Integralrechnung für die Matura
Mit Integralen berechnest du aufsummierte Änderungen und orientierte Flächen. Entscheidend ist, zwischen Stammfunktion, bestimmtem Integral und geometrischem Flächeninhalt zu unterscheiden.
Stammfunktionen bilden
Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn F′(x) = f(x) gilt. Bei Potenzen wird der Exponent um eins erhöht und anschließend durch den neuen Exponenten dividiert.
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C für n ≠ −1| f(x) | eine Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| x² | x³ / 3 |
| 4x³ | x⁴ |
| eˣ | eˣ |
| 1 / x | ln|x| |
Bestimmtes Integral und Fläche
Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integral. Für eine Stammfunktion F gilt:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)Das bestimmte Integral ist eine orientierte Fläche: Bereiche unter der x-Achse zählen negativ. Wird der geometrische Flächeninhalt verlangt, musst du an Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilflächen addieren.
Integralmittelwert und Bestandsänderung
Ist r(t) eine Änderungsrate, dann liefert ∫ₐᵇ r(t)dt die gesamte Bestandsänderung. Zum Anfangsbestand muss sie noch addiert werden. Der mittlere Funktionswert von f auf [a;b] ist
f̄ = 1 / (b − a) · ∫ₐᵇ f(x) dxEigenes Beispiel: In einen Speicher fließen während 4 Stunden netto r(t) = 30 − 5t Liter pro Stunde. Bei anfangs 120 Litern gilt:
120 + ∫₀⁴ (30 − 5t) dt = 120 + [30t − 2,5t²]₀⁴ = 200 LiterDas Integral ist hier keine Fläche in Quadratmetern, sondern eine Volumenänderung. Die Einheit folgt aus „Liter pro Stunde mal Stunde“.
Bogenlänge einer Kurve
Für einen glatten Graphen y = f(x) lautet die Bogenlänge zwischen a und b:
L = ∫ₐᵇ √(1 + (f′(x))²) dxDiese Anwendung wird nicht in jedem österreichischen Prüfungsweg verlangt. Sie ist insbesondere in technischen BHS-Clustern relevant; prüfe dafür den aktuellen Kompetenzkatalog deiner Schulform.
Volumen eines Rotationskörpers
Rotiert der nichtnegative Graph von f um die x-Achse, entsteht im Intervall [a;b] das Volumen
V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dxEin häufiger Fehler ist, das Quadrat oder den Faktor π zu vergessen. Auch Rotationsvolumen gehören zu schulformspezifischen Vertiefungen und nicht pauschal zu jeder Matura.
Durchgerechnetes Beispiel
Berechne die Fläche unter f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2.
1. Stammfunktion:
F(x) = x³ / 32. Grenzen einsetzen:
F(2) − F(0) = 2³ / 3 − 0³ / 3 = 8 / 3Der Flächeninhalt beträgt 8/3 ≈ 2,67 Flächeneinheiten. Weil x² im Intervall nicht negativ ist, stimmen Integral und geometrische Fläche überein.
Typische Aufgaben in der Mathe-Matura
- Aus einer Änderungsrate die gesamte Änderung in einem Intervall bestimmen.
- Flächen zwischen Graph und x-Achse berechnen.
- Fläche zwischen zwei Funktionen als Integral der Differenz aufstellen.
- Eine Integralfunktion oder ihre Einheit im Kontext deuten.
- Aus einem Graphen Integralwerte vergleichen, ohne exakt zu rechnen.
Häufiger Fehler: Bei der Fläche zwischen zwei Kurven wird im betrachteten Intervall „obere Funktion minus untere Funktion“ integriert. Schneiden sich die Graphen, muss das Intervall an den Schnittpunkten geteilt werden.
Österreichischer Prüfungsbezug: Stammfunktionen, bestimmte Integrale und das Deuten aufsummierter Änderungen sind zentrale Analysis-Kompetenzen. Bogenlänge, Rotationsvolumen und besondere Mittelwertaufgaben sind je nach BHS-/BRP-Cluster Vertiefungen.
Integrale interaktiv verstehen
Verändere Integrationsgrenzen direkt in der Visualisierung oder übe Integralrechnung Schritt für Schritt in Pi Mal Daumen.