Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2017 · AHS · Kompi 2

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Jänner 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 2
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Vektoren in der Ebene
Im nachstehenden Koordinatensystem sind zwei Vektoren a und b eingezeichnet.
0 5 4 3 2 1 6 7 –4 –5 –6 –3 –2 –1
0
4
3
2
1
5
6
–3
–4
–2
–1
a
b
x
y
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, wie man den Vektor a – 2 ∙ b grafisch ermitteln kann, zeichnen Sie diesen Vektor
in das Koordinatensystem ein und lesen Sie aus der Grafik die Koordinaten (die Komponenten)
dieses Vektors ab!
Leitfrage:
Geben Sie eine Parameterdarstellung derjenigen Geraden g an, die durch den Ursprung (0|0)
verläuft und den Vektor a – 2 ∙ b als Richtungsvektor hat!
Erläutern Sie die möglichen Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene und geben Sie für
jede dieser Möglichkeiten eine Parameterdarstellung einer Geraden an, die zur Geraden g diese
Lagebeziehung aufweist!

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Vektoren in der Ebene
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Vorgehensweise:
An den Vektor a wird ein Vektor angehängt,
der doppelt so lang wie der Vektor b und
entgegengesetzt orientiert ist.
0 5 4 3 2 1 6 7 –4 –5 –6 –3 –2 –1
0
4
3
2
1
5
6
–3
–4
–2
–1
a
b
y
x
a – 2 b
a – 2 ∙ b =
( )
–3
5
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn (sinngemäß) korrekt angegeben wird,
wie der Vektor grafisch ermittelt werden kann, und der Vektor sowohl korrekt eingezeichnet wird
als auch seine Koordinaten richtig angegeben werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Parameterdarstellung:
g : X =
( )
0
0
+ s ∙
( )
–3
5
(mit s ∈ ℝ )
Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene: identisch, parallel und schneidend
Mögliche Beispiele:
identisch mit g : h : X =
( )
–3
5
+ t ∙
( )
–3
5
(mit t ∈ ℝ )
parallel zu g : k : X =
( )
1
1
+ t ∙
( )
–3
5
(mit t ∈ ℝ )
schneidend mit g : j : X =
( )
0
0
+ t ∙
( )
1
2
(mit t ∈ ℝ )
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Parameterdarstellung für g
angegeben wird, alle möglichen Lagebeziehungen richtig genannt werden und für jede dieser
Lagebeziehungen jeweils eine korrekte Parameterdarstellung einer Geraden angeführt wird.
Andere korrekte Parameterdarstellungen sind als richtig zu werten, wobei der Richtungsvektor
der Geraden j kein Vielfaches von
( )
–3
5
sein darf.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Schwimmbad
Ein Schwimmbecken fasst 36 000 Liter Wasser. Zum Füllen des leeren Beckens wird Wasser über
einen Schlauch zugeleitet. Die zum vollständigen Befüllen notwendige Zeit t (in Sekunden) hängt
von der Durchflussrate x (in Litern/Sekunde) ab.
Aufgabenstellung:
Die Funktion t beschreibt die Abhängigkeit der Füllzeit von der Durchflussrate x .
Geben Sie eine Funktionsgleichung dieser Funktion an und beschreiben Sie den Verlauf des
Graphen!
t ( x ) =
Leitfrage:
Geben Sie jeweils an, welche Bedingung der Parameter a bzw. der Parameter λ einer Exponen
tialfunktion f : ℝ
0
+
→ ℝ mit f ( x ) = a ∙ ℯ
λ ∙ x
erfüllen muss, damit f für alle x ∈ ℝ
+
das gleiche Mono
tonie und Krümmungsverhalten wie die Funktion t zeigt!
Geben Sie weiters an, wodurch sich die Verläufe der Graphen der Funktionen t und f wesentlich
unterscheiden!

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Schwimmbad
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
t ( x ) =
36 000
x
Der Graph von t verläuft asymptotisch zu beiden Achsen, ist streng monoton fallend und linksge
krümmt (positiv gekrümmt).
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Funktionsgleichung richtig an
gegeben wird und der Verlauf des Graphen korrekt beschrieben wird. Eine passende Skizze ist
ebenfalls als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Für den Parameter λ der Exponentialfunktion muss gelten: λ < 0.
Für den Parameter a der Exponentialfunktion muss gelten: a > 0.
Der Graph von f hat einen Schnittpunkt mit der senkrechten Achse.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die jeweilige Bedingung für beide Parameter
richtig angegeben und ein wesentlicher Unterschied im Verlauf der beiden Graphen genannt wird.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Ableitungsfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f ′ zweiten Grades.
Die Funktion f ′ ist die Ableitungsfunktion einer Funktion f .
f ′ ( x )
f ′
x
–2 2 1 3 0 –1
0
2
1
–1
–2
3
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Wendestelle der Funktion f und erläutern Sie das Krümmungsverhalten von f !
Leitfrage:
Die erste Ableitungsfunktion f ′ einer Polynomfunktion f ist durch die Gleichung f ′ ( x ) = x
2
+ c mit
c ∈ ℝ gegeben.
Beschreiben Sie die Abhängigkeit der Anzahl der (lokalen) Extremstellen der Polynomfunktion f
vom Wert des Parameters c und begründen Sie Ihre Aussagen!

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Ableitungsfunktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Wendestelle von f liegt bei x = 0.
Im Intervall (–∞; 0) ist f rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt), da f ′ in diesem Intervall streng mono
ton fallend ist und somit die Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion
in diesem Bereich negativ sind.
Im Intervall (0; ∞) ist f linksgekrümmt (positiv gekrümmt), da f ′ in diesem Intervall streng monoton
steigend ist und somit die Funktionswerte der zweiten Ableitungsfunktion in
diesem Bereich positiv sind.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wendestelle der Funktion f richtig
bestimmt wird und das Krümmungsverhalten (sinngemäß) korrekt erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
c > 0:
Die Gleichung f ′ ( x ) = 0 hat keine reelle Lösung. Die Polynomfunktion f hat somit keine (lokalen)
Extremstellen.
c < 0:
Die Gleichung f ′ ( x ) = 0 hat zwei reelle Lösungen. Die Polynomfunktion f hat somit zwei (lokale)
Extremstellen.
c = 0:
Aus f ′ ( x ) = 0 folgt in diesem Fall x = 0. Da zusätzlich f ″ (0) = 0 gilt, hat die Polynomfunktion f
bei x = 0 eine Wendestelle (mit waagrechter Tangente) und somit keine (lokalen) Extremstellen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Einfluss des Parameters c auf die Anzahl
der Extremstellen der Polynomfunktion f korrekt beschrieben und begründet wird.

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
ICE
In der nachstehenden Abbildung ist der Beschleunigungsvorgang eines Hochgeschwindigkeits
zuges ICE (Intercity Express) dargestellt. Dabei ist die Geschwindigkeit v in Metern pro Sekunde
(m/s) in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden (s) dargestellt. Der Beschleunigungsvorgang
dauert 700 s, die erreichte Endgeschwindigkeit beträgt 92 m/s.
v ( t ) in m/s
v
t in s
650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 700
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit während des Beschleunigungsvor
gangs und interpretieren Sie das Ergebnis im gegebenen Kontext!
Leitfrage:
Geben Sie mithilfe eines bestimmten Integrals einen Ausdruck an, um die während der ersten
500 Sekunden des Beschleunigungsvorgangs zurückgelegte Weglänge (in Metern) berechnen zu
können!
Veranschaulichen Sie diese Weglänge in der obigen Abbildung und geben Sie einen Näherungs
wert für diese Weglänge an! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
ICE
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
v (700) – v (0)
700
=
92
700
≈ 0,13
Mögliche Interpretationen:
• Während des Beschleunigungsvorgangs beträgt die mittlere Beschleunigung ca. 0,13 m/s
2
.
• Die Geschwindigkeit nimmt während des Beschleunigungsvorgangs in jeder Sekunde um
durchschnittlich ca. 0,13 m/s zu.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die mittlere Änderungsrate der Ge
schwindigkeit richtig ermittelt und korrekt interpretiert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Weglänge:
∫
500
0
v ( t ) d t
v ( t ) in m/s
v
t in s
650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 700
80
70
60
50
40
30
20
10
0
90
Die Weglänge beträgt ca. 33 000 m.
Die Weglänge entspricht der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion v und der t Achse im
Zeitintervall [0 s; 500 s]. Die näherungsweise Ermittlung kann beispielsweise mithilfe der Unter
oder Obersumme bzw. durch Abzählen der Rechtecke (wobei ein Rechteck einem Wert von
500 m entspricht) erfolgen.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für die Berechnung der Weglänge ein korrek
ter Ausdruck angegeben, die Weglänge in der Abbildung korrekt veranschaulicht, ein passender
Näherungswert angegeben und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Toleranzintervall für die Weglänge: [28 000 m; 37 000 m]

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Zielscheibe
Bei einem Wettkampf schießen drei Schützen A , B und C von einer Mannschaft auf eine Ziel
scheibe.
Der Schütze A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %, der Schütze B mit einer Wahrschein
lichkeit von 70 % und der Schütze C mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % in das Zentrum der
Zielscheibe.
Aufgabenstellung:
Jeder der drei Schützen schießt genau einmal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass min
destens ein Schütze in das Zentrum der Zielscheibe trifft, und erklären Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Aufgrund der geringen Treffsicherheit des Schützen C beschließt der Trainer der Mannschaft, den
Schützen C durch den Schützen D zu ersetzen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der drei Schützen A , B und D (bei einmaligem Schießen
jedes Schützen) in das Zentrum der Zielscheibe trifft, liegt bei 20,4 %.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze D in das Zentrum der Zielscheibe trifft!

Kompensationsprüfung 2 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Zielscheibe
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
1 – 0,2 ∙ 0,3 ∙ 0,7 = 0,958 = 95,8 %
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schütze in das Zentrum der Zielscheibe trifft, kann
mithilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (keiner der Schützen trifft in das Zentrum
der Zielscheibe) berechnet werden.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig be
rechnet und eine korrekte Vorgehensweise erklärt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen D wird mit x bezeichnet:
0,8 ∙ 0,3 ∙ (1 – x ) + 0,2 ∙ 0,7 ∙ (1 – x ) + 0,2 ∙ 0,3 ∙ x = 0,204
x = 0,55 = 55 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.