Kompensationsprüfung Mathematik – September/Oktober 2017 · AHS · Kompi 1

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Oktober 2017
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden in ℝ
3
Gegeben ist eine Parameterdarstellung der Geraden g :
X =
( )
1
2
–5
+ t ·
( )
0
2
0
mit t ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Weiters ist ein Punkt P =
( )
p 1
–4
p 3
mit p 1 , p 3 ∈ ℝ gegeben.
Geben Sie p 1 und p 3 so an, dass der Punkt P auf der Geraden g liegt!
Leitfrage:
Geben Sie an, wie die Gerade g in Bezug zur x -, y - und z -Achse jeweils liegt (parallel, identisch,
schneidend bzw. windschief), und begründen Sie Ihre Aussagen!
Weiters ist die Parameterdarstellung der Geraden h in Abhängigkeit von a 1 , a 2 , a 3
(mit a 1 , a 2 , a 3 ∈ ℝ ) gegeben:
X =
( )
1
2
–5
+ s ·
( )
a 1
a 2
a 3
mit s ∈ ℝ
Geben Sie an, welche Bedingungen a 1 , a 2 und a 3 erfüllen müssen, damit die Geraden g und h
auf einander normal stehen!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden in ℝ
3
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
p 1 = 1
p 3 = –5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Werte korrekt angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Begründungen:
Die Gerade g ist parallel zur y -Achse, weil der Richtungsvektor von g ein Vielfaches vom
Vektor
( )
0
1
0
ist und der Punkt
( )
1
2
–5
nicht auf der y -Achse liegt.
Da die Gerade g zur y -Achse parallel ist und der Punkt
( )
1
2
–5
weder in der xy -Ebene noch in der
yz -Ebene liegt, ist g windschief zur x -Achse und zur z -Achse.
Aus
( )
0
2
0
·
( )
a 1
a 2
a 3
= 0 folgt, dass a 1 und a 3 frei wählbar sind und a 2 = 0 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Lagebeziehungen zwischen der Geraden g und den Koordinatenachsen korrekt angegeben und der Lösungserwartung (sinngemäß)
entsprechend begründet werden (wobei eine korrekte Argumentation mithilfe von Schrägriss skizzen zulässig ist) sowie korrekte Bedingungen für a 1 , a 2 und a 3 angegeben werden.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Temperaturabnahme
Die Temperaturabnahme in einer Wand mit der Dicke D (in cm), an deren Innen- bzw. Außenseite
die Temperaturen T
i
bzw. T
a
(in °C) herrschen, kann mithilfe einer linearen Funktion T mit
T ( e ) = k ∙ e + d modelliert werden. Dabei ist T ( e ) die Temperatur in °C im Abstand e (0 ≤ e ≤ D ,
e in cm) von der Wandinnenseite.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Parameter k und d der Gleichung der linearen Funktion T für eine Wand mit
D = 40, T
i
= 25 und T
a
= 5.
k =
d =
Leitfrage:
Erläutern Sie die Bedeutung der von Ihnen ermittelten Parameter k und d unter Angabe der korrekten Maßeinheiten im gegebenen Kontext!
Geben Sie sowohl für den Parameter k als auch für die Temperatur T
a
jeweils einen möglichen
Wert an, wenn D = 40 cm, T
i
< T
a
und d = 20 gilt! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Temperaturabnahme
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
T ( e ) = k ∙ e + d
T (0) = 25 ⇒ d = 25
5 = k ∙ 40 + 25 ⇒ k = – 0,5
T ( e ) = – 0,5 ∙ e + 25
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Parameter k und d korrekt ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
d = 25 ⇒ Die Temperatur an der Wandinnenseite beträgt 25 °C.
k = – 0,5 ⇒ Die Temperatur nimmt pro cm (Wand) um 0,5 °C ab.
Mögliche Vorgehensweise:
d = 20 = T
i
⇒ z. B. T
a
= 30; Temperaturunterschied zwischen Wandinnenseite und Wandaußenseite beträgt 10 ⇒ k = 0,25, somit ändert sich die Temperatur um 0,25 °C pro cm.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Bedeutung der Parameter k und d unter
Angabe der Maßeinheiten korrekt erläutert wird und mögliche Werte für k und T
a
angegeben
werden. Die Vorgehensweise muss nachvollziehbar erläutert werden, wobei jedenfalls für T
a
ein
Wert größer 20 gewählt werden muss.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Wachstum einer Pflanze
In einem Gewächshaus wird das Wachstum einer Pflanze unter kontrollierten Bedingungen über
einen Zeitraum von 20 Wochen beobachtet. Zu Beginn der Beobachtung weist die Pflanze eine
Höhe von 10 cm auf. Innerhalb der ersten 5 Wochen wird festgestellt, dass die Höhe der Pflanze
pro Woche um 15 % zunimmt. Nach Ablauf der ersten 5 Wochen ändern sich die Bedingungen
im Gewächshaus.
Aufgabenstellung:
Die Pflanzenhöhe innerhalb der ersten 5 Wochen kann durch die Funktion f modelliert werden.
Dabei gibt f ( t ) die Höhe der Pflanze in cm t Wochen nach Beobachtungsbeginn an.
Geben Sie eine Gleichung der Funktion f an und berechnen Sie die Höhe der Pflanze 5 Wochen
nach Beobachtungsbeginn!
Leitfrage:
In der nachstehenden Tabelle ist die Höhe der Pflanze zu einigen weiteren Zeitpunkten angegeben.
Anzahl der vergangenen Wochen
(seit Beobachtungsbeginn)
Höhe der Pflanze
(in cm, gerundet auf mm)
7 22,7
11 25,2
20 29,8
Gerhard behauptet, dass gemäß den vorliegenden Daten das Wachstum der Pflanze nach
Ablauf der ersten 5 Wochen nicht mehr exponentiell erfolgt.
Geben Sie an, ob diese Aussage richtig oder falsch ist, und begründen Sie mithilfe einer passenden Berechnung Ihre Entscheidung!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Wachstum einer Pflanze
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f ( t ) = 10 ∙ 1,15
t
f (5) = 10 ∙ 1,15
5
≈ 20,1
Nach 5 Wochen beträgt die Höhe der Pflanze ca. 20,1 cm.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung für f angegeben und die Höhe der Pflanze nach 5 Wochen korrekt berechnet wird.
Toleranzintervall: [20,0 cm; 20,2 cm]
Äquivalente Gleichungen für f (z. B. in der Form f ( t ) = 10 ∙ ℯ
0,13976... ∙ t
) sind ebenfalls als richtig zu
werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Gerhards Aussage ist richtig, da nach Ablauf der ersten 5 Wochen keine konstanten wöchentlichen Wachstumsraten (insbesondere keine 15%ige Wachstumsrate) vorliegen.
Mögliche Berechnung:
Der prozentuelle Zuwachs (relative Änderung) pro Woche beträgt ...
• im Zeitintervall [5; 7]:
22,7
20,1

= 1,0627... ⇒ wöchentliche Wachstumsrate: ca. 6,3 %
• im Zeitintervall [7; 11]:
4 25,2
22,7

= 1,0264... ⇒ wöchentliche Wachstumsrate: ca. 2,6 %
• im Zeitintervall [11; 20]:
29,8
25,2

9
= 1,0188... ⇒ wöchentliche Wachstumsrate: ca. 1,9 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Richtigkeit der Aussage angegeben und
durch eine Berechnung korrekt begründet wird.
Andere korrekte Begründungen (die sich auf eine passende Berechnung stützen) sind ebenfalls
als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Wandfläche
Eine Wandfläche hat drei geradlinige Berandungen, die durch die x -Achse, die senkrechte Achse und die Gerade mit der Gleichung x = 10 modelliert werden können. Die vierte Grenze kann
durch eine Polynomfunktion f zweiten Grades mit der Gleichung f ( x ) = –0,04 · x
2
+ 0,4 · x + 3
modelliert werden. Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf der Grenzen dieser
Wand (Maße in Metern).
f ( x )
f
x
8 6 4 2 0 10
3
2
1
4
0
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Stammfunktion F von f an und bestimmen Sie den Inhalt der Wandfläche mithilfe
dieser Stammfunktion!
Leitfrage:
Die Wandfläche soll in Teilbereichen mit unterschiedlichen Farben bemalt werden.
Variante 1:
Die Wandfläche soll durch zwei zur senkrechten Achse parallele Geraden in drei flächengleiche
Teile geteilt werden.
Zeigen Sie, dass die erste Gerade die Gleichung x = 3,46 hat, und geben Sie die Gleichung der
zweiten Geraden an!
Variante 2:
Die Wandfläche soll durch eine zur x -Achse parallele Gerade in der Höhe h in zwei flächengleiche
Teile geteilt werden.
Berechnen Sie h !

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Wandfläche
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
mögliche Stammfunktion: F ( x ) = –
0,04 · x
3
3
+ 0,2 · x
2
+ 3 · x
F (10) – F (0) =
110
3
≈ 36,67 ⇒ Der Inhalt der Wandfläche beträgt ca. 36,67 m
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine Stammfunktion F von f korrekt
angegeben und der Inhalt der Wandfläche mithilfe dieser Stammfunktion korrekt bestimmt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Variante 1:
∫
3,46
0
f ( x ) d x =
110
9
und dies entspricht einem Drittel der oben berechneten Wandfläche.
Gleichung der zweiten Geraden: x = 10 – 3,46 bzw. x = 6,54
Variante 2:
10 ∙ h =
110
6
⇒ h =
11
6
≈ 1,83
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für Variante 1 ein korrekter Nachweis und
eine richtige Gleichung der zweiten Geraden angegeben werden sowie für Variante 2 die Höhe h
richtig berechnet wird.
Toleranzintervall für die zweite senkrechte Gerade: [6,5; 6,6]
Toleranzintervall für die Höhe h : [1,8; 1,9]

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Multiple-Choice-Test
Bei einem Multiple-Choice-Test mit zehn Aufgaben gibt es jeweils fünf Antwortmöglichkeiten, von
denen immer genau eine Antwort richtig ist.
Patrick muss raten und kreuzt bei jeder Aufgabe willkürlich eine der Antwortmöglichkeiten an.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie jeden Summanden des Ausdrucks 1 – (0,8
8
∙ 0,2
2
∙ 45 + 0,8
9
∙ 0,2 ∙ 10 + 0,8
10
)
im gegebenen Kontext und geben Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit diesem Ausdruck berechnet wird!
Leitfrage:
Zum Bestehen des Tests muss mehr als die Hälfte der Aufgaben richtig gelöst werden.
Yvonne löst vier Aufgaben richtig, bei den restlichen Aufgaben muss sie raten und kreuzt jeweils
willkürlich eine Antwortmöglichkeit an.
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Yvonne den Test besteht,
und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 1 / Oktober 2017 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Multiple-Choice-Test
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Wahrscheinlichkeit, eine Aufgabe richtig zu lösen, beträgt 0,2.
Der Summand 0,8
8
∙ 0,2
2
∙ 45 gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau zwei Fragen richtig zu
beant worten, der mittlere Summand gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau eine Frage richtig zu
beantworten und der Summand 0,8
10
gibt die Wahrscheinlichkeit an, keine Frage richtig zu beantworten.
Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit diesem Ausdruck berechnet wird, lautet:
Patrick löst mindestens drei Aufgaben richtig.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn jeder Summand (sinngemäß) korrekt
interpretiert und das Ereignis (sinngemäß) korrekt angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
1 – (0,8
5
∙ 0,2 ∙ 6 + 0,8
6
)
Yvonne besteht den Test, wenn sie bei mindestens zwei der sechs restlichen Aufgaben die richtige Antwort ankreuzt.
Die Berechnung kann mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erfolgen:
1 – ( P („eine richtige Antwort“) + P („keine richtige Antwort“))
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term angegeben und eine korrekte Vorgehensweise erklärt wird. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.