Würfel sind drei Flächen mit der Zahl 1 und drei Flächen mit der Zahl 5 beschriftet.
Aufgabenstellung:
Bei einem Zufallsexperiment werden beide Würfel gleichzeitig geworfen.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden gewürfelten Zahlen „5“ ergibt!
Leitfrage:
Spieler A darf einen der beiden Würfel auswählen, Spieler B muss den anderen Würfel nehmen.
Derjenige Spieler, der die höhere Zahl würfelt, gewinnt.
Geben Sie an, welchen Würfel Spieler A wählen sollte, um die größeren Gewinnchancen zu haben,
und begründen Sie Ihre Entscheidung durch Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit für jeden
Würfel!

Kompensationsprüfung 2 / Juni 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Würfeln
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P („Summe = 5“) =
2
3
∙
1
2
+
1
3
∙
1
2
= 0,5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit korrekt ermit
telt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Berechnung:
P („Spieler A gewinnt mit dem ersten Würfel“) =
2
3
∙
1
2
=
1
3
}
Die Gewinnwahrscheinlich
keit ist bei der Wahl des
zweiten Würfels größer. P („Spieler A gewinnt mit dem zweiten Würfel“) =
1
3
∙ 1 +
2
3
∙
1
2
=
2
3
Spieler A sollte den zweiten Würfel wählen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahl des für Spieler A günstigeren Würfels
korrekt angegeben und begründet wird.