Kompensationsprüfung Mathematik – Jänner/Februar 2017 · AHS · Kompi 1

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Jänner 2018
Mathematik
Kompensationsprüfung 1
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden
Gegeben sind die Parameterdarstellung einer Geraden g sowie die Gleichungen von drei weiteren
Geraden g
1
, g
2
, g
3
.
g : X =
( )
2
3
+ s ·
( )
3
1
mit s ∈ ℝ
g
1
: 3 · x + y = 9
g
2
: y = –3 · x + 10
g
3
: x – 3 · y = –7
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche der Geraden g
1
, g
2
, g
3
mit der Geraden g einen rechten Winkel einschlie
ßen, und begründen Sie Ihre Antwort!
Leitfrage:
Geben Sie an, welche der vier gegebenen Geraden identisch sind, und begründen Sie Ihre Ant
wort!
Geben Sie an, wie die Werte von a
1
und b
2
(mit a
1
, b
2
∈ ℝ ) der Geraden h : X =
( )
a
1
3
+ t ·
( )
1
b
2
mit
t ∈ ℝ zu wählen sind, damit g und h genau einen Schnittpunkt haben!
Begründen Sie Ihre Entscheidung!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Die Geraden g
1
und g
2
schließen mit g einen rechten Winkel ein.
Mögliche Begründung:
Der Richtungsvektor v =
( )
3
1
von g ist zugleich ein Normalvektor von g
1
und g
2
.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn angegeben wird, dass ausschließlich
g
1
und g
2
mit g einen rechten Winkel einschließen, und dies auch (sinngemäß) korrekt begründet
wird.
Begründungen anhand entsprechender Skalarprodukte bzw. anhand von Skizzen sind ebenfalls
zulässig.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Geraden g und g
3
sind identisch.
Mögliche Begründung:
Beide Geraden haben den Richtungsvektor v =
( )
3
1
und der Punkt P = (2|3) liegt auf beiden
Geraden.
Damit g und h genau einen Schnittpunkt haben, müssen sie unterschiedliche Steigungen haben,
d. h., es muss b
2
≠
1
3
gelten. Da a
1
nur die Position des Schnittpunkts bestimmt, nicht aber seine
Existenz, kann für a
1
jede reelle Zahl gewählt werden.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn angegeben wird, dass g
3
und g identisch
sind, und dies korrekt begründet wird.
Weiters sind Bedingungen für die Werte a
1
und b
2
richtig anzugeben und es ist deren Wahl zu
begründen.
Falls für a
1
und b
2
konkrete richtige Werte genannt werden, ist der Punkt zu vergeben.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Brückenbogen
In der nachstehenden Abbildung ist ein Brückenbogen dargestellt. Die Strecke AC mit dem
Mittelpunkt B hat eine Länge von 40 Metern, die maximale Höhe BD des Brückenbogens beträgt
10 Meter.
f ( x )
f
D
B C
x
A
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Funktion f mit f ( x ) = a · x
2
+ b ( a , b ∈ ℝ ), mit der der
Verlauf des beschriebenen Brückenbogens modelliert werden kann, und erläutern Sie Ihre Vor
gehensweise!
Leitfrage:
Damit auch größere Fahrzeuge unter so einem Brückenbogen durchfahren können, soll die
Höhe BD vergrößert werden. Erklären Sie, ob man die Parameter a und b der Modellierungs
funktion f mit f ( x ) = a · x
2
+ b ( a , b ∈ ℝ ) dabei jeweils größer, kleiner oder gleich wählen muss,
wenn der Abstand AC unverändert bleiben soll!
Wenn der Punkt A als Koordinaten ursprung gewählt wird, muss zur Modellierung eine Funktion g
mit g ( x ) = c · x
2
+ d · x + e ( c , d , e ∈ ℝ ) herangezogen werden.
Setzen Sie „<“, „>“ oder „=“ so ein, dass die Aussagen über c , d und e für die gewählte Funkti
on g zutreffen!
c
___
0; d
___
0; e
___
0

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Brückenbogen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Vorgehensweise:
D = (0|10) ⇒ b = 10
Die Nullstelle von f liegt bei x = 20 (bzw. –20).
f (20) = 0 ⇒ 0 = 400 ∙ a + 10 ⇒ a = –
1
40
= –0,025
f ( x ) = –0,025 ∙ x
2
+ 10
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Funktionsgleichung
ermittelt und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Wenn die Höhe BD vergrößert wird, wird der Parameter b größer. Da die Nullstellen unverändert
bleiben, muss der Parameter a kleiner werden.
c < 0; d > 0; e = 0
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Änderung beider Parameter (sinngemäß)
korrekt erklärt wird und die jeweils korrekten Zeichen eingesetzt werden.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Funktionen
Gegeben sind die Gleichungen und Graphen der Funktionen f und g mit:
f ( x ) = 3 ∙ sin( x )
g ( x ) =
x
2
f ( x ), g ( x )
g
f
x
0 5 4 3 2 1 –2 –3 –4 –5 –1 –6 6
0
2
1
3
–2
–3
–1
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie diejenige Stelle x
1
im Intervall [0; π], für die f ′ ( x
1
) = g ′ ( x
1
) gilt, und erklären Sie, wie
man diese Stelle grafisch ermitteln kann!
Leitfrage:
Die Gleichung f ( x ) = g ( x ) hat für x drei Lösungen a , 0 und c mit a < 0 < c .
Stellen Sie den Wert des Terms
∫
c
0
( f ( x ) – g ( x )) d x in der oben stehenden Abbildung grafisch dar!
Geben Sie den Wert des Terms
∫
c
a
( f ( x ) – g ( x )) d x an!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Funktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
3 ∙ cos( x
1
) =
1
2
⇒ x
1
≈ 1,4
Der Wert von x
1
beschreibt diejenige Stelle (im Intervall [0; π]), an der die Steigung der Geraden
mit der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f übereinstimmt. Verschiebt man die
Gerade g so, dass sie den Graphen von f im Intervall [0; π] berührt, erhält man diesen Wert als
x Koordinate des Berührpunkts.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn x
1
korrekt berechnet und seine grafi
sche Ermittlung (sinngemäß) korrekt erklärt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
f ( x ), g ( x )
g
f
c
a
x
0 5 4 3 2 1 –2 –3 –4 –5 –1 –6 6
0
2
1
3
–2
–3
–1
Der Wert des Terms
∫
c
a
( f ( x ) – g ( x ))d x ist null.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die gesuchte Fläche dargestellt und der Wert
des Integrals
∫
c
a
( f ( x ) – g ( x )) d x korrekt angegeben wird.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Reaktionszeiten
Eine Testperson ermittelt ihre Reaktionszeit (in s) mithilfe eines Online Tests, den sie zehnmal
ausführt, und erzielt dabei die nachstehenden Werte:
0,38 s; 0,27 s; 0,30 s; 0,34 s; 0,25 s; 0,39 s; 0,28 s; 0,24 s; 0,33 s; 0,32 s
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel t der zehn angegebenen Zeiten sowie die
Standardabweichung s !
Geben Sie an, wie viel Prozent der angegebenen Reaktionszeiten sich im Intervall [ t – s ; t + s ]
befinden!
Leitfrage:
Die Testperson führt noch zwei weitere Male diesen Test aus und erreicht dabei die Zeiten t
11
und
t
12
mit t
11
≠ t
12
. Das arithmetische Mittel, das nun aus allen zwölf Zeiten gebildet wird, wird mit t
neu
,
die daraus resultierende Standardabweichung mit s
neu
bezeichnet.
Geben Sie an, welche Bedingungen die Zeiten t
11
und t
12
erfüllen müssen, damit t
neu
= t und
s
neu
< s gilt!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Reaktionszeiten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
t = 0,31
s ≈ 0,05
[ t – s ; t + s ] ≈ [0,26; 0,36]
Im angegebenen Intervall befinden sich 6 Reaktionszeiten, das sind 60 %.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn das arithmetische Mittel, die
Standardabweichung und der gesuchte Prozentsatz korrekt angegeben werden.
Toleranzintervalle:
für die Standardabweichung: [0,048; 0,052]
für die untere Intervallgrenze: [0,258; 0,262]
für die obere Intervallgrenze: [0,358; 0,362]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die neuen Werte müssen symmetrisch zum arithmetischen Mittel t liegen, also
t 11 + t 12
2
= t betra
gen.
Wenn die neuen Werte im Intervall ( t – s ; t + s ) liegen, dann gilt s neu < s .
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die gesuchten Bedingungen für die Zeiten t 11
und t 12 (sinngemäß) korrekt angegeben werden. Dabei ist eine Aussage der Form, dass die Werte
t 11 und t 12 in der Nähe des arithmetischen Mittels liegen müssen, als Begründung für s neu < s zu
akzeptieren.

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Lotterie
Bei 100 Losen gibt es 30 Gewinnlose („Treffer“), darunter sind 25 Lose zu je € 10 Gewinn und
fünf Lose zu je € 100 Gewinn.
Aufgabenstellung:
Aus diesen 100 Losen werden drei Lose zufällig ausgewählt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mit diesen drei Losen kein Treffer erzielt wird, und erläu
tern Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Jemand bekommt aus diesen 100 Losen ein zufällig ausgewähltes Los geschenkt.
Geben Sie den Erwartungswert für den Gewinn an!
Eine andere Person bekommt aus diesen 100 Losen zwei zufällig ausgewählte Lose geschenkt.
Geben Sie einen Ausdruck zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass diese Person € 110
Gewinn erzielt, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!

Kompensationsprüfung 1 / Jänner 2018 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Lotterie
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Keinen Treffer zu erzielen bedeutet, dass man aus den restlichen 70 Losen drei Lose ohne Zu
rücklegen zieht.
70
100
·
69
99
·
68
98
≈ 0,3385 = 33,85 %
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit korrekt ange
geben und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Toleranzintervall für die Wahrscheinlichkeit: [33 %; 34 %]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
25
100
· 10 +
5
100
· 100 = 7,5
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt € 7,50.
€ 110 Gewinn bedeutet, dass man bei zwei Losen einen Treffer zu € 10 und einen Treffer zu
€ 100 erzielt.
möglicher Ausdruck zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit: 2 ·
25 · 5
100 · 99
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Gewinnerwartung und der gesuchte Aus
druck korrekt angegeben werden und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird.
Äquivalente Ausdrücke sind als richtig zu werten.