Integralrechnung für die Matura
Mit Integralen berechnest du aufsummierte Änderungen und orientierte Flächen. Entscheidend ist, zwischen Stammfunktion, bestimmtem Integral und geometrischem Flächeninhalt zu unterscheiden.
Stammfunktionen bilden
Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn F′(x) = f(x) gilt. Bei Potenzen wird der Exponent um eins erhöht und anschließend durch den neuen Exponenten dividiert.
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C für n ≠ −1| f(x) | eine Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| x² | x³ / 3 |
| 4x³ | x⁴ |
| eˣ | eˣ |
| 1 / x | ln|x| |
Bestimmtes Integral und Fläche
Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integral. Für eine Stammfunktion F gilt:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)Das bestimmte Integral ist eine orientierte Fläche: Bereiche unter der x-Achse zählen negativ. Wird der geometrische Flächeninhalt verlangt, musst du an Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilflächen addieren.
Durchgerechnetes Beispiel
Berechne die Fläche unter f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2.
1. Stammfunktion:
F(x) = x³ / 32. Grenzen einsetzen:
F(2) − F(0) = 2³ / 3 − 0³ / 3 = 8 / 3Der Flächeninhalt beträgt 8/3 ≈ 2,67 Flächeneinheiten. Weil x² im Intervall nicht negativ ist, stimmen Integral und geometrische Fläche überein.
Typische Aufgaben in der Mathe-Matura
- Aus einer Änderungsrate die gesamte Änderung in einem Intervall bestimmen.
- Flächen zwischen Graph und x-Achse berechnen.
- Fläche zwischen zwei Funktionen als Integral der Differenz aufstellen.
- Eine Integralfunktion oder ihre Einheit im Kontext deuten.
- Aus einem Graphen Integralwerte vergleichen, ohne exakt zu rechnen.
Häufiger Fehler: Bei der Fläche zwischen zwei Kurven wird im betrachteten Intervall „obere Funktion minus untere Funktion“ integriert. Schneiden sich die Graphen, muss das Intervall an den Schnittpunkten geteilt werden.
Integrale interaktiv verstehen
Verändere Integrationsgrenzen direkt in der Visualisierung oder übe Integralrechnung Schritt für Schritt in Pi Mal Daumen.