Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2017 · AHS · Kompi 1

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Mai 2017
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Zahlenmengen
Gegeben sind vier Zahlen und fünf Zahlenmengen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie in der nachstehenden Tabelle für jede Zahl all jene Mengen an, in denen diese Zahl
liegt! Begründen Sie für die Zahl π Ihre Entscheidung!
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
–5
2
π

–9
Leitfrage:
Jede ungerade natürliche Zahl n lässt sich durch den Ausdruck n = 2 ∙ k + 1 mit k ∈ ℕ
beschreiben.
Es gilt: „Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist wieder eine ungerade Zahl.“
Begründen Sie die Gültigkeit dieser Aussage!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Zahlenmengen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
–5 x x x x
2 x x x x x
π x x

–9
x
Die Zahl π ist irrational.
Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden
können.
Daher sind diese Zahlen nicht in der Menge der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen ent
halten.
Weiters gilt: ℝ ⊂ ℂ . Die Zahl π ist somit Element von ℝ und ℂ .
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die jeweils laut Lösungs
erwartung richtigen Mengen angekreuzt sind und die Entscheidung für die Zahl π (sinngemäß)
korrekt begründet wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Begründung:
n
2
= (2 ∙ k + 1)
2
= 4 ∙ k
2
+ 4 ∙ k + 1
Der Term 4 ∙ k
2
+ 4 ∙ k + 1 gibt eine ungerade Zahl an, da sowohl 4 ∙ k
2
als auch 4 ∙ k gerade
Zahlen beschreiben, somit deren Summe gerade ist und die Addition von 1 damit eine ungerade
Zahl ergibt.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Begründung angegeben wird,
wobei aus der angeführten Begründung hervorgehen muss, dass die Aussage für alle ungeraden
natürlichen Zahlen gültig ist.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Chemisches Experiment
Bei einem chemischen Experiment wird ein Stoff erwärmt. Der Temperaturverlauf kann mithilfe
einer linearen Funktion T
1
modelliert werden. Dabei ist T
1
( t ) diejenige Temperatur in °C, die t Sekun
den nach Beginn des Experiments gemessen wird.
Nachstehend sind drei Messwerte gegeben.
t 1 3 10
T
1
( t ) 2 6 20
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der linearen Funktion T
1
an!
Leitfrage:
Ist die Höchsttemperatur von 100 °C erreicht, so beginnt die Abkühlungsphase. Die Temperatur
abnahme kann mithilfe einer linearen Funktion T
2
modelliert werden. Dabei ist T
2
( t ) diejenige Tem
peratur in °C, die t Sekunden nach Beginn der Abkühlungsphase gemessen wird.
Geben Sie eine Gleichung der linearen Funktion T
2
an, wenn die Abkühlung doppelt so schnell
wie die Erwärmung erfolgt!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Chemisches Experiment
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
T
1
( t ) = 2 ∙ t
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung der Funkti
on T
1
angegeben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
T
2
( t ) = 100 – 4 ∙ t
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung der Funktion T
2
an
gegeben wird. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Funktionsgraphen
Für die Funktionen f
1
und f
2
mit den Gleichungen f
1
( x ) = a ∙ c
x
und f
2
( x ) = b ∙ d
x
gilt:
Die Parameter a , b , c , d sind positive reelle Zahlen mit: a < b und c > 1 und 0 < d < 1.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem jeweils einen möglichen Graphen von f 1 und
f 2 und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!
f
1
( x ), f
2
( x )
x
Leitfrage:
Die Funktion f 1 beschreibt die Entwicklung einer Größe in Abhängigkeit von der Zeit.
Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der Verdoppelungszeit x τ der Funktion f 1 her!
Geben Sie zu jeder der nachstehenden Aussagen an, ob sie richtig oder falsch ist!
a) Eine Halbierung des Parameters a bewirkt immer eine Halbierung der Verdoppelungszeit.
b) Eine Verdoppelung des Parameters c bewirkt immer eine Halbierung der Verdoppelungszeit.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Funktionsgraphen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f
1
( x ), f
2
( x )
f
1
f
2 x
Die Funktion f
1
ist eine (streng) monoton steigende Exponentialfunktion, da c > 1 ist.
Die Funktion f
2
ist eine (streng) monoton fallende Exponentialfunktion, da 0 < d < 1 gilt.
Die Parameter a und b bestimmen die jeweiligen Schnittpunkte der beiden Graphen mit der senk
rechten Achse.
Da a < b gilt, schneidet der Graph von f
1
die senkrechte Achse näher beim Koordinatenursprung
als der Graph von f
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Funktionen mögliche Gra
phen korrekt skizziert werden und eine korrekte Vorgehensweise erklärt wird.
Die Graphen müssen die in der Lösungserwartung genannten Eigenschaften aufweisen und dür
fen weder Nullstellen noch lokale Extrema haben.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
2 · a = a ∙ c
x τ
2 = c
x τ
x τ =
ln(2)
ln( c )
= log c (2)
Beide Aussagen sind falsch.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Formel für die Verdoppelungs
zeit hergeleitet wird und beide Aussagen als falsch erkannt werden.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Integral
Gegeben ist die lineare Funktion f mit f ( x ) = –
1
2
· x + 1.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung derjenigen Stammfunktion F der Funktion f an, für die F (2) = 2 gilt!
Leitfrage:
Ermitteln Sie den Wert des bestimmten Integrals
∫
4
–2
f ( x ) d x !
Stellen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion f dar und erklären
Sie anhand des Graphen, warum in diesem Fall
∫
4
–2
f ( x ) d x =
∫
0
–2
f ( x ) d x gilt!
f ( x )
x
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Integral
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Für alle Stammfunktionen gilt: F ( x ) = –
1
4
· x
2
+ x + c
F (2) = 2 ⇒ c = 1
F ( x ) = –
1
4
· x
2
+ x + 1
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Gleichung von F ange
geben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
∫
4
–2
f ( x ) d x = 3
A
[0; 2]
= +1
A
[2; 4]
= |–1|
f ( x )
x
f
0 3 2 1 4 –2 –3 –4 –1
0
4
3
2
1
5
–2
–3
–4
–5
–1
Mögliche Erklärung:
Die Flächenstücke, die vom Graphen von f mit der x Achse eingeschlossen werden, sind im
Intervall [0; 2] und [2; 4] gleich groß.
Es gilt:
∫
2
0
f ( x ) d x = 1
}
⇒
∫
4
0
f ( x ) d x = 0 ⇒
∫
4
–2
f ( x ) d x =
∫
0
–2
f ( x ) d x
∫
4
2
f ( x ) d x = –1
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des Integrals korrekt ermittelt, der
Graph von f richtig dargestellt und eine korrekte Erklärung, warum
∫
4
–2
f ( x ) d x =
∫
0
–2
f ( x ) d x gilt, an
gegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Schaltungen
In dieser Aufgabe angegebene Schaltungen bestehen aus Bauteilen vom Typ A und/oder Typ B .
Ein Bauteil vom Typ A hat eine Ausfallwahrscheinlichkeit a und ein Bauteil vom Typ B hat eine
Ausfallwahrscheinlichkeit b , wobei man davon ausgehen kann, dass alle Bauteile unabhängig
voneinander funktionieren.
Eine Serienschaltung zweier Bauteile (wie nachstehend abgebildet) funktioniert, wenn beide Bau
teile funktionieren.
B A
(Abb. 1)
Eine Parallelschaltung zweier Bauteile (wie nachstehend abgebildet) funktioniert, wenn mindes
tens einer der beiden Bauteile funktioniert.
A
B
(Abb. 2)
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass eine Serienschaltung der
Bauteile vom Typ A und vom Typ B (siehe Abb. 1) funktioniert!
Geben Sie weiters einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass eine Parallelschal
tung der Bauteile vom Typ A und vom Typ B (siehe Abb. 2) funktioniert!
Leitfrage:
Durch eine Parallelschaltung zweier Bauteile vom Typ A entsteht ein Bauteil vom Typ C .
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass eine Serienschaltung der
Bauteile vom Typ A und vom Typ C (siehe Abb. 3) funktioniert, und erläutern Sie Ihre Vorgehens
weise!
A
A
A
C
(Abb. 3)
Für den Bauteil vom Typ C gibt Lena folgenden Term an: a ∙ (1 – a ) + (1 – a ) ∙ a + a
2
Geben Sie an, welche Wahrscheinlichkeit durch diesen Term beschrieben wird!

Kompensationsprüfung 1 / Mai 2017 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Schaltungen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Wahrscheinlichkeit, dass die beschriebene Serienschaltung funktioniert:
(1 – a ) ∙ (1 – b )
Wahrscheinlichkeit, dass die beschriebene Parallelschaltung funktioniert:
1 – a ∙ b = (1 – a ) ∙ b + a ∙ (1 – b ) + (1 – a ) ∙ (1 – b )
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Schaltungen jeweils ein
korrekter Term angegeben wird. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Ein Bauteil vom Typ A funktioniert mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – a .
Ein Bauteil vom Typ C funktioniert, wenn mindestens einer seiner beiden Bauteile vom Typ A funk
tioniert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil vom Typ C funktioniert, beträgt daher 1 – a
2
.
Die Serienschaltung der Bauteile vom Typ A und vom Typ C funktioniert daher mit einer Wahr
scheinlichkeit von (1 – a ) ∙ (1 – a
2
).
Durch Lenas Term wird die Wahrscheinlichkeit beschrieben, dass mindestens einer der beiden
Bauteile vom Typ A ausfällt.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl ein korrekter Term zur Berechnung
der Wahrscheinlichkeit angegeben und die entsprechende Vorgehensweise (sinngemäß) korrekt
erläutert wird als auch korrekt angegeben wird, welche Wahrscheinlichkeit durch Lenas Term
beschrieben wird.