Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2018 · AHS · Kompi 1

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Jänner 2019
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Drei Vektoren in ℝ
3
Gegeben sind drei Vektoren:
a =
( )
1
–2
3
, b =
( )
2
1
bz
, c =
( )
–3
cy
5
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Komponenten bz und cy so, dass die Vektoren b und c jeweils auf a normal
stehen!
Zeigen Sie, dass für die von Ihnen ermittelten Komponenten auch b und c aufeinander normal
stehen, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung für die Geraden g , h und i so an, dass die nach
stehend angeführten Bedingungen erfüllt sind!
I : Die Gerade g hat den Vektor a als Richtungsvektor und verläuft durch den Ursprung.
II : Die Gerade h hat den Vektor b als Richtungsvektor und schneidet die Gerade g in genau
einem Punkt.
III : Die Gerade i ist parallel zur Geraden h und windschief zur Geraden g (sie hat also mit g keinen
Schnittpunkt).
Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise und weisen Sie nach, dass i zu g windschief ist!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Drei Vektoren in ℝ
3
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren stehen genau dann aufeinander normal, wenn ihr
Skalarprodukt null ergibt.
a · b = 0 ⇒ 2 – 2 + 3 · bz = 0 ⇒ bz = 0
a · c = 0 ⇒ –3 – 2 · cy + 15 = 0 ⇒ cy = 6
Dann gilt auch b · c = –6 + 6 + 0 = 0.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl beide Komponenten korrekt
bestimmt werden als auch gezeigt wird, dass b und c aufeinander normal stehen, und wenn eine
(sinngemäß) korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Lösung:
g : X =
( )
0
0
0
+ s ·
( )
1
–2
3
h : X =
( )
0
0
0
+ t ·
( )
2
1
0
i : X =
( )
0
0
7
+ u ·
( )
2
1
0
Zu zeigen ist, dass g und i keinen Schnittpunkt haben:
s = 2 · u
–2 · s = u
3 · s = 7
Dieses Gleichungssystem in den beiden Variablen s und u hat keine Lösung.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn drei den Vorgaben entsprechende Para meter
darstellungen angegeben werden, eine (sinngemäß) korrekte Vorgehensweise erläutert wird und
korrekt nachgewiesen wird, dass die Geraden g und i zueinander windschief sind.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Funktionen
Im nachstehenden Koordinatensystem sind drei Graphen von Funktionen mit x ↦ a · x
2
+ b ab
gebildet. Die markierten Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
f
1
( x ), f
2
( x ), f
3
( x )
f
1
f
3
f
2
x
0 4 3 2 1 5 –2 –3 –4 –5 –1
0
3
2
1
4
–2
–3
–4
–1
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung der Funktion f
2
!
Leitfrage:
Erläutern Sie allgemein den Einfluss der Parameter a und b auf den Verlauf des Graphen einer
Funktion f mit f ( x ) = a · x
2
+ b und a ≠ 0!
Konkretisieren Sie Ihre Erläuterung durch den Vergleich der Parameter der drei Funktionen f
1
, f
2
und f
3
!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Funktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mit f
2
( x ) = a · x
2
+ b sowie f
2
(0) = 1 und z. B. f
2
(2) = –1 ergibt sich f
2
( x ) = –0,5 · x
2
+ 1.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung von
f
2
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Erläuterung:
Der Parameter b bestimmt den Schnittpunkt mit der senkrechten Achse.
Der Parameter a bestimmt die Krümmung der Parabel.
a > 0: Die Parabel ist linksgekrümmt (positiv gekrümmt); je größer a ist, umso „steiler“ verläuft der
Graph von f.
a < 0: Die Parabel ist rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt); je kleiner a ist, umso „steiler“ verläuft
der Graph von f.
Bei f
1
und f
2
stimmt der Parameter b überein und hat den Wert b = 1.
Der Parameter a ist bei f
1
positiv und bei f
2
negativ.
Bei f
3
ist b = –1, a ist positiv (und hat denselben Betrag wie bei f
2
).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Einfluss der Parameter a und b allgemein
(sinngemäß) korrekt erläutert wird und die Unterschiede in den Parametern der Funktionen f
1
, f
2
und f
3
korrekt beschrieben werden.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Wildschweine
Laut einem Zeitungsartikel nahm die Wildschweinpopulation im Jahr 2013 in Bayern stark zu,
obwohl noch nie zuvor so viele Wildschweine geschossen wurden. In der Jagdsaison 2012/13
wurden 66 000 Wildschweine geschossen, in der Jagdsaison 2011/12 waren es nur 42 300 Wild
schweine.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die absolute und die relative Zunahme an Wildschweinabschüssen in Bayern von der
Jagdsaison 2011/12 auf die Jagdsaison 2012/13 an!
Leitfrage:
Geben Sie an, welcher funktionale Zusammenhang zwischen Zeit und Anzahl an Wildschweinab
schüssen besteht, wenn man von einer gleichbleibenden jährlichen Zuwachsrate an Abschüssen
ausgeht, die der ermittelten relativen Änderung der Abschusszahlen in Bayern entspricht!
Geben Sie eine derartige Gleichung für eine Funktion W an, die die Anzahl an Wildschweinab
schüssen in Bayern in Abhängigkeit von der Zeit t ( t in Jahren) beschreibt, wobei W (0) die Anzahl
der Abschüsse in der Saison 2012/13 angibt!
Ermitteln Sie mithilfe dieser Gleichung die Anzahl an Wildschweinabschüssen für die Saison 2022/23
und schätzen Sie ein, ob es realistisch ist, dass sich die Anzahl an Wildschweinabschüssen über
einen sehr großen Zeitraum gemäß dieser Funktion entwickelt!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Wildschweine
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
absolute Zunahme: 23 700 Abschüsse
relative Zunahme:
66 000 – 42 300
42 300
≈ 0,56
Die Anzahl der Abschüsse hat um ca. 56 % zugenommen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Zunahmen korrekt angegeben
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Es handelt sich um eine Exponentialfunktion.
W ( t ) = 66 000 · 1,56
t
W (10) ≈ 5,6 Millionen
Es ist nicht realistisch, da diese Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, die Anzahl an
Wildschweinabschüssen aber nicht unendlich groß werden kann.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Funktionsgleichung angegeben,
der Wert für die Saison 2022/23 korrekt ermittelt und eine korrekte Einschätzung angegeben
wird.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Ableitungs- und Stammfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f vierten
Grades mit den Wendepunkten W
1
und W
2
.
f ( x )
x
f
0 3 2 1 –2 –3 –1 –4 4
–2
–3
–1
–4
3
2
4
1
0
W
1
W
2
Aufgabenstellung:
Geben Sie zu jeder der nachstehenden Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen
Sie jeweils Ihre Entscheidung!
Aussage 1: Für alle x ∈ [–1; 1] gilt: f ′ ( x ) > 0.
Aussage 2: Es gibt ein x ∈ [0; 1] mit f ′ ( x ) = 0.
Aussage 3: Für alle x ∈ [–4; –2] gilt: f ″ ( x ) < 0.
Aussage 4: Es gibt ein x ∈ [1; 3] mit f ″ ( x ) = 0.
Leitfrage:
Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von [–4; 3] eine Stammfunktion von f streng monoton
steigend ist, und erläutern Sie Ihre Antwort!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Ableitungs- und Stammfunktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Aussage 1: Die Aussage ist wahr, da f in diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Aussage 2: Die Aussage ist falsch, da f in diesem Intervall kein lokales Extremum (und keinen
Sattelpunkt) hat.
Aussage 3: Die Aussage ist falsch, da f in diesem Intervall ihr Krümmungsverhalten ändert.
Aussage 4: Die Aussage ist falsch, da f in diesem Intervall keine Wendestelle hat.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jede Aussage korrekt angegeben
wird, ob sie wahr oder falsch ist, und die Entscheidungen (sinngemäß) korrekt begründet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Eine Stammfunktion von f ist in [–4; –2] und in [–0,5; 3] streng monoton steigend, da in diesen
Intervallen die Funktion f nicht negative Funktionswerte hat.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Monotonieintervalle einer Stammfunk
tion von f richtig angegeben werden. Andere Schreibweisen der Intervalle (offen oder halboffen)
sowie korrekte formale oder verbale Beschreibungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
Bei den Intervallgrenzen sind Abweichungen von ± 0,2 zu tolerieren.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Medikament
Laut Angaben eines Pharmaunternehmens treten bei einem bestimmten Medikament bei 2 % der
Personen, die dieses Medikament einnehmen, leichte Nebenwirkungen auf.
Das Medikament wird von 50 Personen eingenommen.
Im Folgenden soll vereinfacht angenommen werden, dass die Anzahl der Personen, bei denen
leichte Nebenwirkungen auftreten, binomialverteilt ist.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie, bei wie vielen Personen leichte Nebenwirkungen zu erwarten sind!
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei mehr als zwei Personen leichte Nebenwirkungen
auftreten!
Leitfrage:
Ermitteln Sie die Mindestanzahl n ( n ∈ ℕ ) derjenigen Personen, die das Medikament einnehmen
müssen, damit leichte Nebenwirkungen bei mindestens einer Person mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 90 % auftreten! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2019 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Medikament
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Erwartungswert E = n ∙ p = 1
P ( X > 2) ≈ 0,078 = 7,8 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Erwartungswert und die Wahr
scheinlichkeit korrekt angegeben werden.
Toleranzintervall: [0,07; 0,08] bzw. [7 %; 8 %]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Vorgehensweise:
P ( X ≥ 1) ≥ 0,9 ⇒ 1 – P ( X = 0) ≥ 0,9
1 – 0,98
n
≥ 0,9 ⇒ 0,98
n
≤ 0,1 ⇒ n ≥ 113,97...
n = 114
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Mindestanzahl der Personen richtig an
gegeben wird und die Vorgehensweise korrekt erläutert wird.