Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2017 · AHS · Kompi 8

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2017
Mathematik
Kompensationsprüfung 8
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Zwei Türme
Auf einem waagrechten Platz stehen 100 m voneinander entfernt zwei senkrechte Türme. Der
höhere Turm ist 80 m hoch, der niedrigere Turm ist 60 m hoch.
Je nach Einfallswinkel der Sonnenstrahlen sind die Schatten, die die beiden Türme werfen, unter
schiedlich lang. Als Einfallswinkel der Sonnenstrahlen wird derjenige Winkel bezeichnet, den die
Sonnenstrahlen mit der waagrechten Ebene einschließen.
Aufgabenstellung:
Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so am Himmel, dass der Schatten, den der hö
here Turm wirft, genau bis zum Fußpunkt des niedrigeren Turms reicht.
Geben Sie an, wie groß der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen in diesem Fall sein muss!
Leitfrage:
Man vergleicht die Länge des Schattens S H des höheren Turms in der Ebene mit der Länge des
Schattens S N des niedrigeren Turms in der Ebene.
Berechnen Sie das Verhältnis
S H
S
N
und zeigen Sie, dass dieses Verhältnis vom Einfallswinkel der Son
nenstrahlen unabhängig ist!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Zwei Türme
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
tan( α ) =
80
100
= 0,8 ⇒ α ≈ 38,66°
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Winkel richtig angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
S H =
80
tan( α )
; S N =
60
tan( α )
⇒
S
H
S N
=
80
60
=
4
3
Bei der Division S H : S N fällt tan( α ) weg und somit ist
S
H
S N
vom Einfallswinkel unabhängig.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn das Verhältnis richtig berechnet und eine
korrekte Erklärung angegeben wird.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Formel
Gegeben ist die Formel E =
a · b
2
c
+ d mit a , b , d ∈ ℝ
0
+
und c ∈ ℝ
+
.
Diese Formel kann als Darstellung einer Funktion E in Abhängigkeit von einer der Variablen a , b , c
oder d interpretiert werden, sofern die anderen drei Variablen mit Werten belegt und somit kons
tant sind.
Aufgabenstellung:
Bei der Funktion Ed mit d ↦
a · b
2
c
+ d handelt es sich um eine lineare Funktion. Geben Sie für
diese lineare Funktion die Steigung des Graphen und seinen Schnittpunkt S mit der senkrechten
Achse an!
k =
S = ( | )
Leitfrage:
Für die Bearbeitung der nachstehenden Fragestellung gilt: d = 0.
Ea : a ↦
a · b
2
c
Eb : b ↦
a · b
2
c
Ec : c ↦
a · b
2
c
Geben Sie jeweils den Funktionstyp der reellen Funktionen Ea , Eb und E c an und skizzieren Sie für
jede dieser Funktionen einen möglichen Graphen!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Formel
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
k = 1 und S =
(
0
|
a · b
2
c
)
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn k und S korrekt angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
E
a
ist eine (homogene) lineare Funktion.
E
b
ist eine Potenzfunktion der Form f ( x ) = a ∙ x
z
mit z = 2 (quadratische Funktion).
E
c
ist eine Potenzfunktion der Form f ( x ) =
a
x
(gebrochen rationale Funktion).
Mögliche Skizze:
E
c E
b
E
a
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle drei Funktionstypen korrekt angegeben
und jeweils mögliche Graphen korrekt skizziert werden.
Die Graphen der Funktionen Ea und Eb müssen jedenfalls durch den Ursprung verlaufen und Ec
darf keine Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen aufweisen.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Exponentialfunktion
Von einer Exponentialfunktion f ist die nachstehende Wertetabelle gegeben:
x 0 1 3 5
f ( x ) 12 3
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die beiden fehlenden Funktionswerte und geben Sie die Funktionsgleichung von f in
der Form f ( x ) = a · b
x
mit a , b ∈ ℝ
+
an!
Leitfrage:
Zusätzlich zu der in der Aufgabenstellung angegebenen Form f ( x ) = a · b
x
ist auch die Schreib
weise f ( x ) = c · ℯ
d · x
(mit a , b , c ∈ ℝ
+
und d ∈ ℝ , d ≠ 0) gebräuchlich.
Geben Sie an, wie die Parameter a , b , c , d der beiden (Darstellungs )Formen zusammenhängen!
Erklären Sie die Wirkung der Parameterwerte c und d auf die Monotonie der Funktion!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Exponentialfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
x 0 1 3 5
f ( x ) 24 12 3 0,75
f ( x ) = 24 · 0,5
x
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Funktionswerte richtig ergänzt
werden und eine korrekte Funktionsgleichung angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Es gelten folgende Zusammenhänge:
a = c
b = ℯ
d
bzw. d = ln( b )
Der Parameter c bestimmt den Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse.
Da c ∈ ℝ
+
ist, gilt: Der Graph von f ist (streng) monoton steigend, falls d > 0 ist.
Der Graph von f ist (streng) monoton fallend, falls d < 0 ist.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Zusammenhänge zwischen den Parame
tern korrekt angegeben werden und die Wirkung der Parameter c und d der Lösungserwartung
entsprechend erklärt wird.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Zurückgelegter Weg
Ein Fahrzeug wird im Zeitintervall [0; 10] aus dem Stand gleichmäßig beschleunigt. Dabei be
schreibt v ( t ) die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (in m/s) zum Zeitpunkt t (in s).
Aufgabenstellung:
Mit welchem der nachstehenden Terme kann die Länge des im Zeitintervall [0; 10] zurückgeleg
ten Weges näherungsweise berechnet werden? Geben Sie denjenigen Term an, der am besten
geeignet ist, und begründen Sie, warum die anderen beiden Terme nicht geeignet sind.
a) v (0) · 10
b) [ v (0) + v (2) + v (4) + v (6) + v (8)] · 2
c) [ v (0) + v (1) + v (2) + ... + v (8) + v (9)] · 10
Leitfrage:
Geben Sie an, ob der im Zeitintervall [0; 10] vom Fahrzeug tatsächlich zurückgelegte Weg klei
ner oder größer als der am besten geeignete Näherungswert aus der Aufgabenstellung ist, und
begründen Sie Ihre Entscheidung!
Beschreiben Sie eine Vorgehensweise, mit der der Näherungswert für den zurückgelegten Weg
verbessert werden kann, und geben Sie einen Ausdruck unter Verwendung von v ( t ) zur Berech
nung des exakten Wertes an!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Zurückgelegter Weg
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Begründungen:
a) Der Term ist nicht geeignet, weil das Fahrzeug aus dem Stand beschleunigt wird, also
v (0) = 0 gilt. Somit ist auch der Näherungswert für den zurückgelegten Weg gleich null.
b) Der Term ist geeignet, da das Zeitintervall [0; 10] in fünf Intervalle der Länge 2 unterteilt wird
und die fünf Näherungswerte für den zurückgelegten Weg in diesen Intervallen aufsummiert
werden.
c) Der Term ist nicht geeignet. Da das Zeitintervall [0; 10] in zehn Intervalle der Länge 1 unterteilt
wird, müsste jeder Geschwindigkeitswert mit dem Faktor 1 (nicht 10) multipliziert werden, um
die zurückgelegte Weglänge zu erhalten.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jeden Term richtig begründet wird,
warum er für die näherungsweise Berechnung des zurückgelegten Weges geeignet bzw. nicht
geeignet ist.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der im Intervall [0; 10] zurückgelegte Weg ist größer als der durch Term b berechnete Näherungs
wert, da in allen Teilintervallen die Geschwindigkeit zu Beginn des Intervalls für die Berechnung
der Weglänge verwendet wird. Da das Fahrzeug gleichmäßig beschleunigt wird, nimmt die Ge
schwindigkeit in jedem der fünf Teilintervalle zu. (Der gegebene Ausdruck entspricht somit der
„Untersumme“.)
In je mehr (gleich lange) Teilintervalle das Intervall [0; 10] unterteilt wird, desto genauer wird der
Näherungswert für den zurückgelegten Weg.
möglicher Ausdruck:
∫
10
0
v ( t ) d t
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn (sinngemäß) korrekt begründet wird, warum
der tatsächlich zurückgelegte Weg größer als der durch Term b berechnete Näherungswert ist.
Weiters ist eine korrekte Vorgehensweise zur Verbesserung des Näherungswertes zu beschreiben
und ein korrekter Ausdruck anzugeben.

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Therapieverfahren
Ein medizinisches Therapieverfahren ist im Durchschnitt in vier von fünf Fällen erfolgreich.
Zehn Patienten werden mit diesem Verfahren unabhängig voneinander behandelt.
Aufgabenstellung:
Geben Sie unter Verwendung der Binomialverteilung einen Term zur Berechnung derjenigen Wahr
scheinlichkeit an, dass bei mindestens acht Patienten die Therapie erfolgreich ist, und erläutern
Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Mit den nachstehenden Termen können Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen im gegebenen
Kontext berechnet werden:
• 0,2
10
•
( )
10
2
· 0,8
8
· 0,2
2
• 1 – [0,8
9
· 0,2 · 10 + 0,8
10
]
Formulieren Sie für jeden dieser Terme ein entsprechendes Ereignis!

Kompensationsprüfung 8 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Therapieverfahren
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wahrscheinlichkeit, dass die Therapie bei mindestens 8 Patienten erfolgreich ist:
P („8 Erfolge“) + P („9 Erfolge“) + P („10 Erfolge“)
0,8
8
· 0,2
2
·
( )
10
8
+ 0,8
9
· 0,2 · 10 + 0,8
10
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term angegeben und
eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
• 0,2
10
Die Therapie ist bei keinem der 10 Patienten erfolgreich.
•
( )
10
2
· 0,8
8
· 0,2
2
Die Therapie ist bei genau 8 Patienten erfolgreich (bzw. bei genau 2 Patienten nicht erfolgreich).
• 1 – [0,8
9
· 0,2 · 10 + 0,8
10
]
Die Therapie ist bei höchstens 8 Patienten erfolgreich.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für jeden der drei Terme ein entsprechendes
Ereignis formuliert wird.