Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2016 · AHS · Kompi 3

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2016
Mathematik
Kompensationsprüfung 3
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen
öffentliches Dokument

Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandida
tin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der an
schließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt kön
nen maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Steigung
Die Steigung von Straßen wird in Prozent angegeben. Eine Steigung von p % bedeutet beispiels
weise, dass auf einer waagrechten Strecke von 100 Metern die Höhe um p Meter zunimmt.
Jeder Steigung p (in %) entspricht ein bestimmter Steigungswinkel α .
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel an, die den Zusammenhang zwischen α und p beschreibt!
Leitfrage:
Der geradlinige Verlauf einer ansteigenden Straße kann durch eine Gerade g mit der Parameter
darstellung g : X =
( )
2
1
+ t ·
( )
5
1
veranschaulicht werden.
Straße
g
y
x
Ermitteln Sie den Steigungswinkel α und die Steigung p (in %) der Straße!
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Steigung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
p = 100 · tan( α ) oder tan( α ) =
p
100
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zusammenhang zwischen α und
p durch eine korrekte Formel beschrieben wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
tan( α ) =
1
5
⇒ α ≈ 11,31°
p = 100 ·
1
5
= 20 %
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Winkel α und die Steigung p (in %) kor
rekt angegeben werden.
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Graphen von Potenzfunktionen
Gegeben sind drei Graphen von Potenzfunktionen mit f ( x ) = a · x
z
+ b mit a , b ∈ ℝ , z ∈ ℤ .
Aufgabenstellung:
Geben Sie für jede der drei Funktionen f
1
bis f
3
einen möglichen Wert für den Exponenten z an!
Geben Sie für jede Funktion an, ob der Parameter b negativ, positiv oder gleich null ist, und be
gründen Sie Ihre Antwort!
f ( x )
x
f
1
f ( x )
x
f
2
f ( x )
x
f
3
Leitfrage:
Geben Sie für Potenzfunktionen f mit f ( x ) = a · x
z
+ b mit a > 0 an, für welche Werte des Para
meters b und für welche Exponenten z folgende Sonderfälle auftreten:
• f beschreibt einen direkt proportionalen Zusammenhang.
• f beschreibt einen indirekt proportionalen Zusammenhang.
Erklären Sie außerdem die Begriffe direkte Proportionalität und indirekte Proportionalität !
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Graphen von Potenzfunktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f
1
: z ist eine ungerade natürliche Zahl größer als 1.
b > 0, da der Graph die positive senkrechte Achse schneidet.
f
2
: z ist eine gerade natürliche Zahl größer als 0.
b < 0, da die Parabel die negative senkrechte Achse schneidet.
f
3
: z ist eine ungerade negative Zahl.
b = 0, da sich der Graph asymptotisch der x Achse nähert.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu vergeben, wenn für alle drei Funktionen ein rich
tiger Wert für den Exponenten z genannt wird und die Bedingungen für den Parameter b richtig
angegeben und (sinngemäß) richtig begründet werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
• direkt proportionaler Zusammenhang, falls b = 0 und z = 1
In diesem Fall beschreibt die Gleichung f ( x ) = a · x eine direkte Proportionalität, d. h., das Ver
hältnis von Funktionswert und Argument ist konstant. Eine Ver k fachung des Arguments führt
zu einer Ver k fachung des Funktionswerts.
• indirekt proportionaler Zusammenhang, falls b = 0 und z = –1
In diesem Fall beschreibt die Gleichung f ( x ) = a · x
–1
=
a
x
eine indirekte Proportionalität, d. h.,
das Produkt aus Argument und Funktionswert ist konstant. Eine Ver k fachung des Arguments
führt zu einer Teilung des Funktionswerts durch k .
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Fälle die Werte für b und z richtig
angegeben und die Proportionalitäten richtig erklärt werden.
Die direkte und die indirekte Proportionalität dürfen auch anhand konkreter Zahlenbeispiele
(z. B.: k = 2) erklärt werden.
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Preisänderung
In einem Geschäft wurde ein bestimmtes TV Gerät zu Beginn des Jahres 2013 zu einem Preis
von p
1
angeboten, zwei Jahre später zu einem Preis von p
2
.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Bedeutung der Terme p
2
– p
1
und
p
2
– p
1
p
1
an!
Leitfrage:
Erläutern Sie die Bedeutung des Terms
p
2
– p
1
2
im gegebenen Kontext!
Für die Preise p
1
und p
2
gilt folgender Zusammenhang:
p
2
p
1
= 0,8.
Zeigen Sie, dass in diesem Fall
p
2
– p
1
2
= –0,1 · p
1
gilt, und deuten Sie diese Gleichung im Hin
blick auf die Preisänderung!
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Preisänderung
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
p
2
– p
1
ist die absolute Preisänderung im gegebenen Zeitraum.
p
2
– p
1
p
1
ist die relative (prozentuelle) Preisänderung im gegebenen Zeitraum.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Bedeutung beider Terme (sinnge
mäß) korrekt erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der Term
p
2
– p
1
2
gibt die mittlere Preisänderung pro Jahr im gegebenen Zeitraum an.
p
2
p
1
= 0,8 ⇒ p
2
= 0,8 · p
1
Durch Einsetzen in
p
2
– p
1
2
folgt
0,8 · p
1
– p
1
2
= –0,1 · p
1
.
Mögliche Deutungen:
Der Preis sinkt in diesem Zeitraum pro Jahr durchschnittlich um 10 % des Ausgangspreises.
Die durchschnittliche Preisabnahme beträgt in diesem Zeitraum 0,1 · p
1
pro Jahr.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Bedeutung des Terms
p
2
– p
1
2
(sinnge
mäß) korrekt erläutert wird, die Gültigkeit der angegebenen Gleichung gezeigt wird und die Glei
chung (sinngemäß) korrekt gedeutet wird.
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Stammfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer linearen Funktion h .
h ( x ), H ( x )
h
x
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in obiger Abbildung den Graphen einer Stammfunktion H von h und erklären Sie
Ihre Vorgehensweise!
Leitfrage:
Begründen Sie, warum es unendlich viele Stammfunktionen der dargestellten Funktion h gibt, und
geben Sie an, worin sich die Graphen dieser Stammfunktionen unterscheiden!
Geben Sie mithilfe der Stammfunktion H einen (allgemeinen) Term zur Berechnung des Integrals
∫
0
–10
h ( x )d x an!
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Stammfunktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Da h eine lineare Funktion ist, muss H eine quadratische
Funktion sein.
Der x Wert des Scheitelpunktes von H muss mit der
Nullstelle von h übereinstimmen.
Da h monoton fällt, muss der Graph von H vor dem
Scheitelpunkt steigen und nach dem Scheitelpunkt fallen
(bzw. eine negative Krümmung aufweisen).
h ( x ), H ( x )
h
H
x
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein möglicher Graph für H richtig
skizziert wird und eine korrekte Vorgehensweise erklärt wird.
Der Funktionswert des Scheitelpunktes kann dabei beliebig gewählt werden, die Symmetrie der
Parabel zur Geraden x = 2 muss erkennbar sein.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Wenn H eine Stammfunktion von h ist, so ist auch H + c (mit c ∈ ℝ ) eine Stammfunktion von h ,
da gilt: ( H + c ) ′ = h .
Die Funktionsterme der Stammfunktionen unterscheiden sich durch konstante Summanden, was
eine vertikale Verschiebung der Graphen bewirkt.
∫
0
–10
h ( x )d x = H (0) – H (–10)
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn (sinngemäß) richtig erklärt wird, warum es
(unendlich viele) weitere Stammfunktionen von h gibt und worin sie sich unterscheiden.
Weiters müssen zumindest zwei Parabeln (qualitativ) richtig skizziert werden und es muss ein rich
tiger Term zur Berechnung des bestimmten Integrals angeschrieben werden.
Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Blutgruppe B
Die relative Häufigkeit der Blutgruppe B in der österreichischen Bevölkerung wird mit p bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Zehn Österreicher/innen werden zufällig ausgewählt. Die binomialverteilte Zufallsvariable H gibt
die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B in dieser Zufallsstichprobe ( n = 10) an.
Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass von
diesen zehn Personen höchstens eine Person Blutgruppe B hat, und erklären Sie Ihre Vorgehens
weise!
Leitfrage:
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B in einer Zufallsstichprobe der
Größe n = 500 an.
Erklären Sie, was mit den nachstehenden Termen jeweils berechnet wird, und geben Sie an, wel
cher der beiden Terme den größeren Wert liefert!
• P ( 500 · p – 2 · √ 500 · p · (1 – p ) ≤ X ≤ 500 · p + 2 · √ 500 · p · (1 – p ) )
• P ( X ≤ 500 · p )
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Kompensationsprüfung 3 / Juni 2016 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Blutgruppe B
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
„Höchstens eine Person“ bedeutet: keine oder eine Person.
Daher müssen die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden.
(1 – p )
10
... Wahrscheinlichkeit, dass keine der 10 Personen die Blutgruppe B hat
p · (1 – p )
9
· 10 ... Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der 10 Personen die Blutgruppe B hat
(dafür gibt es 10 Möglichkeiten)
⇒ P ( H ≤ 1) = (1 – p )
10
+ p · (1 – p )
9
· 10
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn ein korrekter Term angegeben und
eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird. Äquivalente Terme sind als richtig zu werten.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Der erste Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B
in der Stichprobe um höchstens das Zweifache der Standardabweichung vom Erwartungswert
abweicht.
Der zweite Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B in
der Stichprobe maximal dem Erwartungswert entspricht.
Der erste Term liefert den größeren Wert.
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Terme (sinngemäß) richtig interpretiert
werden und erkannt wird, dass der erste Term den größeren Wert liefert.
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