Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2017 · AHS · Kompi 2

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2017
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Punkte und Vektoren
Im nachstehenden Koordinatensystem sind drei Punkte mit jeweils ganzzahligen Koordinaten und
drei Vektoren mit jeweils ganzzahligen Komponenten eingezeichnet.
y
x
R
Q P
–2 –3 –4 –1 6 5 4 3 2 1 0 7
a
b
c
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche der nachstehenden Aussagen wahr ist/sind!
• Es gibt ein t ∈ ℝ , sodass gilt: Q = P + t · c .
• Es gibt ein t ∈ ℝ , sodass gilt: P = R + t · a .
• Es gibt ein t ∈ ℝ , sodass gilt: R = Q + t · b .
Begründen Sie Ihre Entscheidungen und berechnen Sie gegebenenfalls den entsprechenden
Parameterwert!
Leitfrage:
Erläutern Sie allgemein, warum nicht jede Gerade als Graph einer linearen Funktion f mit f : x ↦ y
aufgefasst werden kann!
Geben Sie sowohl eine Parameterdarstellung als auch eine parameterfreie Gleichung derjenigen
Geraden g an, die durch den Punkt P verläuft, einen der drei eingezeichneten Vektoren als Richtungsvektor hat und nicht als Graph einer linearen Funktion g mit g : x ↦ y aufgefasst werden
kann!

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Punkte und Vektoren
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Vorgehensweise:
Q = P + t · c Der Parameter t kann so gewählt werden, dass der Ausdruck eine wahre Aussage
liefert. Addiert man zu P den 5-fachen Gegenvektor von c , so erhält man Q .
( )
3
1
=
( )
–2
1
– 5 ·
( )
–1
0
⇒ t = –5
P = R + t · a Es gibt kein t , sodass der Ausdruck eine wahre Aussage liefert.
Addiert man zu R Vielfache von a , so kann man dadurch alle Punkte auf der
Geraden x = 1 erzeugen. Diese enthält nicht den Punkt P .
Der Ansatz
( )
–2
1
=
( )
1
2
+ t ·
( )
0
2
führt zur unlösbaren Gleichung –2 = 1 + 0 · t .
R = Q + t · b Der Parameter t kann so gewählt werden, dass der Ausdruck eine wahre Aussage
liefert. Addiert man zu Q den Vektor von
1
2
· b , so erhält man R .
( )
1
2
=
( )
3
1
+ t ·
( )
–4
2
⇒ t =
1
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jeden der drei Ausdrücke korrekt
angegeben und begründet wird, ob ein passender Parameterwert existiert oder nicht existiert, und
dieser gegebenenfalls richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Geraden, die parallel zur y -Achse verlaufen, können nicht als Graph einer linearen Funktion f mit
f : x ↦ y aufgefasst werden, da Geraden dieser Art Zuordnungen beschreiben, bei denen einem
x -Wert mehrere (unendlich viele) y -Werte zugeordnet werden. Funktionen beschreiben hingegen
eindeutige Zuordnungen, bei denen jedem x -Wert aus dem Definitionsbereich genau ein y -Wert
aus dem Wertebereich zugeordnet wird.
g : X = P + t · a mit t ∈ ℝ
g : X =
( )
–2
1
+ t ·
( )
0
2
mit t ∈ ℝ
g : x = –2
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn (sinngemäß) korrekt erläutert wird, warum
Geraden, die parallel zur y -Achse verlaufen, nicht als Graph einer linearen Funktion aufgefasst
werden können, und beide Formen der Geraden g korrekt angegeben werden.
Äquivalente Darstellungen sind als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Polynomfunktionen
Für die Polynomfunktionen f und g gilt:
• f hat genau zwei Nullstellen, genau drei lokale Extremstellen und genau zwei Wendestellen.
• g hat genau eine Nullstelle, keine lokale Extremstelle und genau eine Wendestelle.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in den nachstehenden Koordinatensystemen jeweils einen möglichen Graphen der
Funktionen f und g so, dass die genannten Eigenschaften ersichtlich sind, und markieren Sie alle
Wendepunkte!
f ( x )
x
g ( x )
x
Leitfrage:
Geben Sie jeweils den kleinstmöglichen Grad n
f
bzw. n
g
der Polynomfunktionen f und g an, sodass die oben genannten Eigenschaften erfüllt sind, und begründen Sie Ihre Aussage!
Geben Sie an, ob die Funktion g auch vom Grad n
g
+ 1 sein kann, und begründen Sie Ihre
Aussage!

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Polynomfunktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Graphen für f und g :
f ( x )
x
f
g ( x )
x
g
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die beiden skizzierten Graphen die
angegebenen Eigenschaften aufweisen und die Wendepunkte korrekt markiert werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Eine Polynomfunktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen, höchstens n – 1 lokale Extremstellen und höchstens n – 2 Wendestellen haben.
Da f zwei Wendestellen hat, muss f mindestens den Grad vier haben.
Da g eine Wendestelle hat, muss g mindestens den Grad drei haben.
Der Grad vier kommt für g nicht in Frage, da eine Polynomfunktion vom Grad vier mindestens
eine lokale Extremstelle hat.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der minimale Grad beider Funktionen korrekt
angegeben und begründet wird sowie eine (sinngemäß) korrekte Begründung angegeben wird,
warum der Grad vier für g nicht in Frage kommt.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Bestimmtes Integral
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f mit f ( x ) = – x
2
+ 2 ∙ x .
f ( x )
x
f
0 2 1 –1 –2 –3 3
–2
–3
2
1
0
–1
3
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term zur Berechnung des Inhalts derjenigen Fläche an, die vom Graphen der
Funktion f und der x -Achse begrenzt wird, und berechnen Sie diesen!
Leitfrage:
Ergänzen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion g mit g ( x ) = 2 ∙ x – 1!
Für a =

3 gilt:
∫
a
0
[ f ( x ) – g ( x )] d x = 0.
Erläutern Sie den durch diese Gleichung beschriebenen Sachverhalt mithilfe der nachstehenden
Abbildung!
f ( x )
x
0 2 1 –1 –2 –3 3
–2
–3
2
1
0
–1
3
f
, g ( x )
Erläutern Sie, wie sich eine Vergrößerung von a auf den Wert des angegebenen bestimmten Integrals auswirkt!

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Bestimmtes Integral
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
∫
2
0
(– x
2
+ 2 ∙ x ) d x = (–
x
3
3
+ x
2
)|
2
0
=
4
3
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x -Achse begrenzt wird, beträgt
4
3
Flächeneinheiten.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term angegeben und
der gesuchte Flächeninhalt richtig berechnet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ), g ( x ) g
x
f
A
2 A
1
0 2 1 –1 –2 –3 3
–2
–3
2
1
0
–1
3

a = 3
Die beiden Funktionsgraphen begrenzen im Intervall [0;

3] zwei gleich große Flächen A
1
und A
2
,
die sich „gegenseitig aufheben“, weil der Graph von g einmal unterhalb, dann oberhalb des Graphen von f verläuft.
Eine weitere Vergrößerung von a bewirkt eine Vergrößerung von A
2
, sodass das bestimmte Integral kleiner und damit negativ wird.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Graph von g korrekt eingezeichnet und
der Sachverhalt erläutert sowie die Auswirkung einer Vergrößerung von a (sinngemäß) korrekt
erläutert wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Außentemperatur
Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird die Außentemperatur T gemessen.
Dabei gibt T ( t ) die Außentemperatur in °C nach t Stunden an.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche beiden der nachstehenden Interpretationen sich aus der Gleichung
T (5) – T (0)
5
= –2 korrekt schlussfolgern lassen, und begründen Sie Ihre Antwort!
1 Zum Zeitpunkt t = 5 ist es um 10 °C kälter als zum Zeitpunkt t = 0.
2 Die momentane Änderungsrate der Temperatur beträgt zu jedem Zeitpunkt –2 °C pro Stunde.
3 Die Temperatur nimmt im Zeitintervall [0; 5] um durchschnittlich 2 °C pro Stunde ab.
4 Die Temperatur nimmt im Zeitintervall [0; 5] pro Stunde um exakt 2 °C ab.
5 Die Durchschnittstemperatur in den ersten fünf Stunden beträgt –2 °C.
Leitfrage:
Geben Sie an, welcher Funktionstyp für die Modellierung des Temperaturverlaufs gewählt werden
müsste, damit alle fünf oben angeführten Aussagen auf jeden Fall richtig sind!
Begründen Sie Ihre Entscheidung!

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Außentemperatur
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Nur die Interpretationen 1 und 3 lassen sich aus der gegebenen Gleichung korrekt schlussfolgern.
Die gegebene Gleichung bedeutet, dass die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Intervall [0; 5] –2 °C pro Stunde beträgt. Somit nimmt die Temperatur im Mittel um 2 °C pro Stunde
ab und fällt insgesamt um 5 ∙ 2 = 10 °C.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn erkannt wird, dass sich ausschließlich
die Interpretationen 1 und 3 eindeutig schlussfolgern lassen, und dies korrekt begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Damit alle fünf Aussagen auf jeden Fall richtig sind, ist eine lineare Funktion (mit k = –2 und d = 3)
zu wählen.
Da bei einer linearen Funktion die momentane Änderungsrate konstant ist (und somit der mittleren Änderungsrate in einem beliebigen Intervall entspricht), sind im Falle einer linearen Abnahme
Aussage 2 und Aussage 4 richtig.
Wenn die Temperatur im Zeitintervall [0; 5] linear von +3 °C auf –7 °C abnimmt, ist auch Aus sage 5 richtig.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Funktionstyp angegeben und
diese Entscheidung korrekt begründet wird.

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Qualitätskontrolle
Ein Produkt wird einer Qualitätskontrolle unterzogen, die aus zwei Prüfverfahren besteht. Das
Produkt wird zuerst einem Prüfverfahren unterzogen, bei dem ein Mangel erfahrungsgemäß in n 1
von 100 Fällen ( n 1 ∈ ℕ ) erkannt wird. Produkte, die das erste Prüfverfahren bestanden haben,
werden einem zweiten Prüfverfahren unterzogen, bei dem ein Mangel erfahrungsgemäß in n 2 von
100 Fällen ( n 2 ∈ ℕ ) erkannt wird. Die beiden Prüfverfahren sind voneinander unabhängig.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein mangelhaftes Produkt bei dieser
Qualitätskontrolle als solches erkannt wird, und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Beim ersten Prüfverfahren werden erfahrungsgemäß 95 % der mangelhaften Produkte erkannt.
Berechnen Sie, wie groß n
2
sein muss, damit ein mangelhaftes Produkt bei der Qualitätskontrolle
mit 99,9%iger Wahrscheinlichkeit als solches erkannt wird!

Kompensationsprüfung 2 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Qualitätskontrolle
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Möglicher Term:
n
1
100
+
(
1 –
n
1
100
)
∙
n
2
100
Der Mangel wird beim ersten Prüfverfahren mit der Wahrscheinlichkeit
n
1
100
erkannt.
Der zweite Summand gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Mangel nicht beim ersten Prüfverfahren, sondern beim zweiten Prüfverfahren erkannt wird.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term zur Berechnung
der gesuchten Wahrscheinlichkeit angegeben und eine (sinngemäß) korrekte Vorgehensweise
erklärt wird. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten (beispielsweise die Berechnung mithilfe
der Gegenwahrscheinlichkeit: 1 –
(
1 –
100 – n
1
100
∙
100 – n
2
100
)
und eine entsprechende Erklärung
der Vorgehensweise).
Lösungserwartung zur Leitfrage:
0,95 + 0,05 ∙
n
2
100
= 0,999
⇒ n
2
= 98
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert von n
2
richtig berechnet wird.