Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2016 · AHS · Kompi 9

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2016
Mathematik
Kompensationsprüfung 9
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen
öffentliches Dokument

Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Geraden in ℝ
3
Gegeben sind zwei Geraden g und h in ℝ
3
.
Die Gerade g verläuft durch den Punkt P = (3|1|5) und ist parallel zur y -Achse.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Parameterdarstellung für g an!
Begründen Sie, warum es nicht möglich ist, die Koordinaten y
Q
und z
Q
eines Punktes
Q = (1| y
Q
| z
Q
) so zu bestimmen, dass der Punkt Q auf der Geraden g liegt!
Leitfrage:
Geben Sie einen Überblick über mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden in ℝ
3
!
Die Gerade h wird durch die Parameterdarstellung X =
( )
x
h
1
3
+ s ·
( )
2
y
h
1
mit s , x
h
, y
h
∈ ℝ beschrieben.
Ist es möglich, Zahlenwerte für x
h
und y
h
so zu bestimmen, dass die beiden Geraden g und h
zueinander normal sind und einander im Punkt P schneiden?
Wenn nein, begründen Sie mithilfe von Rechnungen, warum dies nicht möglich ist!
Wenn ja, geben Sie die entsprechenden Werte von x
h
und y
h
an!
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Geraden in ℝ
3
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Parameterdarstellung:
g : X =
( )
3
1
5
+ t ·
( )
0
1
0
mit t ∈ ℝ
Mögliche Begründung:
Für alle Punkte auf der Geraden g gilt:
x = 3; y = 1 + t ; z = 5 (mit t ∈ ℝ ) ⇒ Ein Punkt mit x = 1 kann nicht auf der Geraden g liegen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Parameterdarstellung
von g angegeben und eine korrekte Begründung angeführt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Zwei Geraden in ℝ
3
können identisch, parallel, schneidend oder windschief sein.
Es ist möglich, Zahlenwerte für x
h
und y
h
so zu bestimmen, dass die beiden angeführten Bedingungen erfüllt sind:
x
h
= –1 (ergibt sich aus dem Parameterwert s = 2)
y
h
= 0 (ergibt sich aus
( )
0
1
0
·
( )
2
0
1
= 0)
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle möglichen Lage beziehungen genannt
und die Werte von x
h
und y
h
korrekt angegeben werden.
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Quadratische Funktion
Gegeben ist eine Funktion f mit f ( x ) = r · x
2
+ s mit r , s ∈ ℝ und r ≠ 0.
Aufgabenstellung:
Erläutern Sie, welche Auswirkungen eine Veränderung der Werte der Parameter r und s auf den
Verlauf des Graphen von f hat!
Leitfrage:
Der Graph der Funktion f verläuft durch die beiden Punkte B = ( a | b ) und E = (0| e ) mit a ≠ 0.
Geben Sie die Parameter r und s mithilfe der Koordinaten a , b , e der angegebenen Punkte an!
Geben Sie an, für welchen Wert von b die Funktion f keine quadratische Funktion ist!
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Quadratische Funktion
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Für r > 0 handelt es sich um eine nach oben offene Parabel, für r < 0 handelt es sich um eine
nach unten offene Parabel. Je größer der Betrag von r , desto „steiler“ verläuft der Graph von f .
Eine Veränderung des Parameters s bewirkt eine Verschiebung der Parabel entlang der senkrechten Achse.
oder:
Der Scheitelpunkt der Parabel ist im Punkt (0 | s ).
oder:
(0 | s ) ist der Schnittpunkt des Graphen mit der senkrechten Achse.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Auswirkungen einer Veränderung
der Werte der Parameter r und s auf den Verlauf des Graphen von f (sinngemäß) richtig erklärt
werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Da B und E auf dem Graphen von f liegen und E der Scheitelpunkt ist, gilt:
s = e
b = r · a
2
+ e ⇒ r =
b – e
a
2
Für b = e ist die Funktion f keine quadratische Funktion.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Parameter r und s richtig angegeben
werden und korrekt angegeben wird, dass b = e gelten muss, damit f keine quadratische Funktion
ist.
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Federkraft
Wird eine Feder gedehnt, so ist die Kraft, die zur Dehnung der Feder aufgewendet werden muss,
direkt proportional zur Ausdehnung. Die Funktion F beschreibt die aufzuwendende Kraft in Abhängigkeit von der Ausdehnung x .
Es gilt: F ( x ) = k · x .
Dabei wird x in Metern (m) und F ( x ) in Newton (N) angegeben. Die Konstante k wird als Feder konstante bezeichnet und gibt die „Härte“ einer Feder an.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von F und kennzeichnen Sie k in Ihrer Skizze!
Leitfrage:
Geben Sie einen Term in Abhängigkeit von k an, mit dem man diejenige Arbeit berechnen kann,
die notwendig ist, um die Feder um die Länge x
0
zu dehnen!
Geben Sie an, wie sich die Arbeit ändert, wenn die Feder um die Länge 2 · x
0
gedehnt wird!
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Federkraft
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Mögliche Skizze:
F ( x )
F
x
1
k
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine entsprechende Skizze einer
homogenen linearen Funktion vorliegt und k korrekt gekennzeichnet ist.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
W =
∫
x 0
0
k · x d x =
k · x
0
2
2
Im Fall der doppelten Ausdehnung gilt:
W =
∫
2 x 0
0
k · x d x =
k · (2 · x
0
)
2
2
Die Arbeit wächst auf das Vierfache an.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein Term zur Berechnung der Arbeit korrekt
angegeben und die Änderung der Arbeit korrekt beschrieben wird.
Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Grenzkosten
Von einem Betrieb kennt man für die Herstellung eines Produkts die Kostenfunktion K mit
K ( x ) = 4 · x
3
– 60 · x
2
+ 400 · x + 1 000. Dabei gibt K ( x ) die Produktionskosten in Geldeinheiten (GE)
bei der Produktion von x Mengeneinheiten (ME) an.
Unter den Grenzkosten (in GE/ME) versteht man diejenigen Kosten, die durch eine Produktionssteigerung um 1 ME zusätzlich anfallen.
Aufgabenstellung:
Die näherungsweise Berechnung der Grenzkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge x
0
erfolgt durch die erste Ableitung K ′ ( x
0
).
Berechnen Sie mithilfe der Ableitung der Funktion K die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge
von 15 ME!
Leitfrage:
Berechnen Sie, um wie viele GE sich der Wert der näherungsweise berechneten Grenzkosten
bei einem Produktionsumfang von 15 ME vom tatsächlichen Zuwachs der Kosten unterscheidet,
wenn der Produktionsumfang von 15 ME auf 16 ME erhöht wird!
Die Ableitungsfunktion K ′ ist ab x = 5 ME streng monoton steigend.
Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage für die Produktionskosten an, wenn die Produktionsmenge zunimmt!
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Grenzkosten
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
K ′ ( x ) = 12 · x
2
– 120 · x + 400
K ′ (15) = 1 300
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn K ′ (15) korrekt ermittelt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
K ′ (15) = 1 300
K (16) – K (15) = 8 424 – 7 000 = 1 424
Der Wert der näherungsweise berechneten Grenzkosten unterscheidet sich für x
0
= 15 ME vom
tatsächlichen Zuwachs der Kosten bei 1 ME um 124 GE.
Diese Aussage bedeutet, dass der Kostenzuwachs ab der Produktionsmenge x = 5 progressiv
ist (d. h., die Kosten steigen bei zunehmender Produktionsmenge immer stärker).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Kostenunterschied korrekt ermittelt und
die Bedeutung der Aussage (sinngemäß) korrekt angegeben wird.
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Diskrete Zufallsvariable
Für eine diskrete Zufallsvariable X liegt eine Tabelle vor, die alle möglichen Werte k dieser Zufallsvariable und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten angibt. Der Parameter n ist eine natürliche
Zahl mit n ≠ 0.
k 1 4 7 10 15
P ( X = k ) 0,2
2
n
6
n
0,1 0,3
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Parameter n und den Erwartungswert E ( X ) der Zufallsvariablen X !
Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Die Standardabweichung σ hat bei der oben angegebenen Zufallsvariable den Wert σ = 5,2.
Verändern Sie die in der Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten P ( X = k ) für mindestens zwei
Werte von k so, dass die Standardabweichung kleiner wird und dabei immer noch eine gültige
Wahrscheinlichkeitsverteilung vorliegt! Die Werte der Zufallsvariablen (in der ersten Zeile der Tabelle) sollen aber unverändert bleiben.
Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise!
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Kompensationsprüfung 9 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Diskrete Zufallsvariable
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt, folgt:
8
n
= 0,4. Daraus folgt: n = 20.
E ( X ) = 1 · 0,2 + 4 · 0,1 + 7 · 0,3 + 10 · 0,1 + 15 · 0,3 = 8,2
Lösungsschlüssel:
Ein Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl n als auch E ( X ) richtig be stimmt und die Vorgehensweise korrekt erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Mögliche Vorgehensweise:
Die in der Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeiten müssen für mindestens zwei Werte von k
so verändert werden, dass die beiden Forderungen – kleinere Standardabweichung, gültige
Wahrscheinlichkeitsverteilung, also Summe der Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1 – jedenfalls erfüllt
sind.
Eine sinnvolle Strategie ist, die Wahrscheinlichkeiten an den Rändern des Intervalls der möglichen
Ergebnisse zu verkleinern und jene in der Mitte zu vergrößern.
Mögliches Beispiel:
k 1 4 7 10 15
P ( X = k ) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
Lösungsschlüssel:
Ein Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Strategie zur Verkleinerung der
Standardabweichung und eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden.
Eine Berechnung der neuen Standardabweichung muss dabei nicht erfolgen.
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