Kompensationsprüfung Mathematik – Mai/Juni 2015 · AHS · Kompi 3

Kompensationsprüfung zur
standardisierten kompetenzorientierten
schriftlichen Reifeprüfung
AHS
Juni 2015
Mathematik
Kompensationsprüfung
Angabe für Prüfer/innen
Exemplar für Prüfer/innen
öffentliches Dokument

Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13
Hinweise zur Kompensationsprüfung
Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig
voneinander bearbeitbar sind.
Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der „Aufgabenstellung“ muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden „Leitfrage“ ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen.
Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen
und die Lösungsschlüssel.
Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten.
Beurteilung
Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung
ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden.
Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema:
Note zumindest erreichte Punkte
„Genügend“
4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
„Befriedigend“
5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
„Gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt
4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
„Sehr gut“
5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte
4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte
Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die
von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung
als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen.
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13
Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung
Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der
Beurteilung.
Grundkompetenzpunkt
erreicht
Leitfragenpunkt
erreicht
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13
Aufgabe 1
Vektoren
Gegeben sind Pfeildarstellungen der vier Vektoren a , b , c , d ∈ ℝ
2
und ein Punkt P .
P
b
c
d
a
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie in der gegebenen Abbildung ausgehend vom Punkt P grafisch Pfeildarstellungen der
Vektoren a – c und 2 · b –
1
2
· d !
Leitfrage:
Begründen Sie anhand der gegebenen Pfeildarstellungen, warum es möglich ist, durch die
Vektoraddition r · b + s · d (mit r , s ∈ ℝ ) den Vektor c zu erhalten, und bestimmen Sie rechnerisch die Werte der Parameter r und s !
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13
Lösung zur Aufgabe 1
Vektoren
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
P
b
c
d
a
c a –
2b – d
1
2
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Lösungsvektoren korrekt
ermittelt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Es ist möglich, weil die Vektoren b und d nicht parallel sind bzw. weil das entsprechende
Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
r ·
( )
0
2
+ s ·
( )
4
–2
=
( )
–1
3
r = 1,25 und s = –0,25
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Möglichkeit der Darstellung des
Vektors c durch die Vektoren b und d (sinngemäß) richtig begründet wird und die Faktoren r und s
richtig berechnet werden.
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13
Aufgabe 2
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Betrachtet werden eine quadratische Gleichung ax
2
+ bx + c = 0 mit a , b , c ∈ ℝ und a ≠ 0 und
eine quadratische Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x ) = ax
2
+ bx + c mit a , b , c ∈ ℝ und
a ≠ 0.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Lösungen der quadratischen Gleichung x
2
– 8 x + 16 = 0 und erklären Sie die
Bedeutung dieser Lösungen für den Funktionsgraphen der Funktion f mit f ( x ) = x
2
– 8 x + 16!
Leitfrage:
Erläutern Sie mithilfe von Skizzen, wie man bei Kenntnis des Graphen einer beliebigen quadratischen Funktion f auf die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung f ( x ) = 0 schließen
kann!
Geben Sie an, welcher der Parameter a , b und c dafür verantwortlich ist, dass genau eine Lösung
der quadratischen Gleichung den Wert 0 annimmt!
Geben Sie für diesen Fall den Wert des Parameters an und skizzieren Sie einen entsprechenden
Funktionsgraphen!
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13
Lösung zur Aufgabe 2
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Lösungen: x
1
= x
2
= 4
Das heißt, dass der entsprechende Funktionsgraph die x -Achse an der Stelle x = 4 berührt.
An dieser Stelle hat der Funktionsgraph eine Nullstelle, die zugleich der Scheitel der Parabel ist.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Lösung richtig angegeben wird
und ihre Bedeutung (sinngemäß) der Lösungserwartung entsprechend erklärt wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Anzahl der Schnittpunkte einer quadratischen Funktion mit der x -Achse entspricht genau der
Anzahl der reellen Lösungen der dazugehörigen quadratischen Gleichung.
x
f
f ( x )
x
f
f ( x )
x
f
f ( x )
Die drei typischen Fälle:
• zwei Schnittpunkte: die quadratische Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen
• ein Berührpunkt: die quadratische Gleichung hat genau eine reelle (Doppel-)Lösung
• kein Schnittpunkt: die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen
Aus c = 0 folgt jedenfalls, dass x = 0 eine Lösung der quadratischen Gleichung ist und der dazugehörige Funktionsgraph durch den Ursprung verläuft.
x
f
f ( x )
Lösungsschlüssel:
Ein Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zusammenhang zwischen den Nullstellen
des Graphen und der Anzahl der Lösungen (sinngemäß) richtig erläutert wird.
Weiters muss die Bedingung c = 0 genannt und ein entsprechender Graph richtig skizziert werden.
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13
Aufgabe 3
Funktionen vergleichen
Gegeben sind vier reelle Funktionen f , g , h und i mit den nachstehenden Funktionsgleichungen:
f ( x ) = 3 x mit x ∈ ℝ
g ( x ) = x
3
mit x ∈ ℝ
h ( x ) = 3
x
mit x ∈ ℝ
i ( x ) = sin(3 x ) mit x ∈ ℝ
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche dieser vier Funktionen im gesamten Definitionsbereich monoton
steigend sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Leitfrage:
Skizzieren Sie jeweils in einem selbst angelegten Koordinatensystem (das nicht beschriftet oder
skaliert sein muss) charakteristische Verläufe für die nachstehenden fünf Funktionstypen:
• lineare Funktion der Art f ( x ) = k ∙ x + d mit k ≠ 0
• Polynomfunktion zweiten Grades der Art f ( x ) = a ∙ x
2
+ b ∙ x + c mit a ≠ 0
• Polynomfunktion dritten Grades der Art f ( x ) = a ∙ x
3
+ b ∙ x
2
+ c ∙ x + d mit a ≠ 0
• Exponentialfunktion der Art f ( x ) = a ∙ b
x
mit a , b ∈ ℝ
+
• Sinusfunktion der Art f ( x ) = a ∙ sin( b ∙ x ) mit a , b ∈ ℝ ; a , b ≠ 0
Geben Sie an, welche dieser Funktionstypen auf ihrem Definitionsbereich auf jeden Fall lokale Extremstellen haben, welche auf jeden Fall keine lokalen Extremstellen haben und welche eventuell
lokale Extremstellen haben!
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13
Lösung zur Aufgabe 3
Funktionen vergleichen
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
f , g und h
Die Begründung kann anhand entsprechender Skizzen erfolgen.
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn genau diese drei Funktionen genannt
und (sinngemäß) korrekte Begründungen angeführt werden.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Kandidatinnen/Kandidaten sollen die Skizzen so zeichnen, dass die typischen Verläufe
erkennbar sind.
• Lineare Funktion:
Es muss eine Gerade sein, die weder senkrecht noch waagrecht sein darf.
• Polynomfunktion zweiten Grades:
Der Graph muss als Parabel erkennbar sein.
• Polynomfunktion dritten Grades:
Der charakteristische Verlauf des Graphen muss grundsätzlich erkennbar sein.
• Exponentialfunktion:
Wichtig bei dieser Skizze ist hier die Darstellung der Monotonie, die Darstellung des asymptotischen Verhaltens und der sich ändernde Steigungsverlauf. Weiters darf die Funktion keine
Nullstelle haben und der Graph der Funktion muss einen Schnittpunkt mit der senkrechten
Achse aufweisen.
• Sinusfunktion:
Die Periodizität sowie sin(0) = 0 müssen eindeutig erkennbar sein.
Extremstellen:
• Auf jeden Fall keine lokalen Extremstellen haben:
Exponentialfunktion, lineare Funktion (mit k ≠ 0)
• Auf jeden Fall lokale Extremstellen haben:
Polynomfunktion zweiten Grades, Sinusfunktion
• Eventuell lokale Extremstellen haben:
Polynomfunktion dritten Grades
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für alle fünf angeführten Funktionstypen
ein typischer Funktionsverlauf richtig skizziert und die Frage nach den Extremstellen richtig
beantwortet wird.
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13
Aufgabe 4
Holzbestand
Der Holzbestand eines Waldes wird in Kubikmetern (m³) angegeben. Zu Beginn eines bestimmten
Jahres beträgt der Holzbestand 10 000 m³. Jedes Jahr wächst der Holzbestand um 3 %. Am
Jahresende werden jeweils 500 m³ Holz geschlägert. Dabei gibt an die Holzmenge am Ende des
n -ten Jahres an.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie die Entwicklung des Holzbestandes durch eine Differenzengleichung dar! Erläutern Sie
die Bedeutung der auftretenden Größen!
Leitfrage:
Geben Sie an, bei welchen jährlichen prozentuellen Wachstumsraten der Holzbestand im Laufe
der Zeit abnimmt, zunimmt bzw. konstant bleibt! Begründen Sie Ihre Antwort!
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13
Lösung zur Aufgabe 4
Holzbestand
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
a 0 = 10 000
an + 1 = 1,03 · an – 500
a 0 ... Holzbestand zu Beginn
n ... Jahre nach Beginn
an + 1 ... Holzbestand am Ende des ( n + 1)-ten Jahres
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Differenzengleichung
angegeben und die Bedeutung der auftretenden Größen (sinngemäß) korrekt erläutert wird.
Lösungserwartung zur Leitfrage:
500 m³ sind 5 % von 10 000 m³. Daher gilt:
Ist die jährliche prozentuelle Wachstumsrate gleich 5 %, so bleibt der Holzbestand konstant
(weil der Zuwachs gleich der geschlägerten Holzmenge ist).
Ist die jährliche prozentuelle Wachstumsrate kleiner als 5 %, so nimmt der Holzbestand ab
(weil der Zuwachs kleiner als die geschlägerte Holzmenge ist).
Ist die jährliche prozentuelle Wachstumsrate größer als 5 %, so nimmt der Holzbestand zu
(weil der Zuwachs größer als die geschlägerte Holzmenge ist).
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert der Zuwachsrate von 5 % angegeben wird. Darüber hinaus müssen alle drei Fälle korrekt angesprochen und (sinngemäß) der
Lösungserwartung entsprechend begründet werden.
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13
Aufgabe 5
Schießstand
Ein Sportschütze schießt innerhalb einer Minute 20-mal auf eine Scheibe. Dabei trifft er bei den
ersten 17 Schüssen 4-mal den innersten Ring der Zielscheibe.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie aufgrund dieser Daten einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass unter
der Annahme, dass sich die Voraussetzungen nicht ändern, der Sportschütze beim 18. Schuss
wieder den innersten Ring der Zielscheibe trifft! Erklären Sie den von Ihnen gewählten Lösungs ansatz!
Leitfrage:
Nehmen Sie an, dass der von Ihnen berechnete Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, den innersten Ring der Zielscheibe zu treffen, auch für die nächste Serie von 20 Schüssen gilt.
Lösen Sie die folgende Aufgabe unter Verwendung der Binominalverteilung und begründen Sie,
warum die Verwendung dieser Verteilung in diesem Fall gerechtfertigt ist!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Sportschütze in der nächsten Serie insgesamt
nicht öfter als 2-mal den innersten Ring der Zielscheibe trifft!
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Kompensationsprüfung / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13
Lösung zur Aufgabe 5
Schießstand
Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:
Der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit beträgt
4
17
≈ 0,2353 = 23,53 %.
Mögliche Erklärungen:
– die relative Häufigkeit entspricht dem gesuchten Schätzwert
– die Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle
Lösungsschlüssel:
Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der gesuchte Wert korrekt berechnet
sowie eine der Lösungserwartung entsprechende Erklärung gegeben wird.
Toleranzintervall: [0,23; 0,24] bzw. [23 %; 24 %]
Lösungserwartung zur Leitfrage:
Die Annahme der Binominalverteilung ist gerechtfertigt, da es immer nur zwei Möglichkeiten gibt
(den innersten Ring zu treffen oder nicht) und die Schüsse unabhängig voneinander sind, die Trefferwahrscheinlichkeit also annähernd konstant bleibt.
P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2)
P ( X = 0) =
(
13
17
)
20
≈ 0,0048
P ( X = 1) =
( )
20
1
·
(
4
17
)
1
·
(
13
17
)
19
≈ 0,0288
P ( X = 2) =
( )
20
2
·
(
4
17
)
2
·
(
13
17
)
18
≈ 0,0841
P ( X ≤ 2) ≈ 0,1176
Toleranzintervall: [0,108; 0,13] bzw. [10,8 %; 13 %]
Lösungsschlüssel:
Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn (sinngemäß) korrekt argumentiert und die
Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wird.
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